Неразрешимость логики первого порядка

Вообще, говорят, что проблема распознавания какого-либо свойства разрешима, если существует допускающий механическое вычисление тест (вычислимая, или эффективная, процедура), который, будучи

Неразрешимость логики первого порядка

Курсовой проект

Математика и статистика

Другие курсовые по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией
для определения машины Тьюринга нужно задать ее внешний и внутренний алфавиты, программу и указать, какие из символов обозначают пустую ячейку и заключительное состояние.

 

4. Доказательство неразрешимости проблемы остановки

 

Проблема остановки машины Тьюринга это проблема построения такого алгоритма, который мог бы определить закончится или нет вычисление по некоторой задаче. Оказывается, что в общем случае такой алгоритм нельзя построить в принципе, то есть невозможно найти алгоритм, позволяющий по произвольной машине Тьюринга Т и произвольной ее начальной конфигурации qiaj определить придет ли машина Т в заключительное состояние q0, если начнет работу в этой конфигурации.

Если машина Т, запущенная в начальной конфигурации qiaj, останавливается (т.е. попадает в заключительное состояние) через конечное число шагов, то она называется самоприменимой, в противном случае несамоприменимой.

Теорема.

Не существует машины Тьюринга М, решающей проблему самоприменимости, то есть проблема самоприменимости алгоритмически неразрешима.

Доказательство.

Предположим противное, то есть. пусть существует машина Тьюринга Т, решающая проблему самоприместимости в указанном выше смысле. Построим новую машину Т0, добавив новое состояние q0* и объявив его заключительным, а также добавив новые команды для состояния q0, которое было заключительным в Т:

q0 a1→ a1 С q0 (1)

q0 a2→ a2 С q0 (2)

…q0 an→ an С q0* (n)

 

Рассмотрим теперь работу машины T0.

Пусть M произвольная машина. Если M самоприменима, то начальная конфигурация q1ai перейдет с помощью команд машины T через конечное число шагов в конфигурацию q0a1, далее применяется команда (1), и машина T0 никогда не остановится. Если M несамоприменима, то начальная конфигурация q1ai перейдет с помощью команд машины T через конечное число шагов в конфигурацию q0an, далее применяется команда (n), и машина T0 остановится.

Таким образом, машина T0 применима к кодам несамоприменимых машин Т и неприменима к кодам самоприменимых машин Т.

Теперь применим машину T0 к начальной конфигурации q1ai. Сама машина T0 является либо самоприменимой, либо несамоприменимой. Если T0 самоприменима, то по доказанному она никогда не остановится, начав с q1ai, и потому она несамоприменима. Если T0 несамоприменима, то по доказанному, она останавливается через конечное число шагов, начав с q1aj, и потому она самоприменима. Получили противоречие, следовательно проблема самоприменимости алгоритмически неразрешима, что и требовалось доказать.

Проблема остановки алгоритмически неразрешима, т.к. если бы она была разрешимой, то мы получили бы разрешимость проблемы самоприменимости.

 

5. Неразрешимости логики первого порядка

 

В математической логике и теории алгоритмов под разрешимостью подразумевают свойство формальной теории обладать алгоритмом, определяющим по данной формуле, выводима она из множества аксиом данной теории или нет. Теория называется разрешимой, если такой алгоритм существует, и неразрешимой, в противном случае.

Вывод неразрешимости логики первого порядка из неразрешимости проблемы остановки

Вообще, говорят, что проблема распознавания какого-либо свойства разрешима, если существует допускающий механическое вычисление тест (вычислимая, или эффективная, процедура), который, будучи применен к произвольному объекту соответствующего типа, по прошествии некоторого времени правильно классифицирует этот объект с точки зрения наличия или отсутствия у него некоторого свойства. (Слова «по прошествии некоторого времени» означают здесь «после некоторого конечного числа шагов».) Позитивным тестом называется эффективная процедура, устанавливающая по прошествии некоторого времени все случаи наличия соответствующего свойства и только их. Негативный тест это эффективная процедура, обнаруживающая все случаи отсутствия свойства и только их. Проблема распознавания произвольного свойства разрешима тогда и только тогда, когда для него существует и позитивный, и негативный тесты; дело в том, что всякий объект может или обладать рассматриваемым свойством, или нет, и потому, обладая обоими тестами, можно применить их оба к интересующему объекту, выполняя поочередно шаги одного и другого, и после некоторого их количества обнаружить, обладает он этим свойством или нет. (Верно и обратное: всякий тест, устанавливающий через некоторое конечное число шагов, обладает данный объект рассматриваемым свойством или нет, реализует и позитивный, и негативный тесты для этого свойства) Нас будут интересовать сейчас свойства общезначимости и выполнимости, а в роли объектов «соответствующего типа» выступают формулы языка логики первого порядка.

Докажем, что для этих тестов не существует дополнительных позитивного для выполнимости и негативного для общезначимости и потому в логике первого порядка проблемы распознавания как общезначимости, так и выполнимости неразрешимы.

Докажем неразрешимость логики первого порядка от противного: покажем, что если бы соответствующий тест существовал, то проблема остановки оказалась бы разрешимой. Мы убедились, что проблема остановки неразрешима.

Наше доказательство от противного будет строиться так: мы покажем, как, располагая программой машины Тьюринга, а также натуральным числом n, можно эффективно построить такие конечное множество предложений Д и еще одно предложение Н, что Д ├ Н тогда и только тогда, когда рассматриваемая машина, будучи запущенной в состоянии n (т.е. когда она начинает работу в состоянии q1, считывая при этом самую левую единицу в сплошном массиве из n единиц на ленте с пустыми символами в остальных клетках), в конце концов останавливается. Таким образом, мы определяем некоторую интерпретацию машины Тьюринга I. Формула Н в интерпретации I говорит, что машина в конце концов остановится, а формула из множества Д описывают работу машины. Введем функцию следования ' (где i' = i + 1 для всякого i). Таким образом, если бы мы могли решить проблему распознавания общезначимости предложений, мы смогли бы эффективно решать, остановится в конце концов или нет данная машина Тьюринга, поскольку логическое следование Д ├ Н имеет место тогда и только тогда, когда общезначима импликация F1F2…Fk→H, где Fi Д (i = 1,2,… k).

Будем считать, что клетки ленты машины Тьюринга занумерованы так:

 

…-3-2-10123…

Будем также предполагать, что время разбито на бесконечную последовательность моментов t, в каждый из которых машина выполняет точно одну свою операцию, и что машина начинает работу в момент времени 0, считывая при этом содержимое клетки 0. Моменты времени предполагаются неограниченно продолжаемыми как в будущее, так и в прошлое, равно как и лента бесконечно простирается и вправо, и влево. Мы считаем, что машина «включается» в момент 0 и «выключается» в первый момент (если таковой наступит), который следует за моментом ее остановки; мы считаем, далее, что во все отрицательные моменты времени и во все моменты, следующие за моментом остановки машины, она не находится ни в каком состоянии, не считывает никакую из имеющихся клеток и никакой символ (даже пустой) не встречается нигде на ее ленте.

Каждому состоянию qi, в котором может пребывать машина, ставится в соответствие некоторый двуместный предикатный символ Qi, подобным же образом каждому символу aj, который машина может считывать либо записывать, ставится в соответствие двуместный предикатный символ Aj. Помимо символов Qi и Aj в формулах из множества Д {Н} могут встречаться только следующие символы: имя 0, одноместный функциональный символ ' и двуместный предикатный символ <.

В предполагаемой интерпретации I предложений из множества Д {Н} предметной областью являются целые числа. Имени 0 интерпретация I приписывает значение нуль, а функциональному символу ' функцию следования. Символы Qi, Aj и < интерпретируются следующим образом:

I объявляет Qi истинным на паре t, x в точности тогда, когда машина в момент времени t находится в состоянии qi, считывая при этом клетку с номером х.

I объявляет aj истинным на паре t, x в точности тогда, когда вмомент t в клетке с номером х находится символ aj;

I объявляет < истинным на паре х, у в точности тогда, когда х меньше чем у.

Выясним теперь, какие функции содержатся в множестве Д. (Будем использовать переменную t в тех случаях, когда имеется в виду время, и переменные х и у, когда речь идет о клетках на ленте.) Пусть ai, …, an список символов, считываемых и записываемых машиной. Для каждой строки программы вида qi aj → ap Cqk мы включаем в множество Д формулу

 

  1. x y t ((t Qi x

    t Aj x) → (t' Qk x t Ap x (yx → (t A0 yt' A0 y t An yt' An y))))

  2.  

(«Если в момент времени t машина находится в состоянии qi, считывая при этом символ aj в клетке х, то в момент t + 1 машина перейдет в состояние qk, считывая при этом клетку х, в которой появится символ Ap, а во всех клетках, отличных от х, в момент t + 1 останутся те же символы, что в момент t для всех t и х.»)

Также в множество Д для каждой

Похожие работы

<< < 1 2 3 4 5 > >>