Написание программ вычисления факториалов

У читателя может сложиться мнение, что для доказательства того, что было сделано в этих примерах, потрачено слишком много усилий. В

Написание программ вычисления факториалов

Информация

Компьютеры, программирование

Другие материалы по предмету

Компьютеры, программирование

Сдать работу со 100% гаранией

Написание программ вычисления факториалов

Каждый оператор в программе Harmonic определял переход из одного множества состояний в другое.

Рассмотрим еще один пример.

Пример 10.1. Написать программу вычисления f(n)=n! , где n - натуральное, либо равно 0.

Program Factorial (input, output);

{ Программа Factorial вычисляет значение функции п!

Input:(n N)(n 0)

Output:(Fctrl N)(Fctrl 1)(Fctrl=)

}

 

vari, n, fctrl: integer ;{ n - исходное значение;

fctrl - результат;

i - параметр цикла

}

begin

{Ввод исходных данных}

write(Введите значение n = ) ;

readln( n ) ;

{Проверка корректности исходных данных}

if n<0 then writeln (Ошибка. п не может быть меньше 0)

else

begin

if n=0 then fctrl:=1

else

begin

fctrl:=1 ;

fori:=2 to n do fctrl:=fctrl i

end {if n=0};

{Вывод результата}

writeln ( При n = , n , _ n! = , fctrl )

end {if n<0}

end {Program}.

 

Рис. 10.1.

В этой программе в строке 1 мы определяем типы переменных, которые мы будем использовать при вычислениях. В строке 2 пользователю выдается приглашение ввести исходное значение п , а в строке 3, с помощью оператора readln (n) значение, заданное пользователем, полагается текущим значением переменной п . Строка 4 - это проверка корректности исходных данных. Если текущее значение n < 0 , то пользователю будет выдано сообщение об ошибке.

В соответствии с определением функции n!

 

 

в строке 5, в зависимости от текущего значения, происходит выбор способа вычисления n! . Если n=0 , то переменная fctrl принимает значение 1. Если n0 , то в строках 6 и 7 в цикле вычисляется произведение 123…..(п-1)п . В строке 6 определяется начальное значение переменной fctrl . Обратите внимание, до этого момента значение этой пременной было не определено. Строка 7 - это оператор цикла. Переменная i - это параметр цикла, который последовательно принимает значения 2, 3, 4 и т.д. до п включительно. Для каждого значения параметра цикла выполняется тело цикла:

fctrl:= fctrl i .

 

Ну и наконец, строка 8 - вывод полученного результата.

Последовательность итераций цикла в строке 7 для п = 6 показана на рисунке 10.2. Под итерацией цикла мы будем понимать выполнение тела цикла для конкретного значения параметра цикла.

 

ИтерацииCостояние

1-я итерация

 

in i

 

2fctrl

 

1n

 

6226

2-я итерация

 

in

3

2

6366

3-я итерация

 

in

4

6

64246

4-я итерация

 

in

5

24

651206

5-я итерация

 

in

6

120

667206

Рис. 10.2.

Введение Pre и Post условий.

В зависимости от исходного значения п , мы будем иметь разное число итераций цикла и разные состояния. Итак, на основе сделанного, мы можем сделать вывод: всякий оператор в программе определяет переход из одного множества состояний в другое.

Мы уже умеем определять множество с помощью предикатов. Пусть Q и R - предикаты, определяющие множество состояний до выполнения оператора S и после выполнения оператора S соответственно.

Это записывается так:

{Q} S {R} .

Это преобразование множества Q во множество R и определяет семантику оператора S.

 

Определение 10.1. Предикат Q называется предусловием оператора S, а предикат R - постусловием оператора S, если

{Q} S {R} .

Например, оператор fctrl : =1 ; из строки 7 рис. 10.1, любое состояние вычислительного процесса перерабатывает в состояние, где fctrl=1, т.е.

Q T , а R fctrl =1.

 

Семантика оператора присваивания.

 

Наша задача определить семантику оператора присваивания в терминах множеств состояний. Это означает, что нам надо определить взаимосвязь пред и постусловий для оператора присваивания. Эту задачу мы рассмотрим применительно к простым переменным.

 

Определение 10.2. Обозначим wp(S,R) - предикат, определяющий множество всех состояний, для которых выполнение оператора S, обязательно заканчивается за конечное время и обязательно в состоянии, удовлетворяющем предикату R.

 

Пример 10.1.

Пусть S - это оператор присваивания

i : = i+1 ,

а R i 1 , тогда

wp(i : = i+1 , i 1)=( i 0).

 

Действительно, выполнение i : = i+1 может завершиться в состоянии

i 1 только, если i было меньше или равно нулю. Как следует из свойства операции сложения, если i > 0 , то i+1 >1 .

 

Пример 10.2.

Множество состояний, определяемых предикатом wp(S,T) для некоторого оператора S, есть множество всех состояний, таких, что выполнение оператора S, начавшееся в одном из этих состояний, обязательно заканчивается.

 

Определение 10.3. Обозначим предикат, который получается из предиката R , если в нем заменить все свободные вхождения переменной x на выражение е .

Например, если R(x,y)=(x+y) , то

Пусть

E=x<y (i : 0 i < n : bi < y) .

Тогда

, т.к. i не свободно в Е.

 

Определение 10.4. wp(x : = e , R) = если domain(e) , то ;

где domain(e) - предикат, описывающий множество состояний, для которых значение выражения е определено.

 

Примеры 10.3. :

 

wp(x : =5 , х=5) = (5=5) = Т ,

т.е. любое состояние оператор x : =5 перерабатывает в состояние, на котором предикат х=5 выполняется.

wp(x : =5 , х5) = (55) = F ,

т.е. нет такого состояния, которое бы оператор x : =5 , перевел в состояние х5 .

wp(x : =x+1 , х<0) = (x+1<0) =(x<-1) .

wp(x : =xx , х4=10) = ((xx)4=10) = (x8=10) .

Пусть с - константа, тогда

wp(x : =е , х=с) = (е=с) ,

т.е. оператор x : =е обязательно завершится и даст в результате состояние, где x имеет значение с, если, и только если, значение выражения е при выполнении этого оператора будет равно с .

Пусть с - константа, а х и y - имена двух разных переменных, тогда

wp(x : =е , у=с) = (у=с) ,

т.е. выполнение оператора x : = е не может изменить значение переменной у.

 

В последнем примере предполагается, что x : =е может изменить только значение переменной х. Вычисление выражения е не может изменить значения никакой переменной, т.е. нет, так называемого, побочного эффекта. Побочный эффект мы рассмотрим позднее в лекции 15.

Запрещение побочных эффектов исключительно важно, т.к. это позволяет рассматривать выражения в программе, так же, как в математике. Это означает, что выражение в программе обладает многими свойствами выражений в математике.

Идея описания семантики оператора в терминах пред- и постусловий применима не только к отдельному оператору, но и к группе операторов. Покажем, что последовательность операторов

t : =х ; x : =y ; y : = t ;

обеспечивает обмен значениями у переменных х и y .

Пусть начальное значение {x=Y , y=X}.

{x=Y y=X}

t : =х ;

{x=Y y=X t=Y}

x : =y ;

{x=X y=X t=Y}

y : = t ;

{x=X y=Y t=Y}

или

{x=Y y=X} t : =х ; x : =y ; y : = t ;{x=Х y=Y}.

Что и требовалось доказать.

 

Условный оператор.

 

Условный оператор в большинстве языков программирования реализует операцию композиции “выбор”. Этот оператор позволяет выбрать ту или иную последовательность операторов в зависимости от текущего состояния вычислительного процесса.

 

Пример 10.4.

if x=>0 then z: =x else z: =-x.

В результате выполнения этого условного оператора, переменная z получит значение, равное абсолютной величине х .

Согласно синтаксису языка Pascal, между ключевыми словами if и then должно стоять логическое выражение. Если значение этого логического выражения Т, то выполняется оператор, стоящий после then, если - F, то оператор, стоящий после else.

Определение 10.3.

wp(if B then S1 else S2 , R) =

= domain (B)(B B)((B wp(S1 , R))(Bwp(S2 , R))) ,

где domain (B) - предикат, определяющий область определения для логического выражения В.

Обычно, B - всюду определенный предикат, поэтому член domain (B) опускают, и остается

wp(if В then S1 else S2 , R)= B wp(S1 , R) Bwp(S2 , R)

Покажем, что при любых начальных условиях, выполнение оператора из примера 10.4. дает в результат в z абсолютную величину х.

wp( if x=>0 then z: =x else z: = -x , z =abs(x))=

= x 0 wp(z: =x , z =abs(x)) x < 0 wp(z: = -x , z = abs(x))=

= x 0 x = abs(x) x < 0 -x = abs(x) = TT = T ,

т.е., при любом предусловии этот оператор даст в качестве значения

z =abs(x).

Пример 10.5. Покажем, что при любом начальном состоянии оператор

 

if x=>y then z: =x else z: = y

дает z =max(x,y).

 

wp(if x y then z: =x else z: = y , z =max(x,y))=

=((x y) ( z: =x, z =max(x,y))) ((x<y) ( z: =y, z =max(x,y)))=

=(x y) (x=max(x,y)) ((x<y) (y= max(x,y))= TT = T.

 

Пример 10.6. Покажем, что

 

wp(if x=>y then z: =x else z: = y , z =y)= (x y).

 

wp(if x=>y then

Похожие работы

1 2 >