Методы математической физики (линейные и нелинейные уравнения физики)

немецкий математик и астроном XIX века. Родился 22 июля 1784 в Миндене. Самостоятельно изучал математику и астрономию, в 1804 вычислил

Методы математической физики (линейные и нелинейные уравнения физики)

Курсовой проект

Математика и статистика

Другие курсовые по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией
всех значениях .

4. Ортогональность функций Бесселя и их корни

 

Рассмотрим уравнение

 

 

где k - некоторая постоянная, отличная от нуля.

Введем вместо x новую независимую переменную t = kx. Тогда уравнение (30) преобразуется в такое:

 

 

а это есть уравнение Бесселя. Следовательно, функция y=Jv (kx) будет решением уравнения

 

 

которое разделив на x, можем написать в виде

 

 

Возьмем два различных значения k и напишем соответствующие дифференциальные уравнения:

 

Умножая первое из этих равенств на Jv (k2 x), а второе - на Jv (k1 x) и вычитая одно из другого, после несложных преобразований получим:

 

 

Если теперь воспользоваться формулой (14), то нетрудно убедиться, что выражение, стоящее здесь в квадратных скобках, может быть разложено по степеням x, причем наинизшая степень х будет х2(v+1). Отсюда ясно, что это выражение будет обращаться в нуль при х = 0, если > -1. Приняв это во внимание, проинтегрируем равенство (32) по некоторому конечному промежутку (0, l); тогда получим

 

 

где через (') обозначается, как обычно, дифференцирование по аргументу. При l = 1 эта формула принимает вид:

 

 

Покажем теперь, что при >-1 функция Бесселя JV(x) не может иметь комплексных корней. Допустим, что она имеет такой корень а+ib, причем а. В разложении (14) все коэффициенты разложения вещественны и, следовательно, функция J1(x) кроме корня a+ib должна иметь и сопряженный корень a-ib. Обратимся к формуле (34) и положим k1=a+ib и k2=a+ib; при этом k12≠k22 и формула дает

 

Величины JV(k1x) и JV(k2x) будут комплексно сопряженными, следовательно, в предыдущей формуле под знаком интеграла стоит положительная величина и эта формула не может иметь места.

Функция Бесселя Jv(x) не может иметь и чисто мнимых корней. Действительно, подставив ± ib в формулу (14), получим разложение, содержащее только положительные члены:

 

 

так как, согласно формуле (8), гамма-функция Г(x) принимает положительные значения при х > 0.

Покажем теперь, что функция Jv(x) имеет вещественные корни. Для этого обратимся к асимптотическому разложению функции Бесселя (29):

 

 

Из этой формулы видно, что при беспредельном удалении x: вдоль положительной части оси Ох второе слагаемое в квадратных скобках стремится к нулю, а первое - бесчисленное множество раз изменяется от -1 к +1. Отсюда непосредственно вытекает, что функция Jv(x) имеет бесчисленное множество вещественных корней.

Таким образом, приходим к следующему результату: если > -1, то функция Jv(x) имеет все корни вещественные.

Заметим, кроме того, что из разложения (14), содержащего только четные степени, непосредственно вытекает, что корни Jv(x) будут попарно одинаковыми по абсолютной величине и обратными по знаку, так что достаточно рассматривать только положительные корни.

Пусть k1=, k2=, где µi и µl-два различных положительных корня уравнения.

 

 

Тогда формула (33) дает непосредственно следующее свойство ортогональности функций Бесселя:

 

 

Пусть теперь k=, где µ - положительный корень уравнения (35). Возьмем формулу (33), в которой положим k1=k2, k2 а будем считать переменным и стремящимся к k, тогда получим

 

 

При k2 - >правая часть этого равенства становится неопределенной так как числитель и знаменатель стремятся к нулю. Раскрыв эту неопределенность по правилу Лопиталя, получим

 

Положив в формуле (22) х=µ и приняв во внимание, что есть корень уравнения (35), получим

 

 

и формулу (37) можно записать еще следующим образом:

 

 

Таким образом, мы имеем

 

(> -1)

 

где µi и µj-положительные корни уравнения JV(x)=0.

Рассмотрим теперь более общее уравнение

 

 

где α и β-заданные вещественные числа.

 

5. Применение теории функций Бесселя к анализу скин-эффекта

 

Переменный ток в отличие от постоянного не распределяется равномерно по сечению проводника, а имеет большую плотность у его поверхности. Это явление называют скин-эффектом (по-английски skin - кожа).

Рассмотрим, для простоты, бесконечный однородный цилиндрический провод () по которому течет переменный ток. Будем предполагать, что полный ток I= I0eiwt, протекающий через сечение провода, известен.

Пренебрегая токами смешения по сравнению с током проводимости и считая процесс установившимся, т.е. зависящим от времени по закону eiwt, получим, после сокращения на множитель eiwt, уравнения Максвелла в виде:

 

(1)

(2)

(3)

(4)

 

где . Уравнения (3) и (4) в данном случае, очевидно, следуют из уравнений (1) и (2).

Введем цилиндрическую систему координат () так, чтобы ось z совпадала с осью провода. Тогда в силу осевой симметрии тока все величины можно считать зависящими только от переменной r.

Так как в нашем случае вектор Е направлен вдоль оси z, то из уравнений (1) и (2) будем иметь:

 

 

Исключая отсюда H, найдем:

 

Введем граничное условие на поверхности провода при r=R. Для этого воспользуемся тем, что нам известен полный ток I0, протекающий по цилиндру.

Запишем первое уравнение Максвелла (1) в интегральной форме:

 

 

где С - контур, охватывающий провод, Нs - тангенциальная составляющая вектора H на С. Если в качестве такого контура взять окружность r=R, то получим:

 

 

или

 

 

Отсюда, пользуясь соотношением (2), находим:

 

 

Таким образом, мы должны решить уравнение Бесселя:

 

 

при граничном условии -

 

 

и условии ограниченности при r = 0:

Общее решение уравнения (5') имеет вид:

 

 

где J0 и N0 - функции Бесселя первого и второго рода, А и В - постоянные, подлежащие определению.

Функция N0 имеет логарифмическую особенность при r=0. Поэтому в силу условия (8) B= 0 и, следовательно,

 

 

Коэффициент A определим из граничного условия (7):

 

 

Отсюда для плотности тока получаем:

 

В правой части этой формулы стоят функции Бесселя от комплексного аргумента:

 

 

Обычно пользуются для этих функций следующими обозначениями:

 

 

Нетрудно найти выражения для вещественных функций ber x и bei x, пользуясь разложением функций Бесселя в ряд. Например,

 

 

откуда получаем:

 

 

Нетрудно убедиться подобным же образом, что

 

 

В приложениях встречаются также производные: ber0' x и bei0' x причем

 

 

Пользуясь введенными функциями, выражение (12) для тока можно записать в виде:

 

 

или

 

 

Вычисляя абсолютную величину этого выражения, получим:

 

 

Величиной, характеризующей распределение тока по сечению, является отношение:

 

 

Так же отмечу, что скин-эффект широко используется на практике для закалки металлов.

Заключение

 

В данной курсовой работе рассмотрено уравнение Ф.В. Бесселем, относительно его применения в таких науки как математика, физика, астрономия и др.

Доказали такие важные свойства уравнения Бесселя как

Применили данное уравнение к такому физическому процессу как скин-эффект.

 

Список литературы

 

1.Агошков В.И., Дубовский П.Б., Шутяев В.П. Методы решения задач математической физики / Под ред. Г.И. Марчука: Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 320 с.

2.Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. - 4-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 688 с.

.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: Учебник. 7-е изд. / Тихонов А.Н., Самарский А.А. - М.: Изд-во МГУ; Изд-во «Наука», 2004. - 798 с.

.Шарма Дж.Н., Сингх К. Уравнения в частных производных для инженеров. М.: - Техносфера, 2002. - 320 с.

5.Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. - М.: Изд-во «Наука», 1964. - 286 с.

6.Бицадзе А.В. Уравнения математической физики: Учебник. - 2-е изд., перераб. и дополненное. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1982. - 336 с.

.Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - М.: Изд-во «Наука», 1967. - 436 с.

.Власова Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 700 с.

Похожие работы

< 1 2 3 >