Анализ динамического поведения механической системы

Дана механическая система с одной степенью свободы, представляющая собой совокупность абсолютно твердых тел, связанных друг с другом посредством невесомых растяжимых

Анализ динамического поведения механической системы

Информация

Физика

Другие материалы по предмету

Физика

Сдать работу со 100% гаранией

Содержание:

 

Аннотация

Исходные данные

1.Применение основных теорем динамики механической системы

1.1Постановка второй основной задачи динамики системы

1.2Определение закона движения системы

1.3Определение реакций внешних и внутренних связей

2. Построение алгоритма вычислений

3.Применение принципа Даламбера-Лагранжа и уравнений Лагранжа второго рода.

3.1Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа.

Анализ результатов

 

Аннотация

 

Дана механическая система с одной степенью свободы, представляющая собой совокупность абсолютно твердых тел, связанных друг с другом посредством невесомых растяжимых нитей, параллельных соответствующим плоскостям. Система снабжена внешней упругой связью с коэффициентом жесткости с. На первое тело системы действует сила сопротивления и возмущающая гармоническая сила . Трением качения и скольжения пренебрегаем. Качение катков происходит без скольжения, проскальзывание нитей на блоках отсутствует. Применяя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определен закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей. Произведен численный анализ полученного решения с использованием ЭВМ.

 

Исходные данные:

 

m = 1 кгr = 0.1 мс = 4000 H/м

Часть 1. Применение основных теорем динамики механической системы

 

1.1 Постановка второй основной задачи динамики системы.

 

Расчетная схема представлена на рисунке 1.

Здесь обозначено:

 

; ; - силы тяжести;

 

- нормальная реакция опорной плоскости;

- сила сцепления;

- упругая реакция пружины;

- реакция подшипников;

- сила вязкого сопротивления;

- возмущающая сила.

Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, качение катка (3) происходит без скольжения). Будем определять ее положение с помощью координаты S. Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза (1).

Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в форме:

 

 

- сумма мощностей внешних сил;

- сумма мощностей внутренних сил;

Тогда кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел,

 

(1.2)

(1.3) Груз (1) совершает поступательное движение, ;

(1.4) Блок (2) совершает вращательное движение, , где

(1.5) Каток (3) совершает плоскопараллельное движение, , где

 

Кинетическая энергия всего механизма равна:

 

(1.6) ;

 

Выразим - через скорость груза (1)

 

(1.7) ; ;

 

Подставляя кинематические соотношения (1.7) в выражение (1.6), получаем:

(1.8)

(1.9)

;

 

Найдем производную от кинетической энергии по времени:

 

(1.10)

 

Вычислим сумму мощностей внешних и внутренних сил. Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость в точке ее приложения;

 

(1.11)

 

Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему, недеформируемые и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:

 

(1.12) = 0;

 

Будут равняться нулю и мощности следующих внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю:

 

Сумма мощностей остальных внешних сил:

 

(1.13)

 

С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил определим:

 

(1.14)

 

где приведенная сила.

Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины, которое равно сумме статического и динамического удлинений:

 

(1.15)

 

Сила вязкого сопротивления , тогда

 

(1.16)

 

В состоянии покоя системы приведенная сила равна нулю. Полагая в (1.16) S=0, =0 и F(t)=0, получаем условие равновесия системы:

 

(1.17)

 

Отсюда статическое удлинение пружины равно:

(1.18)

 

Подставляя (1.18) в (1.16), получаем окончательное выражение для приведенной силы:

 

(1.19)

 

Подставив выражения для производной от кинетической энергии и сумму мощностей всех сил с учетом (1.19) в (1.1), получаем дифференциальное уравнение движения системы:

 

(1.20)

(1.21)

 

где k циклическая частота свободных колебаний;

 

 

n - показатель степени затухания колебаний;

 

 

1.2 Определение закона движения системы

 

Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.20). общее решение этого неоднородного уравнения складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного :

 

S = + ;

 

Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид:

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

 

 

т.к. n < k => решение однородного уравнения имеет вид:

 

 

где частное решение дифференциального уравнения ищем в виде правой части:

 

далее получаем:

 

Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения состояния А и В

 

Решая эту систему получаем следующие выражения:

 

А = 0.04 м;

В = - 0.008 м;

 

Общее решение дифференциального уравнения:

 

 

Постоянные интегрирования определяем из начальных условий, при t = 0 имеем:

 

 

Решая эту систему получаем:

 

 

1.3Определение реакций внешних и внутренних связей

 

Для решения этой задачи расчленим механизм на отдельные части и изобразим расчетные схемы отдельно для каждого тела. Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении кинетического момента и теоремы об изменении количества движения.

 

Тело №1:

Тело №2:

Тело №3:

 

C учётом кинематических соотношений (1.7) полученную систему уравнений преобразуем к вид:

 

 

Решая эту систему, получаем выражение для определения реакций связей:

 

2.Построение алгоритма вычислений:

 

(2.1) Исходные данные:

 

 

(2.2) Вычисление констант:

 

 

(2.3) Задание начального времени: t=0;

(2.4) Вычисление значений функций в момент времени t=0;

 

 

(2.5) Вычисление реакций связей:

 

 

(2.6) Вывод на печать значений искомых функций в момент времени t;

(2.7) Определение значения времени на следующем шаге

(2.8) Проверка условия окончания цикла:

(2.9) Возврат к пункту (2.4).

 

3. Применение принципа Даламбера-Лагранжа и уравнения Лагранжа второго рода

 

3.1 Применение принципа Даламбера-Лагранжа

 

Общее уравнение динамике системы есть математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа.

 

 

сумма элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении системы;

сумма элементарных работ всех инерции сил на возможном перемещении системы.

Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис.3)

Идеальные связи:

Не учитываем, и не отображаем на расчетной схеме, поскольку по определению работа их реакций на любом возможном перемещении системы равна 0.

Сообщим системе возможное перемещение.

 

 

Вычисляя последовательно элементарные работы активных сил и суммируя получим:

(2)

 

Найдём возможную работу сил инерции:

 

 

Запишем выражение для главных векторов и главных моментов сил инерции;

 

 

Используя кинематические соотношения (1.7), определим:

 

 

Теперь возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду:

 

(3)

 

Далее подставляя выражения (2) и (3) в (1), т.е в общее уравнение динамики получаем

 

 

Поделив это уравнение на , получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:

 

Анализ результатов

 

В данной курсовой работе мы исследовали динамическое поведение механической системы с использованием основных теорем и уравнений теор

Похожие работы

1 2 >