Более удобное описание формы изображения может быть получено на основе методов аппроксимации цветных изображений, в которых форма определяется как оператор наилучшего приближения. В следующем параграфе дано представление формы изображения в виде оператора наилучшего приближения.
5. Çàäà÷è àïïðîêñèìàöèè öâåòíûõ èçîáðàæåíèé. Форма как оператор наилучшего приближения.
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå çàäà÷è ïðèáëèæåíèÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííûìè (ìîçàè÷íûìè) èçîáðàæåíèÿìè. Ðåøåíèå ýòèõ çàäà÷ ïîçâîëèò ïîñòðîèòü ôîðìó èçîáðàæåíèÿ â òîì ñëó÷àå, êîãäà ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ , äåéñòâóþùåãî íà èçîáðàæåíèå êàê íà âåêòîð â êàæäîé òî÷êå è îñòàâëÿþùåãî ýëåìåíòîì , ò.å. èçîáðàæåíèåì. Ôîðìà â øèðîêîì ñìûñëå îïðåäåëÿåòñÿ êàê îïåðàòîð íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ èçîáðàæåíèÿ èçîáðàæåíèÿìè
ãäå - êëàññ ïðåîáðàçîâàíèé , òàêîé, ÷òî . Èíà÷å ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
(10*)
à - îïåðàòîð íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà , ôîðìà êîòîðûõ íå ñëîæíåå, ÷åì ôîðìà . Õàðàêòåðèñòè÷åñêèì äëÿ ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî, åñëè f(x)=f(y), òî äëÿ ëþáîãî .
5.1. Приближение цветного изображения изображениями, цвет и яркость которых постоянны на подмножествах разбиения поля зрения X.
Задано разбиение , òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ÿðêîñòü è öâåò íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ íà êàæäîì . Ðàññìîòðèì çàäà÷ó íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ â öâåòíîãî èçîáðàæåíèÿ f() (2) èçîáðàæåíèÿìè (4), â êîòîðûõ ñ÷èòàåòñÿ çàäàííûì ðàçáèåíèå ïîëÿ çðåíèÿ X è òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü èç óñëîâèÿ
(11)
Òåîðåìà 1. Ïóñòü . Òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è (11) èìååò âèä
, i=1,...,N, j=1,...,n,(12)
è èñêîìîå èçîáðàæåíèå (4) çàäàåòñÿ ðàâåíñòâîì
.(13)
Îïåðàòîð ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíûì ïðîåêòîðîì íà ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî (4****) èçîáðàæåíèé (4), ÿðêîñòè è öâåòа êîòîðûõ íå èçìåíÿþòñÿ â ïðåäåëàõ êàæäîãî Ai , i=1,...,N.
×åðíî-áåëûé âàðèàíò (4*) öâåòíîãî èçîáðàæåíèÿ (4) ÿâëÿåòñÿ íàèëó÷øåé â àïïðîêñèìàöèåé ÷åðíî-áåëîãî âàðèàíòà öâåòíîãî èçîáðàæåíèÿ f(×) (2), åñëè öâåòíîå èçîáðàæåíèå (4) ÿâëÿåòñÿ íàèëó÷øåé â àïïðîêñèìàöèåé öâåòíîãî èçîáðàæåíèÿ f(×) (2). Оператор , является ортогональным проектором на линейное подпространство черно-белых изображений, яркость которых постоянна в пределах каждого .
 òî÷êàõ ìíîæåñòâà öâåò (4**) íàèëó÷øåé àïïðîêñèìàöèè (4) öâåòíîãî èçîáðàæåíèÿ f(×) (2) ÿâëÿåòñÿ öâåòîì àääèòèâíîé ñìåñè ñîñòàâëÿþùèõ f(×) èçëó÷åíèé, êîòîðûå ïîïàäàþò íà .
Äîêàçàòåëüñòâî.Ðàâåíñòâà (12) - óñëîâèÿ ìèíèìóìà ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé êâàäðàòè÷íî
