Классификация поверхностей второго порядка

причем R=3, если а'0≠0, и R = 2, если а'0 = 0. Уравнение (1) задает (в системе координат O'x"y"z") цилиндр

Классификация поверхностей второго порядка

Курсовой проект

Математика и статистика

Другие курсовые по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией
уравнений в исходной системе координат) и подставить координаты этой точки в левую часть первоначального уравнения поверхности. Полученный результат не зависит от выбора точки на прямой центров.

Переписывая уравнение кривой (III) в каноническом виде, мы получаем и каноническое уравнение

 

 

эллиптического, соответственно гиперболического, цилиндра, а также (если кривая (III) есть мнимый эллипс) уравнение мнимого эллиптического цилиндра в прямоугольной системе координат O'x"y"z". Снова равенство λ1 = λ2 является признаком того, что наша цилиндрическая поверхность есть поверхность вращения, т. е. так называемый круглый цилиндр; его сечения плоскостями, перпендикулярными к образующим, суть окружности.

Пусть теперь R = r = 2; тогда а'0 = 0 и уравнение (III) превращается в уравнение задающее (в прямоугольной системе координат O'x"y"z") пару пересекающихся плоскостей (вещественных, если λ1 и λ2 разных знаков; мнимых, если λ1 и λ2 одного знака). При этом отношение λ1/λ2, характеризующее двугранный угол между плоскостями, полностью определяется этой парой плоскостей и в свою очередь полностью ее определяет.

Переходим к поверхностям ранга r=1. Для этих поверхностей лишь одно характеристическое число, пусть λ2, отлично от нуля и λ1=λ3=0. Если ось Оу' прямоугольной системы координат направить по единственному главному направлению, соответствующему отличному от нуля корню характеристического уравнения, а оси Ох' и Oz' взять под прямым углом в плоскости, перпендикулярной к уже выбранной оси Оу' (а в остальном-произвольно), то во всякой такой системе координат уравнение нашей поверхности будет иметь вид

 

(5)

 

Для поверхности ранга r =1 всегда R ≤3.

Пусть R = 3; тогда по крайней мере один из коэффициентов а'1, а'3 отличен от нуля (иначе в матрице коэффициентов многочлена F' (х', у', z') все детерминанты третьего порядка будут равны нулю).

Пусть, например, а'3≠0. Покажем, что в рассматриваемом случае поверхность (5) будет параболическим цилиндром. Наша задача сейчас-найти такую прямоугольную систему координат, в которой уравнение (5) примет канонический вид

у2 = 2рх. (IV)

 

Для этого произведем поворот координатной системы Ox'y'z' вокруг оси у' на некоторый, пока произвольный, угол α, т. е. сделаем ортогональное преобразование координат

 

 

что тождественно преобразует левую часть уравнения (5) в

 

 

Приравниваем коэффициент при z" нулю, что дает тригонометрическое уравнение

 

 

из которого и определяем α:

В полученной прямоугольной системе координат уравнение (5) приобретает вид

 

 

где положено

 

 

При этом b≠0 (иначе матрица коэффициентов уравнения (6) имела бы ранг ≤2 вопреки предположению, что R = 3).

Уравнение (6) есть уравнение цилиндра над параболой, лежащей в плоскости z" = 0 и имеющей (в системе координат Ох"у") то же уравнение (6). Остается только произвести сдвиг начала координат (в той же плоскости Ох"у"). Мы получим после этого сдвига прямоугольную систему координат, в которой уравнение (6) параболы, а следовательно, и построенного над нею цилиндра примет канонический вид (IV). Поставленная задача решена.

Число р, являющееся параметром параболы, получающейся при сечении параболического цилиндра плоскостью, перпендикулярной к его образующим, называется параметром параболического цилиндра. Это число определено самим цилиндром и в свою очередь определяет его с точностью до его положения в пространстве. Пусть теперь R ≤2. Тогда поверхность является парой параллельных (в широком смысле) плоскостей π1, π2; канонической системой координат будет произвольная прямоугольная система координат, одна из осей которой (положим, ось у) перпендикулярна к плоскостям π1, π2, а две другие оси расположены в средней плоскости между этими плоскостями. Тогда уравнение пары плоскостей π1, π2 будет

=±b (7)

 

К этому результату можно прийти и из рассмотрения уравнения (5), в котором теперь непременно а1=а3 = 0 (если хотя бы один из коэффициентов аь а3 был ≠0, то мы имели бы параболический цилиндр и, значит, R=3).

Итак, уравнение (5) имеет в нашем случае вид

Посредством сдвига начала координат по оси ординат преобразуем его в

 

(V)

 

что эквивалентно каноническому уравнению (7).

Общим итогом этого параграфа является

Теорема 3. Каждая поверхность, определяемая уравнением второй степени с вещественными коэффициентами, принадлежит к одному из следующих семнадцати классов:

. Эллипсоиды вещественные.

. Эллипсоиды мнимые.

. Гиперболоиды однополостные.

. Гиперболоиды двуполостные,

. Конусы вещественные,

. Конусы мнимые,

. Параболоиды эллиптические,

. Параболоиды гиперболические.

. Цилиндры эллиптические вещественные.

. Цилиндры эллиптические мнимые.

. Цилиндры гиперболические.

. Цилиндры параболические.

. Поверхности, распадающиеся на пару пересекающихся вещественных плоскостей.

. Поверхности, распадающиеся на пару пересекающихся мнимых сопряженных плоскостей.

. Поверхности, распадающиеся на пару (различных) параллельных вещественных плоскостей,

. Поверхности, распадающиеся на пару (различных) параллельных мнимых сопряженных плоскостей.

. Поверхности, распадающиеся на пару совпадающих вещественных плоскостей.

 

4. Основные виды поверхностей второго порядка и их свойства

 

Рис. 1 Эллипсоид

 

Положительные числа а, b, c называются полуосями эллипса. Эллипсоид лежит внутри прямоугольного параллелепипеда -а ≤ x ≤ a, -b ≤ y ≤ a, -c ≤ z ≤ c.То есть эллипсоид является ограниченной поверхностью.

Теорема 1. Плоское сечение поверхности второго есть кривая порядка не выше двух.

Доказательство. Выберем систему координат, в которой уравнение плоскости: Z=0. Тогда уравнение сечения G(x, y) := F(x, y, 0) = 0.

Следствие 2. Непустое плоское сечение эллипсоида - эллипс или точка.

Доказательство. Это единственные не пустые ограниченные кривые 0, 1 или 2-ого порядка.

 

Мнимый эллипсоид не имеет ни одной вещественной точки:

 

Рис. 2 мнимый эллипсоид

 

 

(Изображён на рисунке 3) В сечении плоскостью z = 0 эллипс:

 

 

Называемый горловым. Однополостный гиперболоид обладает следующим замечательным свойством.

Определение 3. Назовём прямолинейной образующей поверхности прямую, целиком в ней содержащуюся. Как правило, это понятие не применяется к распадающимся поверхностям.

 

Рис. 3 однополостный гиперболоид

Доказательство. Указанные свойства аффинные, поэтому достаточно доказать теорему для гиперболоида :

2 + y2 -z2 = 1.

x2 - z2=1 - y2,

(x-z)(x+z) = (1-y)(1+z)

 

Отсюда сразу видим два семейства прямолинейных образующих:

 

 

Где λ и μ - произвольные вещественные числа, не обращающиеся в нуль одновременно.

Тогда:

 

 

Так что пары плоскостей в пересечении действительно дают прямую.

Пусть точка (x0, y0, z0) принадлежит гиперболоиду. Тогда, взяв для I λ = x0 + y0 и μ = 1 + y0, а для II - λ = x0+z0 и μ=1-y0, получим прямые, проходящие через данную точку. Поскольку одно из чисел 1 - y0 или 1 + y0 отлично от 0, то пара (λ, μ) определенна по точке (x0, y0, z0) однозначно (с точностью до множителя) для каждого семейства.

Итак, через каждую точку проходит ровно одна прямая каждого семейства.

Покажем, что других образующих нет. Допустим, что образующая параллельна плоскости z = 0, то есть содержится в плоскости z = z0. Тогда она должна содержатся в окружности x2 + y2 = 1 + z²0 что невозможно. Итак, всякая образующая пересекает z=0, а значит, и горловой эллипс (окружность). В силу вращательной симметрии достаточно исследовать одну его точку, например, (1, 0, 0). Пусть через нее проходит образующая с некоторым направляющим вектором (α, β, γ):

=1+αt

y=βt

z=γt

 

так что уравнение (результат подстановки в уравнение гиперболоида)

 

(α2+β2-γ2)t2+2αt=0

 

Должно иметь решением любое t, откуда

 

 

Значит, направляющий вектор (с точностью до ненулевого множителя) равен (0,1,±1), то есть имеются две возможности, а мы их уже нашли - это прямая первого семейства и прямая второго. Итак, других образующих нет.

Из аналогичного соображения получаем, что прямые одного семейства не могут пересекаться. Пусть они параллельны одному вектору (α, β, γ). Значит, он параллелен каждой из четырёх плоскостей, фигурирующих в записи двух прямых семейства. Тогда он является ненулевым решением системы четырёх линейных уравнений с матрицей:

 

 

Аналогично в обратной ситуации. Значит, можно считать, что μ=μ'=1, λ и λ' - ненулевые. Тогда для условия rk < 3 необходимо8

 

=

что в данной ситуации возможно только если λ = λ' и прямые совпадают. Итак, две прямые одного семейства скрещиваются.

Семейства не пересекаются, так как отображение (x, y, z) → (-x, -y, -z) переводит прямые одного семейства в прямые другого, параллельные своим про

Похожие работы

<< < 1 2 3 4 5 6 > >>