v(a), очевидно, содержится в nN мерном линейном подпространстве
,(4****)
которое назовем формой a() в широком смысле.
Форму в широком смысле любого изображения a(), у которого не обязательно различны яркости и цвета на различных подмножествах Ai ,i=1,...,N, определим как линейное подпространство , íàòÿíóòîå íå âåêòîð-ôóíêöèè Fa(),FF, где F - класс преобразований , îïðåäåëåííûõ êàê ïðåîáðàçîâàíèÿ âåêòîðîâ a(x)Fa(x) во всех точках xX; здесь F - любое преобразование . Òîò ôàêò, ÷òî F îçíà÷àåò êàê ïðåîáðàçîâàíèå , òàê è ïðåîáðàçîâàíèå , íå äîëæåí âûçûâàòü íåäîðàçóìåíèÿ.
Изображения из конуса(4***) имеют форму, которая не сложнее, чем форма a() (4), поскольку некоторые из них могут иметь одно и то же значение яркости или(и) цвета на различных множествах Аi, i=1,…………..,N. Также множества оказываются, по существу, объединенными в одно, что и приводит к упрощению формы изображения, поскольку оно отражает меньше деталей формы изображенного объекта, чем изображение (4). Это замечание касается и L(a()), если речь идет о форме в широком смысле.
Ëåììà 3. Ïóñòü {Ài} - èçìåðèìîå ðàçáèåíèå X: .
Изображение (3) имеет на каждом подмножестве Ai :
постоянную яркость и цвет , если и только если выполняется равенство (4);
постоянный цвет , если и только если в (3) ;
постоянную яркость fi , i=1,...,N, если и только если в (3) не зависит от , i=1,…...,N.
Доказательство .На множестве Ai яркость и цвет изображения (3) равны соответственно
, , i=1,.…..,N.
Если выполнено равенство (4), то и от не зависят. Наоборот, если и , то и , т.е. выполняется (4).
Если , то цвет не зависит от . Наоборот, пусть не зависит от . В силу линейной независимости координаты j(i)(x) не зависят от , т.е. и, следовательно, где - яркость на A i и . Последнее утверждение очевидно
Цвет изображения определяется как электродинамическими свойствами поверхности изображенного объекта, так и спектральным составом облучающего электромагнитного излучения в том диапазоне, который используется для регистрации изображения. Речь идет о спектральном составе излучения, покидающего поверхность объекта и содержащего как рассеянное так и собственное излучения объекта. Поскольку спектральный состав падающего излучения, как правило, пространственно однороден, можно считать, что цвет изображения несет информацию о свойствах поверхности объекта, о ее форме, а яркость в значительной степени зависит и от условий “освещения”. Поэтому на практике в задачах морфологического анализа цветных изображений сцен важное значение имеет понятие формы изображения, имеющего постоянный цвет и произвольное распределение яркости в пределах заданных подмножеств Ai , i=1,...,N, поля зрения X.
Итак, пусть в согласии с леммой 3
,(5)
где, - индикаторная функция Ai, , функция gi(×) задает распределение яркости
(6)
в пределах Ai при постоянном цвете
, i=1,...,N,(7)
причем для изображения (5) цвета (i), i=1,.…..,N, считаются попарно различными, а функции g(i), i=1,.…..,N, - удовлетворяющими условиям i=1,.…..,N.
Нетрудно заметить, что в выражениях (5),(6) и (7) без потери общности можно принять условие нормировки , позволяющее упростить выражения (6) и (7) для распределений яркости и цвета. С учетом нормировки распределение яркости на Ai задается функцией а цвет на Ai равен
(7*)
Форму изображения (5) определим как класс всех изображений
(8)
,
êàæäîå èç êîòîðûõ, êàê è èçîáðàæåíèå (5), èìååò ïîñòîÿííûé öâåò â ïðåäåëàõ êàæäîãî Ai, i=1,...,N. Ôîðìà òàêèõ èçîáðàæåíèé íå ñëîæíåå, ÷åì ôîðìà f(×) (5), ïîñêîëüêó â èçîáðàæåíèè íà íåêîòîðûõ ðàçëè÷íûõ ïîäìíîæåñòâàõ Ai, i=1,...,N, ìîãóò ñîâïàäàòü çíà÷åíèÿ öâåòà, êîòîðûå íåïðåìåíðíî ðàçëè÷íû â èçîáðàæåíèè f(×) (5). Ñîâïàäåíèå öâåòà íà ðàçëè÷íûõ ïîäìíîæåñòâàõ Ai, i=1,...,N âåäåò ê óïðîùåíèþ ôîðìû èçîáðàæåíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ôîðìîé f(×) (5). Âñå èçîáðàæåíèÿ , èìåþùèå ðàçëè÷íûé öâåò íà ðàçëè÷íûõ Ai, i=1,...,N, ñ÷èòàþòñÿ èçîìîðôíûìè f(×) (è ìåæäó ñîáîé), ôîðìà îñòàëüíûõ íå ñëîæíåå, ÷åì ôîðìà f(×). Åñëè , òî, î÷åâèäíî, .
Åñëè â (8) ÿðêîñòü , òî öâåò íà Ai ñ÷èòàåòñÿ ïðîèçâîëüíûì (ïîñòîÿííûì), åñëè æå â òî÷êàõ íåêîòîðîãî ïîäìíîæåñòâà , òî öâåò íà Ai ñ÷èòàåòñÿ ðàâíûì öâåòó íà , i=1,...,N.
Цвет изображения (8) может не совпадать с цветом (5). Если же по условию задачи все изображения , форма которых не сложнее, чем форма , должны иметь на Ai, i=1,...,N, тот же цвет, что и у то следует потребовать, чтобы , в то время, как яркости îñòàþòñÿ ïðîèçâîëüíûìè (åñëè , òî öâåò íà Ai îïðåäåëÿåòñÿ ðàâíûì öâåòó f(×) íà Ai, i=1,...,N).
Нетрудно определить форму любого, не обязательно мозаичного, изображения f(×) в том случае, когда допустимы произвольные изменения яркости при неизменном цвете (x) в каждой точке . Множество, содержащее все такие изображения
(9)
назовем формой в широком смысле изображения , у которого f(x)0, -почти для всех , [ср. 2]. является линейным подпространством , содержащем любую форму
,(10)
в которой включение определяет допуст
