- x y t ((t Qi x
t Aj x) → (t' Qk x' (t A0 y → t' A0 y) … (t An y → t' An y)))
(«Если в момент времени t машина находится в состоянии qi, считывая при этом символ aj в клетке х, то в момент t + 1 машина перейдет в состояние qk, считывая при этом клетку х + 1, и во всех клетках в момент t + 1 останутся те же символы, что в момент t для всех t и х.»)
Аналогично для строк вида qi aj → aj Л qk включаем в Д
- x y t ((t Qi x'
t Aj x') → (t' Qk x (t A0 y → t' A0 y) … (t An y → t' An y)))
(«Если в момент времени t машина находится в состоянии qi, считывая при этом символ aj в клетке х + 1, то в момент t + 1 машина перейдет в состояние qk, считывая при этом клетку х, и во всех клетках в момент t + 1 останутся те же символы, что в момент t для всех t и х.»)
Одно из предложений множества Д утверждает, что в начальный момент машина находится в состоянии q1, считывая при этом самую левую единицу в сплошном массиве единиц на ленте с пустыми символами в остальных клетках:
- 0 Qi 0
0 A1 0 0 A1 0' … 0 A1 0(n-1) y ((y ≠ 0 y ≠ 0' … y ≠ 0(n-1)) → 0 A0 y)
Здесь 0(n-1) обозначает результат применения n символов следования к символу 0.
Еще одна из формула множества Д утверждает, что всякое целое число является следующим точно за одним целым:
- z x z = x'
z x y (z = x' z = y' → x = y)
Введем в Д еще одну формулу
- x y z (x < y
y < z → x < z) x y (x' = y → x < y) x y (x < y → x ≠ y),
из которого следует, что если p и q различные натуральные числа, то x x(p) ≠ x(q).
Таким образом, Д состоит из формул (1), (2), (3), соответствующих всем командам машины, и трема дополнительными (4), (5), (6). Что касается предложения Н, то заметим, что всякая машина останавливается в момент времени t, если она в это время находится в состоянии qi, считывая при этом символ aj, причем в машинной таблице нет команды, соответствующей комбинации qi aj. Таким образом, за предложение Н мы принимаем дизъюнкцию всех предложений вида
t x (t Qi x t Ai x),
для которых в машинной таблице нет команд, соответствующих комбинациям qiaj. Если же для всякой такой комбинации в таблице имеются команды, то машина никогда не остановится, и за Н в этом случае мы принимаем какую-либо формулу, ложную в интерпретации I, например 0 ≠ 0.
Мы показали, как по данной машине и входному значению n построить такие конечное множество предложений Д и отдельное предложение Н, что соотношение Д ├ Н имеет место тогда и только тогда, когда машина, получив n на входе, в конце концов, останавливается.
Рассмотрим факты, касающиеся отношения ├ в логике первого порядка. Все предложения из множества Д истинны в интерпретации I. Поэтому если Д ├ Н, то и Н истинно в I. Но Н истинно в I тогда и только тогда, когда машина, получив на входе n, в конце концов останавливается.
Введем теперь один специальный тип формул, называемых нами описаниями времени s. Так называется всякая формула, определяющая очевидным способом, в каком состоянии находится машина в момент s, какая клетка ею в это время считывается, а также в каких клетках ленты какие символы записаны, причем все это делается на языке множества формул Д {Н}. Точнее говоря, всякое описание времени s есть формула вида
- 0(s)Qi0(p)
0(s) … 0(s)Aj0(p) … 0(s) y ((y … y 0(p) … y ) → 0(s)A0y)
Мы требуем при этом, чтобы последовательность целых чисел p1,…, р,…, pv была возрастающей; р может совпадать с р1 или с рv Заметим, что формула (4) является описанием времени 0.
Предположим теперь, что машина, получив на входе число n, в конце концов останавливается. Тогда для некоторых s, i, p и j машина в момент s окажется в состоянии qi, считывая при этом клетку с номером р, содержащую символ aj, причем в программе машинной нет команды для комбинации qiaj.
Предположим, далее, что из множества формул Д следует некоторое описание G времени s. Поскольку I модель для Д, формула G должно быть истинным в I. Поэтому G должно содержать в качестве конъюнктивных членов формулы 0(s)Qi0(p) и 0(s)Aj0(p) а потому из G должна следовать формула
t x (t Qi x t Ai x),
входящее одним из дизъюнктивных членов в H. Поэтому Н будет следовать из Д.
Остается лишь показать, что для всякого неотрицательного s, если только машина не останавливается до момента s, из Д следует некоторое описание времени s. Докажем это индукцией по s.
Основание индукции. Пусть s = 0. Множество Д содержит, а потому и влечет за собой предложение (4), являющееся описанием времени 0.
Шаг индукции. Предположим, что выделенное курсивом предложение верно (для s). Предположим, далее, что наша машина не остановилась до момента s + 1. Это значит, что она не остановилась ни до момента s, ни в самый момент s. Тогда из Д следует некоторое описание (8) времени s. Нужно доказать, что из Д следует и некоторое описание времени s+1.
Поскольку I модель для Д, формула (8) истинна в I. Поэтому в момент s машина находится в состоянии qi, считывая при этом некоторую клетку (с номером р), в которой записан символ aj. Поскольку машина в момент s не остановилась, в ее программе должна присутствовать команда одного из видов
(a) qi aj → ak С qm
(б) qi aj → aj П qm
(в) qi aj → aj Л qm
Если имеется команда типа (а), то одна из формул множества Д есть
x y t ((t Qi x t Aj x) → (t' Qk x t Ap x (y ≠ x → (t A0 y → t' A0 y … t An y → t' An y))))
Она вместе с (5), (6) и (8) влечет за собой формулу
0 (s+1) Qi0 (p) 0 (s+1) Aj10 (p1) … 0 (s+1) Aj0 (p) … 0 (s+1) Ajv0 (pv) y ((y ≠ 0 (p1) … y ≠ 0 (p) … y ≠ 0 (pv)) → 0 (s+1) A0y),
являющуюся описанием времени s + 1.
Еcли имеется команда типа (б), то одна из формул множества Д есть
x y t ((t Qi x t Aj x) → (t' Qk x' (t A0 y → t' A0 y) … (t An y → t' An y)))
Из этого предложения, объединенного с (5), (6) и (8), следует, что для некоторого символа ,
0(s+1)Qi0(p+1) 0(s+1) … 0(s+1)Aj0(p+1) … 0(s+1) y ((y ≠ … y ≠ 0(p+1) … y ≠ ) → 0(s+1)A0y),
а это предложение является описанием времени s + 1.
Если имеется стрелка типа (в), то одна из формул множества Д есть
x y t ((t Qi x' t Aj x') → (t' Qk x (t A0 y → t' A0 y) … (t An y → t' An y)))
Тогда существует такой символ aq, что из последней формулы, объединенной с (5), (6), (8), следует
0(s+1)Qi0(p-1) 0(s+1) … 0(s+1)Aj 0(p-1) … 0(s+1) y
((y y 0(p-1) … y) → 0(s+1)A0 y)
а это предложение является описанием времени s + 1.
Во всех трех случаях множество Д имеет следствием некоторое описание времени s + 1, и тем самым неразрешимость логики первого порядка доказана.
Доказательство неразрешимости логики первого порядка методом Геделя
Для доказательства неразрешимости логики первого порядка достаточно продемонстрировать, как по данной машине Т с входным значением n (то есть когда машина находится на самой левой единице в сплошной последовательности из n единиц при пустых символах в остальных клетках ленты) построить такие предложение I и конечное множество предложений Г, что машина Т при входном значении останавливается тогда и только тогда, когда Г ├ I.
Не существует эффективной процедуры, позволяющей решать, останавливается ли произвольная машина Тьюринга Т при произвольном входном значении n и по данной машине Тьюринга Т можно построить примитивно рекурсивную функцию g, обладающую следующим свойством: какое бы n мы не взяли, g (n, t) = 0 в точности тогда, когда t номер шага, более позднего, чем тот, на котором машина T останавлива
