Краевые задачи остывания нагретых тел

В любой момент времени t функция и определяет скалярное поле - поле температуры. В общем курсе анализа обычно ограничиваются изучением

Краевые задачи остывания нагретых тел

Дипломная работа

Физика

Другие дипломы по предмету

Физика

Сдать работу со 100% гаранией

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа по уравнениям математической физики

на тему:

Краевые задачи остывания нагретых тел

Содержание

 

Введение

1. Уравнение теплопроводности

1.1 Физический смысл уравнения теплопроводности

1.2 Вывод уравнения теплопроводности

2. Краевые задачи остывания нагретых тел

2.1 Постановка задачи

2.2 Схема метода разделения переменных Фурье

2.3 Примеры решения задач

Заключение

Список используемой литературы

 

Введение

 

Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, термодинамике, теории упругости, электродинамике и т.д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.

Метод исследования, характеризующий эту отрасль науки, является математическим по своему существу. Однако постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с изучением физических проблем, имеет специфические черты.

При выводе дифференциальных уравнений с частными производными из общих законов, которым подчинены изучаемые явления природы, естественно возникают дополнительные условия, налагаемые на искомые решения. Важно заметить, что условия задач, которым должны удовлетворять искомые решения, существенно зависят от типа рассматриваемого уравнения.

В настоящей курсовой работе исследуется уравнение теплопроводности, которое относится к параболическому типу, и с помощью которого математически описывается процесс остывания нагретых тел. Рассматриваются такие задачи, как остывание однородного шара, прямоугольного параллелепипеда и цилиндра. В работе приводится также вывод уравнения теплопроводности в пространственном случае и метод разделения переменных Фурье, применительно к уравнению теплопроводности.

1. Уравнение теплопроводности

 

1.1 Физический смысл уравнения теплопроводности

 

Рассмотрим физические предпосылки вывода уравнения теплопроводности на примере линейного случая. В задаче линейной теплопроводности стержень предполагается настолько тонким, что в каждый момент времени температура всех точек данного поперечного сечения стержня будет одной и той же. Вывод дифференциального уравнения теплопроводности основан на следующих физических предпосылках:

1.Количество тепла, которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на Δu, равно:

 

 

где V - объем тела, ρ - его плотность, с - удельная теплоемкость.

. Количество тепла, протекающее через поперечное сечение стержня за момент времени Δt (тепловой поток), пропорционально площади сечения, скорости изменения температуры в направлении, перпендикулярном к сечению, и промежутку времени Δt, т.е. равно

 

(1.1.1)

 

где S - площадь поперечного сечения, k - коэффициент теплопроводности.

Знак минус в формуле (1.1.1) объясняется тем, что величину потока мы будем считать положительной, когда тепло проходит в сторону возрастания х. Будем считать коэффициент теплопроводности постоянным; это предположение оправдывается, если стержень однородный и температура меняется в небольших пределах. Заметим еще, что способы экспериментального определения коэффициентов теплопроводности различных материалов весьма сложны и во многом опираются на математическую теорию теплопроводности.

 

1.2 Вывод уравнения теплопроводности

 

Приведем вывод уравнения теплопроводности в пространственном случае. Рассмотрим неравномерно нагретое тело. Пусть температура в каждой точке (х, у, z) тела в момент времени t определяется функцией и (х, у, z, t). Физические предпосылки были подробно рассмотрены на примере вывода уравнения линейной теплопроводности. Поэтому ограничимся краткими замечаниями, обратив основное внимание на те усложнения математической стороны дела, которые возникают в пространственном случае.

В любой момент времени t функция и определяет скалярное поле - поле температуры. В общем курсе анализа обычно ограничиваются изучением стационарных полей, когда температура и не зависит от времени. Нам же сейчас придется рассматривать нестационарное поле, поскольку мы предполагаем, что температура точек тела изменяется со временем. Если зафиксировать момент времени t, то совокупность точек, в которых температура u (х, у, z, t) принимает одно и то же значение, образует изотермическую поверхность (поверхность уровня). В отличие oт стационарного случая, форма и расположение изотермических поверхностей с течением времени будут изменяться.

Как известно, направление наибольшей скорости изменения температуры и совпадает с направлением градиента функции и (х, у, z, t) при заданном значении t. При этом

 

grad u=

 

В точках изотермической поверхности градиент направлен по нормали к этой поверхности в сторону увеличения значений и и модуль градиента равен производной по этому направлению:

 

|grad u| =

 

Обобщая формулу (1.1.1), считают, что величина теплового потока через малый участок Δσ изотермической поверхности за время ∆t равна

 

(1.2.1)

 

где k - коэффициент теплопроводности, который мы считаем постоянным.

Обратим особое внимание. на роль знака "минус" в формуле (1.2.1). Условимся считать величину теплового потока положительной, если направление потока тепла совпадает с выбранным направлением нормали, и отрицательной, если оно ему противоположно. Для нормали, совпадающей с направлением градиента, тепло же переходит от более нагретых участков к менее нагретым, т.е. как раз в противоположную сторону, и, следовательно. по определению, ∆Q < 0, что и объясняет знак "минус" в формуле (1.2.1). Изменив направление нормали на противоположное, мы получили бы, что но тогда ∆Q > 0 и опять-таки знак "минус" сохраняется.

теплопроводность нагретое тело уравнение

В линейном случае изотермическими поверхностями являются сечения стержня, перпендикулярные оси Ох; нормаль к ним совпадает с осью Ох, и (если направление нормали совпадает с положительным направлением оси Ох).

В теории теплопроводности доказывается, что формула (1.2.1) для величины теплового потока справедлива для любых поверхностей (не только для изотермических). Производная по направлению нормали к выбранной поверхности равна проекции градиента на эту нормаль, т.е. скалярному произведению grad u на единичный вектор нормали n:

 

grad u· n

 

Поэтому поток тепла через участок Δσ любой поверхности за время Δt будет равен

 

grad u· n

 

Для краткости назовем вектор - k grad u вектором теплового потока и обозначим через А:

 

A = - k grad u

 

Тогда ∆Q есть поток вектора А через элементарную площадку Δσ за время Δt:

 

 

Если теперь выделить в теле некоторую часть, ограниченную замкнутой поверхностью - S, то поток тепла изнутри через эту замкнутую поверхность за время Δt будет равен произведению потока вектора A на ∆t:

 

(1.2.2)

 

рис.1.

 

где Ап - проекция А на внешнюю нормаль (рис.1).

Поток Q будет положительным, если выбранная часть тела теряет тепло, и отрицательным, если приобретает.

Применяя к интегралу в формуле (1.2.2) теорему Гаусса - Остроградского, запишем, что

 

 

где V - часть тела, ограниченная поверхностью S, и

 

где - оператор Лапласа.

 

Таким образом, количество тепла Q, приобретенное выделенной частью тела за счет прохождения теплового потока, будет равно (оно противоположно по знаку величине Q)

 

 

Предположим, далее, что в теле имеются тепловые источники, плотность которых характеризуется функцией F (x, у, z, t). Тогда за промежуток времени (t, t +∆ t) в выбранной части тела выделится тепло Q2, равное (с точностью до бесконечно малых высшего порядка)

 

 

Общее количество тепла, сообщенного выделенному объему V, будет равно сумме Ql+-Q2. Подсчитаем теперь это тепло иначе, учитывая изменение температуры в точках тела, лежащих внутри поверхности S. В точке (х, у, z) за промежуток времени Δ t температура изменится на величину

 

 

Поэтому элементарному объему ∆v для такого изменения температуры потребуется количество тепла, равное , где с - удельная теплоемкость, r - плотность, а всему объему - количество

 

 

которое должно быть равно сумме Ql+-Q2. Следовательно,

 

 

Перенося все слагаемые в левую часть, приходим к равен

Похожие работы

1 2 3 > >>