Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

Не всякое уравнение вида f(x)=g(x) в результате преобразований может быть приведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого

Нестандартные методы решения тригонометрических уравнений: графический и функциональный

Контрольная работа

Математика и статистика

Другие контрольные работы по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией
ctgx=

1-tg²(x/2) 2tg(x/2)

 

Следует отметить, что применение формул (4) может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку tg(x/2) не определен в точках x=π+2πk, kZ, поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы x=π+2πk, kZ корнями исходного уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Практикум

 

sinx +√2-sin²x + sinx√2-sin²x = 3

 

Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.

Пусть u = sinx и v = +√2-sin²x . Так как 1≤u≤1 и v≥1, то u+v≥0. Кроме того, имеем u² + v² =2.

В таком случае из уравнения получаем систему уравнений

 

u + v + uv = 3

 

u² + v² =2

 

Пусть теперь r = u+v и s=uv, тогда из системы уравнений следует

 

r + s = 3

 

r² - 2s = 2

 

Отсюда с учетом того, что r≥0, получаем r = 2 и s = 1. Следовательно, имеет место

 

u + v = 2

 

uv = 1

 

u = v = 1

 

Поскольку, u = sinx и u = 1, то sinx = 1 и x = π/2+2πk, kZ

 

Ответ: x = π/2+2πk, kZ

 

 

cos=x2+1

Данное уравнение рационально решать функциональным методом.

 

cos≤1x2+1≥1 =>

 

cos=1

x2+1=1x=0

 

Ответ: х=0

 

 

5sinx-5tgx

+4(1-cosx)=0

sinx+tgx

Данное уравнении рационально решать методом фунциональной подстановки.

Так как tgx не определен при x = π/2+πk, kZ, а sinx+tgx=0 при x = πk, kZ, то углы x = πk/2, kZ не входят в ОДЗ уравнения.

Используем формулы тангенса половинного угла и обозначим t=tg(x/2), при этом по условию задачи t≠0;±1, тогда получим

 

2t 2t

5 -

1+t² 1-t² 1-t²

+4 1- =0

2t 2t 1+t²

+

1+t² 1-t²

 

Так как t≠0;±1, то данное уравнение равносильно уравнению

 

8t²

-5t² + = 0 -5-5t² + 8 = 0

1+t²

 

откуда t = ±√3/5,. Следовательно, x = ±2arctg√3/5 +2πk, kZ

 

Ответ: x = ±2arctg√3/5 +2πk, kZ

 

 

 

 

tgx+ctgx+tg²x+ctg²x+tg³x+ctg³x=6

 

Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.

Пусть y=tgx+ctgx, тогда tg²x+ctg²x=y²-2, tg³x+ctg³x=y³-3y

 

y³+y²-2y-8=0

y=2

Так как tgx+ctgx=2, то tgx+1/ tgx=2. Отсюда следует, что tgx=1 и x = π/4+πk, kZ

Ответ: x = π/2+2πk, kZ

 

2cos πx=2x-1

 

 

Данное уравнение рационально решать графическим методом.

 

 

 

 

 

Точка пересечения графиков имеет координаты (0,5; 0). Следовательно, х=0,5

 

 

Ответ: х=0,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3+(х-π)2=1-2cosx

 

Данное уравнение рационально решать функциональным методом.

 

(х-π)2+2=-2cosx

(х-π)2+2≥2 -2cosx≤2

 

 

=> x=π, при k=0

 

Ответ: x=π

 

 

10|sinx|=10|cosx|-1

Данное уравнение рационально решать графоаналитическим методом.

Т.к. 10>1, то данное уравнение равносильно следующему:

|sinx|=|cosx|-1

Точки пересечения графиков имеют координаты ();. Следовательно, х=.

Ответ: х=

Похожие работы

< 1 2