О категории множеств

. Тогда <k,h><f,g>, так как у них не совпадают концы. Получили противоречие после того, как предположили, что k:cb, h:ca. остается

О категории множеств

Дипломная работа

Педагогика

Другие дипломы по предмету

Педагогика

Сдать работу со 100% гаранией

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

 

Выпускная квалификационная работа

 

О КАТЕГОРИИ МНОЖЕСТВ

 

Выполнила студентка V курса

математического факультета

Одегова В.Н.

/подпись/

 

Научный руководитель:

Доктор ф.-м.н., профессор

Вечтомов Е.М.

/подпись/

 

 

Рецензент: кандитат ф.-м.н., доцент Чермных В.В.

 

/подпись/

 

 

Допущен к защите в ГАК

Зав. кафедрой Вечтомов Е.М.

(подпись)

2003г.

 

 

Декан факультета Варанкина В.И.

(подпись)

2003г.

 

Киров, 2003г.

 

введение3

1 Основные понятия теории категорий4

1.1. Мономорфные стрелки6

1.2. Эпиморфные стрелки7

1.3. Изострелки8

1.5. Начальные объекты10

1.6. Конечные объекты10

1.7. Двойственность11

1.8. Произведения12

1.9. Произведение отображений15

1.10. Копроизведение объектов18

2 категориЯ множеств19

2.1. Мономорфизм в категории множеств20

2.2. Эпиморфизм в категории множеств21

2.3. Начальные и конечные объекты в категории множеств23

2.4. Произведение в категории множеств23

2.5. Копроизведения в категории множеств24

3 Примеры категорий24

3.1. Категория 124

3.2. Категория 225

3.3. Категория 325

3.4. Категории предпорядка26

3.5. Дискретные категории26

3.6. Категория N27

Литература28

 

введение

Сейчас многие отрасли математики используют теоретико-множественные обозначения. Несомненно, теория множеств сыграла огромную роль в развитии математики. У этой теории можно найти много преимуществ, но в этой дипломной работе речь пойдет не об этом. Развитием теории множеств можно считать теорию категорий. Что такое «теория категорий». Это очень привлекательная и естественная альтернатива теории множеств. Конечно, можно мыслить объекты математического изучения как множества, но нет уже уверенности, что и в будущем их будут рассматривать так. Без сомнения, основной язык теории множеств останется важным инструментом в тех случаях, когда надо рассматривать совокупности предметов. Но понимание самих предметов как множеств потеряло свое преимущественное значение в силу появления новой альтернативы.

В данной дипломной работе рассматривается одна из важнейших категорий в математике категория множеств. В первом параграфе рассматриваются основные понятия теории категорий. Доказываются необходимые свойства и утверждения.

Во втором параграфе рассматривается категория множеств. Те понятия, которые используются в теории категорий, переносятся непосредственно в эту категорию. Интерпретируются теоремы из теории категорий в категорию множеств.

В третьем параграфе приведены другие примеры категорий. Тем самым показаны выразительные возможности теории категорий.

Теория категорий изложена в книгах [1]-[4].1 Основные понятия теории категорий

Для того чтобы проиллюстрировать формализацию интуитивной математической идеи рассмотрим понятие функции.

Функция есть связь между объектами. Точнее, это соответствие, сопоставляющее заданному объекту точно один другой объект.

Если А множество всех возможных входов функции f, а В множество, включающее все f-образы элементов из А, то говорят, что f является функцией из множества А во множество В. Это выражают записью f: AB.

Множество А называется областью определения, а множество В областью значений.

В общей теории категорий вместо слова «функция» используют более нейтральное слово «стрелка» (а также слово «морфизм»).

Выполняются следующие свойства:

  1. C каждой стрелкой связано два специальных объекта её начало и конец.
  2. Имеется операция композиции, которая применяется к определенным парам ‹ g, › стрелок данной категории (когда область значения первой совпадает с областью определения второй) и дает в результате новую стрелку g˚, также принадлежащую данной категории.
  3. С каждым объектом данной категории связана специальная стрелка единичная, или тождественная, стрелка этого объекта.

Итак, дадим аксиоматическое определение категории.

Категория Ω включает в себя:

1) Совокупность предметов, называемых Ω - объектами

2) Совокупность предметов, называемых Ω-стрелками

3) Операции, ставящие в соответствие каждой Ω-стрелке f Ω-объект dom f (начало стрелки f) и Ω-объект cod f (конец стрелки f). То, что а=domf и b=cod f изображается так: f: ab

4) Операцию, ставящую в соответствие каждой паре ‹ g, › Ω-стрелок с dom g=cod f Ω-стрелку g˚, композицию f и g, с dom (g˚)=dom f и cod(g˚)=cod g, причем выполняется следующее условие:

закон ассоциативности:

пусть f: ab

g: bc

h: cd

тогда h ˚(g˚)= (h ˚g)˚.

Закон ассоциативности утверждает, что диаграмма вида -

-коммутативна.

( в теории категорий удобным средством являются коммутативные диаграммы. Диаграмма это схема, в которой указаны объекты и стрелки между ними. При этом, любые два пути, ведущие по стрелкам из одного объекта в другой, равны. Диаграмма называется коммутативной, если есть несколько путей от одного объекта к другому, то все они приводят к одному и тому же результату. Точнее: диаграмма называется коммутативной, когда все возможные треугольники, составляющие части данной диаграммы, коммутативны. Это означает, что любые два пути стрелок данной диаграммы, начинающиеся в одном и том же объекте и заканчивающиеся в одном и том же объекте, задают в композиции одну и ту же функцию. Диаграммы в теории категорий используются для наглядности изложения.)

5) Сопоставление каждому Ω-объекту b Ω-стрелки 1b: bb, называемой единичной или тождественной стрелкой, так что выполнен Закон тождества:

для любых Ω-стрелок f:ab и g:bc 1b ◦f=f и g◦1b =g, т.е. коммутативна диаграмма

 

1.1. Мономорфные стрелки

Определение: Стрелка f:ab в категории Ω называется мономорфной или монострелкой в Ω, если для любой пары g,h: ca Ω-стрелок из равенства f g=f h следует g=h.

  • В произвольной категории композиция gf является монострелкой, если как f, так и g мономорфны.

Доказательство:

Воспользуемся определением монострелки:

Стрелка gf:ac является монострелкой, если для любых стрелок l,m:ba если (gf)l=(gf)m, то l=m. Изобразим диаграмму. Очевидно, что требуемое равенство выполняется, т.е. (gf)l=(gf)m. В любой категории должен выполняться ассоциативный закон. Применяя его, получаем следующее равенство: g(fl)=g(fm).

g монострелка f l=f m

f монострелка l=m, что и требовалось доказать.

  • В произвольной категории, если композиция g f мономорфна, то и f мономорфна.

Доказательство: пусть f: ab

g: bd,

l, m: ca

f мономорфна, если из равенства f l=f m ()следует, что l=m.

Очевидно, что это равенство выполняется.(см. диаграмму). Учитывая, что domg = cod(f l) = cod(f m), применим к равенству () стрелку g. Получаем g(f l)=g(f m). Далее, по ассоциативному закону:

(gf)l=(gf)m.

gf монострелка l=m, что и требовалось доказать.

1.2. Эпиморфные стрелки

Определение: Стрелка f:ab называется эпиморфной или эпистрелкой в категории Ω, если для произвольной пары стрелок g,h: bc из равенства gf=hf следует g=h, т.е. если коммутативна диаграмма, то g=h.

  • Если g°f-эпистрелка, то g- эпистрелка.

Доказательство: пусть f: ab

g: bc,

l, m: cd

g эпистрелка, если из равенства l g=m g ()следует, что l=m.

Очевидно, что это равенство выполняется.(см. диаграмму). Учитывая, что codf = dom(l g) = dom(m g), применим к равенству () стрелку f. Получаем (lg)°f=(mg)°f. Далее, по ассоциативному закону:

l(gf)=m(gf).

gf эпистрелка l=m, что и требовалось доказать.

1.3. Изострелки

Определение: произвольная стрелка f: ab называется изострелкой или обратимой в категории Ω стрелкой, если существует Ω- стрелка g:ba, такая, что gf=1a и fg=1b. На самом деле такая стрелка только одна. Действительно, если предположить, что существует ещё одна такая стрелка g, то g=1ag=(gf)g=g(fg)=g1b=g. Стрелка g, когда она существует, называется обратной к f стрелкой и обозначается f -1:ba. Она определяется условиями: f -1f=1a, f f -1=1b .

  • Любая изострелка является эпистрелкой.

Доказательство: пусть f: ab изострелка, и стрелки g,h: bc.

Тогда g f=h f и существует f -1 . Тогда g = g 1b = g (f f-1) =(ассоциативность)= (g f) f-1 = (hf)

Похожие работы

1 2 3 4 > >>