Методы математической физики (линейные и нелинейные уравнения физики)

немецкий математик и астроном XIX века. Родился 22 июля 1784 в Миндене. Самостоятельно изучал математику и астрономию, в 1804 вычислил

Методы математической физики (линейные и нелинейные уравнения физики)

Курсовой проект

Математика и статистика

Другие курсовые по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией

Вступление

 

В этой курсовой работе мы познакомимся с уравнением Бесселя и его применением в уравнениях математической физики. Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.

 

 

1. Фридрих Вильгельм Бессель

 

немецкий математик и астроном XIX века. Родился 22 июля 1784 в Миндене. Самостоятельно изучал математику и астрономию, в 1804 вычислил орбиту кометы Галлея. В 1806 стал ассистентом крупного астронома И. Шрётера в Лилиентале, вскоре приобрел репутацию видного астронома-наблюдателя и вычислителя-математика. В этом качестве в 1810 был приглашен в Кёнигсбергский университет для организации обсерватории, директором которой оставался до конца жизни. Полагая, что в результаты наблюдений необходимо вносить поправки, учитывающие наличие самых незначительных факторов, Бессель разработал математические методы коррекции результатов наблюдений. Первой работой в этом направлении стала корректировка положений звезд в каталоге, составленном в 18 в. английским астрономом Дж. Брадлеем. В дальнейшем Бессель сам вел наблюдения за звездами; в 1821-1833 он определил положение более 75 тыс. звезд и составил обширные каталоги, которые легли в основу современных знаний о звездном небе.

Бессель одним из первых измерил параллаксы звезд и расстояние до них. В 1838 определил расстояние до двойной звезды 61 Лебедя, оказавшейся одной из самых близких к Солнечной системе. Наблюдая в течение ряда лет яркие звезды Сириус и Процион, Бессель обнаружил в их траектории такие особенности, которые можно было объяснить только наличием спутников. Эти предположения впоследствии подтвердились: в 1862 был обнаружен спутник Сириуса, а в 1896 - спутник Проциона. Известны работы Бесселя в области геодезии (определение длины секундного маятника, изобретение базисного прибора).

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т.п., например:

·электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;

·теплопроводность в цилиндрических объектах;

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

 

. Уравнение Бесселя

 

При решении многих задач математической физики приходят к линейному дифференциальному уравнению:

 

(1)

 

где - постоянная. Это уравнение встречается также во многих вопросах физики, механики, астрономии и т.п. Уравнение (1) называется уравнением Бесселя. Так как уравнение (1) имеет особую точку x = 0, то его частное решение следует искать в виде обобщенного степенного ряда:

 

 

Подставляя ряд (2) в уравнение (1), получим

 

(3)

 

Приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях x, будем иметь:

 

 

Из первого равенства находим два значения для р: p1= и p2=-

Если мы возьмем первый корень р = , то из формул (5) и (6) получим:

 

 

Отсюда следует, что a2k+1=0 (k=2, 3, 4,…), а коэффициенты с четными индексами определяются, очевидно, по формулам:

 

 

Из которых ясно, что общее выражение для коэффициентов имеет такой вид:

 

 

Что касается коэффициента a0, который был до сих пор совершенно произвольным, то выберем его таким образом:

 

 

где Г () - гамма-функция, которая определяется для всех положительных значений (а также для всех комплексных значений с положительной вещественной частью) следующим образом:

 

 

При таком выборе а0 коэффициент а2k может быть записан в виде:

 

 

Это выражение может быть упрощено, если воспользоваться одним из основных свойств гамма-функции. Для этого проинтегрируем правую часть равенства (8) по частям; тогда получим следующую основную формулу:

 

 

Отметим, что формула (10) дает возможность определить гамма-функцию для отрицательных значений , а также и для всех комплексных значений.

Пусть k - некоторое целое положительное число. Применяя несколько раз формулу (10), получим

 

 

Полагая в этой формуле = 0, найдем, в силу равенства

 

другое важное свойство гамма-функции, выражаемое

 

Г (k+1) = k! (12)

бессель уравнение функция ортогональность

С помощью формулы (11) выражение (9) для коэффициента а2k примет следующий вид:

 

 

Внося найденные значения коэффициентов а2k+1 и а2k в ряд (2), получим частное решение уравнения (1). Это решение носит название функции Бесселя 1-го рода - го порядка и обозначается обычно через JV (x).

Таким образом,

 

 

Ряд (14) сходится при любом значении x, в чем нетрудно убедиться, применяя признак Даламбера.

Используя второй корень p2 =-, можно построить второе частное решение уравнения (1). Оно может быть получено, очевидно, из решения (14) простой заменой на -, так как уравнение (1) содержит только 2 и не меняется при замене на -:

 

 

Если не равно целому числу, то частные решения JV (x) и J-V (x). уравнения Бесселя (1) будут линейно независимыми, так как разложения, стоящие в правых частях формул (14) и (15), начинаются с разных степеней х. Если же есть целое положительное число n, то в этом случае легко обнаружить линейную зависимость решений Jn(x) и J-n(x). Действительно, при целом для к = 0, 1, 2,…, n- 1 величина -+k+1 принимает целые отрицательные значения или нуль. Для этих значений k: Г(-+k+1)=, что следует из формулы:

 

 

Таким образом, первые n членов в разложении (15) обратятся в нуль и мы получим

 

 

или, положив k= n + l, получим

 

т.е.

 

Отсюда следует, что при целом n функции Jn(x) и J-n(x) линейно зависимы.

Для того чтобы найти общее решение уравнения (1), когда равно целому числу n, необходимо найти второе, линейно-независимое от JV (x), частное решение. Для этого введем новую функцию Yv (х), положив

 

Очевидно, что эта функция также является решением уравнения (1), так как она представляет собою линейную комбинацию частных решений JV (x) и

J-V (x) этого уравнения. Затем нетрудно убедиться, на основании соотношения (16), что при , равном целому числу n, правая часть равенства (17) принимает неопределенный вид . Если раскрыть эту неопределенность по правилу Лопиталя, то в результате ряда выкладок (которые ввиду их сложности здесь не воспроизводятся) получим следующее представление функции Yn(x) при целом положительном n:

 

 

В частном случае, при n = 0, функция Yo(х) представляется таким образом:

 

 

Введенная здесь функция Yv (х) называется функцией Бесселя 2-го рода - го порядка или функцией Вебера.

Функция Вебера Yv (х) является решением уравнения Бесселя также и в том случае, когда - целое число.

Функции JV (x) и Yv (х), очевидно, линейно независимы, следовательно, эти функции при всяком - дробном или целом - образуют фундаментальную систему решений. Отсюда вытекает, что общее решение уравнения (1) может быть представлено в виде

 

 

где С1 и С2 - произвольные постоянные.

 

3. Частные случаи уравнения Бесселя

 

В математической физике наиболее часто встречаются функции Бесселя

 

где п-целое число.

 

Первые две из этих функций представляются следующими рядами:

 

 

Для них имеются подробные таблицы. Графики функций J0(x), J1(x) и У0(x) приведены на рис. 1 и 2.

 

Рис. 1Рис. 2

Из формулы (23) видно, что вычисление функций J2(x), J3(x) и т.д. сводится к вычислению соответствующих значении функций J0(x) и J1(x).

Обратимся теперь к функции Jn+1/2 (x), где n - целое число.

Найдем прежде всего значения функций J1/2 (x) и J-1/2 (x), для чего обратимся к разложению (14); из него видно, что

 

 

Но из формулы (11) непосредственно вытекает, что

 

 

Таким образом,

 

 

Последняя сумма представляет собой разложение sin x в степенной ряд, вследствие чего

 

 

Аналогично, из разложения (15) вытекает, что

 

Если теперь воспользоваться формулой (23), то нетрудно видеть, что

 

 

Вообще, функция Бесселя Jn+1/2 (x) при целом n выражается через элементарные функции, а именно:

 

 

где Рn (1/x) - многочлен степени n относительно 1/x, а

Qn-1 (1/x) - многочлен степени n-1, причем Pn(0) = 1, 0n-1(0)=0. Отсюда следует, что при больших значениях х имеет место асимптотическое представление функции Бесселя:

 

 

где через О(x-1) обозначена величина порядка 1/x.

Отметим, что асимптотическая формула (29) справедлива не только при =n+1/2, но и при

Похожие работы

1 2 3 > >>