Математическое моделирование и численные методы в решении технических задач

.%20%d0%94%d0%b8%d1%84%d1%84%d0%b5%d1%80%d0%b5%d0%bd%d1%86%d0%b8%d0%b0%d0%bb%d1%8c%d0%bd%d0%be%d0%b5%20%d0%b8%20%d0%b8%d0%bd%d1%82%d0%b5%d0%b3%d1%80%d0%b0%d0%bb%d1%8c%d0%bd%d0%be%d0%b5%20%d0%b8%d1%81%d1%87%d0%b8%d1%81%d0%bb%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d1%8f%20%d0%b4%d0%bb%d1%8f%20%d0%b2%d1%83%d0%b7%d0%be%d0%b2.%20-%2013-%d0%b5%20%d0%b8%d0%b7%d0%b4.%20-%20%d0%9c.:%20%d0%9d%d0%b0%d1%83%d0%ba%d0%b0.%20%d0%93%d0%bb.%20%d1%80%d0%b5%d0%b4.%20%d1%84%d0%b8%d0%b7-%d0%bc%d0%b0%d1%82.%20%d0%bb%d0%b8%d1%82.,%201985.%20-%20432%20%d1%81.>Пискунов Н. С. <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%83%D0%BD%D0%BE%D0%B2,_%D0%9D%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0%D0%B9_%D0%A1%D0%B5%D0%BC%D1%91%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87> Дифференциальное и интегральное исчисления для вузов. - 13-е изд. - М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит.,

Математическое моделирование и численные методы в решении технических задач

Курсовой проект

Математика и статистика

Другие курсовые по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией
ешности метода прямоугольников. Сначала оценим погрешность на элементарном интервале. Погрешность метода прямоугольников в целом будет равна сумме абсолютных погрешностей на каждом элементарном интервале.

 

Блок схема

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Текст задачи

=1;

bb=2;=1;=0.00001;a,b,s,ss,e,deltax,x:real;,n:integer;f(x:real):real;:=exp(-x)-sqr(x-1)+1;;:=aa; b:=bb; n:=nn;begin ss:=s;:=k+1;:=0;:=n*2;:=(b-a)/n;:=a;x<b do begin:=s+f(x)*deltax;:=x+deltax;;:=abs((ss-s)/s);('k= ',k,' ','s= ',s:0:7,' ','e= ',e:0:7);;e<ee;.

Результаты

 

kse11.17050481.000000021.04407210.121095830.97394340.072004940.93715250.039258250.91832550.020501460.90880410.010476870.90401650.005296080.90161590.002662590.90041390.0013349100.89981250.0006684110.89951170.0003344120.89936130.0001673130.89928610.0000836140.89924840.0000418150.89922960.0000209160.89922020.0000105170.89921550.0000052

Вывод

В данном методе наибольшее количество итераций, средняя сложность написания текста задачи, менее точный среди методов парабол и трапеций.

 

3.3 Метод Трапеций

 

Теоретические сведения

Пусть нам требуется вычислить определенный интеграл, где y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Разобьем отрезок [a; b] на n равных интервалов длины h точками. В этом случае шаг разбиения определяется так же как в методе парабол. Рассмотрим функцию на элементарных отрезках [x(i-1);x(i)]. Возможны четыре случая (на рисунке показаны простейшие из них, к которым все сводится при увеличении n):

 

На каждом отрезке [x(i-1);x(i)] заменим функцию y = f(x) отрезком прямой, проходящей через точки и . На рисунке показаны синими линиями:

 

 

В качестве приближенного значения интеграла возьмем выражение

 

 

Давайте выясним, что означает в геометрическом смысле записанное приближенное равенство. В первом случае площадь криволинейной трапеции приближенно равна площади трапеции с основаниями f(x(i-1)), f(x(i)) и высотой h, в последнем случае определенный интеграл приближенно равен площади трапеции с основаниями -f(x(i-1)), -f(x(i))и высотой h, взятой со знаком минус. Во втором и третьем случаях приближенное значение определенного интеграла равно разности площадей красной и синей областей, изображенных на рисунке ниже.

 

Рис. 11

 

Рис. 12

Блок схема

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Текст задачи

 

Const aa=1; bb=2; ee=0.00001; nn=1;a,b,s,ss,e,deltax,x:real;,n:integer;f(x:real):real;:=exp(-x)-sqr(x-1)+1;;:=aa; b:=bb; n:=nn;ss:=s;:=k+1;:=0;:=n*2;:=(b-a)/n;:=a;x<b do begin:=s+deltax*(f(x)+f(x+deltax))/2; x:=x+deltax;;:=abs((ss-s)/s);('k=',k,' ','s=',s:0:7,' ','e=',e:0:7);

until e<ee;.

 

Результаты

 

kse10.86236881.000000020.89000410.031050830.89690940.007699040.89863550.001920850.89906700.000480060.89917490.000120070.89920180.000030080.89920860.0000075

Вывод

В данном методе небольшое количество итераций, средняя точность относительно методов Симпсона и прямоугольников.

 

4.Вывод о трех методах

 

Каждый способ приближённого решения определённого интеграла имеет свои преимущества и недостатки, в зависимости от поставленной задачи следует использовать конкретные методы. Если необходимо быстро получить решение, но нет необходимости в большой точности ответа, следует воспользоваться одним из методов прямоугольника. Если же необходимо получить наиболее точный результат, идеально подходит метод Симпсона. Метод трапеций даёт ответ более точный, чем метод прямоугольников, но методу Симпсона он сильно уступает, этот метод можно назвать «золотой серединой» между двумя другими.

Решение систем линейных алгебраических уравнений

 

4.1 Метод Гаусса

 

Теоретические сведения

Метод Гаусса прекрасно подходит для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими методами:

·во-первых, нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность;

·во-вторых, методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю;

·в-третьих, метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Допустим, нам дана система из нескольких уравнений с неизвестными переменными.

Записываем эту совокупность в матричном виде, и можно производить некоторые действия для получения неизвестных переменных:

поменять местами два уравнения,

умножить обе части какого-либо уравнения на произвольное и отличное от нуля действительное (или комплексное) число k,

к обеим частям какого-либо уравнения прибавить соответствующие части другого уравнения, умноженные на произвольное число к, таким образом, мы получим корни ур-ев.

 

Блок схема

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Текст задачи

:text;

a:array[1..1000,1..1000] of real;:real;,m,i,j,k:integer;:array[1..1000] of real;(t , 'H:\Phoenix\3.txt');(t);not eof(t) do:=i+1;:=0;not eoln(t) do:=j+1;(t,a[i,j]);;(t);;:=i;i:=1 to n do beginj:=1 to n+1 do(a[i,j],' ');writeln; end;;i:= 1 to n-1 doj:=i+1 TO n do begin:=a[i,i]/a[j,i];k:=i to n+1 do[j,k]:=a[i,k]-a[j,k]*c;;i:=1 to n do beginj:=1 to n+1 do(a[i,j],' ');writeln; end;;[n]:=a[n,n+1]/a[n,n];(X[n]:0:6,' ');i:= n-1 downto 1 do begin[i]:=a[i,n+1]/a[i,i];j:=i+1 to n do[i]:=x[i]-a[i,j]*x[j]/a[i,i];(x[i]:0:7,' ');;

close(t);.

 

Результаты

 

13-7562571281-21117369-810

Корни уравнений данной системы: х1= 2; х2= -1; х3= 3; х4= 1;

 

4.2 Метод Ньютона

 

Теоретические сведения

Чтобы численно решить уравнение ,%20%d0%b5%d0%b3%d0%be%20%d0%bd%d0%b5%d0%be%d0%b1%d1%85%d0%be%d0%b4%d0%b8%d0%bc%d0%be%20%d0%bf%d1%80%d0%b8%d0%b2%d0%b5%d1%81%d1%82%d0%b8%20%d0%ba%20%d1%81%d0%bb%d0%b5%d0%b4%d1%83%d1%8e%d1%89%d0%b5%d0%b9%20%d1%84%d0%be%d1%80%d0%bc%d0%b5:%20"> методом простой итерации <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9_%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8>, его необходимо привести к следующей форме: , где ."> - сжимающее отображение <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B6%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5>.

%20%d0%bc%d0%b5%d1%82%d0%be%d0%b4%d0%b0%20%d0%b2%20%d1%82%d0%be%d1%87%d0%ba%d0%b5%20%d0%be%d1%87%d0%b5%d1%80%d0%b5%d0%b4%d0%bd%d0%be%d0%b3%d0%be%20%d0%bf%d1%80%d0%b8%d0%b1%d0%bb%d0%b8%d0%b6%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d1%8f%20">Для наилучшей сходимости <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D1%81%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8> метода в точке очередного приближения должно выполняться условие . Решение данного уравнения ищут в виде

, тогда:

 

В предположении, что точка приближения «достаточно близка» к корню %20">, и что заданная функция непрерывна <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D1%80%D0%B5%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5> , окончательная формула для такова:

 

 

%20">С учётом этого функция <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%28%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5%29> определяется выражением:

 

 

Эта функция в окрестности корня осуществляет сжимающее отображение, и алгоритм нахождения численного решения уравнения сводится к итерац

Похожие работы

< 1 2 3 4 > >>