Классификация поверхностей второго порядка

причем R=3, если а'0≠0, и R = 2, если а'0 = 0. Уравнение (1) задает (в системе координат O'x"y"z") цилиндр

Классификация поверхностей второго порядка

Курсовой проект

Математика и статистика

Другие курсовые по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией
мого конуса.

°. Пусть теперь Δ≠0; это значит, что мы имеем невырожденную центральную поверхность.

Переписываем тогда уравнение (I*) в виде

 

(I**)

 

Возможны четыре случая (Пишем снова х, у, z вместо х", у", z".)

а) Все три характеристических числа имеют один и тот же знак, и Δ > 0, тогда можем положить

 

 

причем а, b, с всегда считаем положительными. Переписываем уравнение (I**) в виде

 

- получили каноническое уравнение мнимого эллипсоида.

б) Все три характеристических числа имеют один и тот же знак, и Δ < 0. Тогда полагаем

 

 

-получаем каноническое уравнение вещественного эллипсоида

 

 

в) Характеристические числа имеют разные знаки, и Δ < 0. Предположим, что числа λ1 и λ2 имеют одинаковые знаки, а λ3 имеет знак, им противоположный. Полагаем

 

 

Получаем уравнение

 

 

- каноническое уравнение двуполостного гиперболоида. И наконец,

г) Характеристические числа имеют разные знаки, и Δ > 0. Предположим снова, что числа λ1 и λ2 имеют одинаковые знаки, а число λ3 - знак, им противоположный. Тогда, полагая

 

придаем уравнению (I**) вид

 

 

Это каноническое уравнение однополостного гиперболоида.

Итак, каждая центральная поверхность второго порядка есть либо конус (действительный или мнимый), либо эллипсоид (действительный или мнимый), либо гиперболоид (двуполостный или однополостный). Положительные числа а, b, с в каноническом уравнении центральной поверхности, являющиеся ее полуосями, выражаются через характеристические числа λ1,λ2,λ3 и детерминанты Δ, δ, т. е. через ортогональные инварианты многочлена F(x, у, z), и, значит, не меняются при переходе от прямоугольной координатной системы Oxyz, в которой задано уравнение F(x, у, z) = 0 рассматриваемой поверхности, к любой другой прямоугольной координатной системе. Но они не зависят также и от того, каким из уравнений, определяющих в первоначальной системе Oxyz данную поверхность, мы воспользовались. В самом деле, уравнения эти отличаются друг от друга только числовым множителем k. Но при умножении всех коэффициентов многочлена F(x, у, z) на данное число k на это же k умножаются и Δ/ δ, и все характеристические числа λ1,λ2,λ3; поэтому a2, b2, с2, значит, и а, b, с остаются неизменными. Итак, полуоси центральной поверхности не зависят ни от выбора прямоугольной системы координат, ни от того уравнения (из числа определяющих данную поверхность), которым в этой системе координат мы нашу поверхность задали; они зависят только от самой поверхности как геометрической фигуры, т. е. как множества точек в пространстве.

Обратно, если дано наименование центральной поверхности и ее полуоси а, b, с, то поверхность вполне определена с точностью до ее положения в пространстве. В самом деле, две одноименные поверхности с одними и теми же полуосями имеют одно и то же каноническое уравнение; значит, отличаться они могут лишь тем, что первая из них этим уравнением определена в одной прямоугольной координатной системе, а вторая - в другой; но, совмещая первую координатную систему со второй посредством (собственного или несобственного) движения, мы совместим одну из наших поверхностей с другой. Итак, две центральные поверхности тогда и только тогда изометричны между собою, когда они имеют одно и то же наименование и когда их полуоси (соответствующие членам канонического уравнения данных знаков) соответственно равны между собою.

Заметим, что (как непосредственно следует из определений чисел а, b, с) во всех рассмотренных случаях два характеристических числа равны между собою тогда и только тогда, когда соответствующие две полуоси центральной поверхности равны и входят в каноническое уравнение поверхности с одним и тем же знаком.

Мы видели, что равенство двух каких-либо полуосей, например а=b, эллипсоида означает, что мы имеем эллипсоид вращения (сферу, если а=b=с). Поэтому признаком эллипсоида вращения является равенство двух характеристических чисел, а признаком сферы - равенство λ1 = λ2 = λ3. Точно так же однополостный гиперболоид является гиперболоидом вращения, если а2 = b2, т. е. λ1= = λ,2; то же верно и для двуполостного гиперболоида, и для конуса. Итак, равенство двух характеристических чисел необходимо и достаточно для того, чтобы центральная поверхность была поверхностью вращения, а равенство λ1 = λ2 = λ3 верно для сферы (действительной или мнимой), и только для нее.

Переходим к случаю поверхности (1) ранга r=2. Покажем, что в этом случае уравнение (1) определяет: при Δ≠0 (т. е. R = 4) параболоид, эллиптический, если Δ < 0, гиперболический, если Δ > 0, а при Δ = 0, R = 3-"центральный" (т.е. эллиптический или гиперболический) цилиндр, вырождающийся при R = r=2 в пару пересекающихся плоскостей.

Итак, пусть r = 2. Тогда среди характеристических чисел многочлена F(x,y,z) два, положим λ1 и λ2, отличны от нуля и λ3=0.

В некоторой прямоугольной системе координат Ox'y'z' (с тем же началом, что и исходная система Oxyz) уравнение (1) принимает вид

 

 

Имеем

 

(2)

 

откуда заключаем, что Δ≠0 тогда и только тогда, когда а'3≠0. Рассмотрим сначала случай, когда Δ≠0 и, следовательно, а'3≠0. Перенос начала координат О в произвольную точку О' = (х'0, у'0, z'0) т. е. преобразование

 

 

переводит многочлен F' {х', у', z') в

 

 

Определяя х'0, у'0 и z'0 из уравнений

 

Получаем

 

 

Итак, в надлежаще выбранной прямоугольной системе координат уравнение всякой поверхности ранга r=2, R = 4 принимает вид

 

(II)

 

Из (2) получаем

 

 

Так как а'3, - вещественное число, то Δ имеет всегда знак, противоположный знаку λ1λ2. Другими словами, Δ положителен, если характеристические числа λ1 и λ2 разных знаков (гиперболический случай), и отрицательно, если λ1 и λ2 одного и того же знака (эллиптический случай). Изменив, если нужно, положительное направление оси z на противоположное, всегда можем предположить, что знак а'3 противоположен знаку λ1 так что уравнение (II) можно переписать в виде (мы отбрасываем штрихи при координатах)

 

(II*)

где- а'3/ λ1 есть положительное число, которое мы обозначим через р:

 

 

Число- а'3/ λ2 положительно, если знак λ2 совпадает со знаком λ1 (т. е. в эллиптическом случае, Δ<0), и отрицательно, если λ1 и λ2 разных знаков (т. е. в гиперболическом случае, Δ > 0). Поэтому, полагая в обоих случаях

 

 

имеем: q = - а'3/ λ1 в эллиптическом случае, q = а'3/ λ1 в гиперболическом случае.

Соответственно получаем: в эллиптическом случае уравнение

 

 

эллиптического, а в гиперболическом случае уравнение

 

 

гиперболического параболоида. Параметры р и q параболоида выражаются через ортогональные инварианты Δ, λ1,λ2 и поэтому не зависят от той прямоугольной системы координат, в которой было задано первоначальное уравнение (1) параболоида. Они не меняются при умножении многочлена F(x, y,z) на числовой множитель k (так как при этом Δ умножается на k4, а λ1 и λ 2 - на k), поэтому они зависят лишь от самой поверхности (рассматриваемой как множество ее точек) и в свою очередь определяют её однозначно (с точностью до ее положения в пространстве). Равенство λ1= λ 2 означает, что мы имеем эллиптический параболоид с равными параметрами р=q, т. е. параболоид вращения.

Пусть теперь Δ = 0, значит, и a3 = 0. Тогда большой ранг R≤3. Уравнение (I') в этом случае приобретает вид

 

(3)

 

Применим к этому уравнению преобразование параллельного переноса

 

 

Тогда будем иметь

 

(4)

 

Определяя х'0 и у'0 из уравнений

 

 

приведем уравнение (4) к виду

 

(III)

 

причем R=3, если а'0≠0, и R = 2, если а'0 = 0. Уравнение (1) задает (в системе координат O'x"y"z") цилиндр над лежащей в плоскости z" = 0 центральной кривой второго порядка, имеющей (в прямоугольной системе координат О'х"у") тоже уравнение (III). При R=3 (т. е. а'0≠0) эта кривая нераспадающаяся, при R=2 она распадается на пару прямых, а цилиндр (III) вырождается в пару пересекающихся плоскостей. Любая плоскость z"=h пересекает цилиндрическую поверхность (III) по кривой, имеющей то же уравнение (III), в плоскости z"=h (в системе координат с началом О" = (0, 0, h) и теми же направлениями осей х" и у", что и в координатной системе O'x"y"z"). Все эти кривые конгруэнтны между собою; достаточно знать одну из них, чтобы цилиндрическая поверхность (III) была определена. Пусть R = 3. Тогда полуоси a, b кривой (III) (называемые также полуосями цилиндрической поверхности (III)), вместе с ее наименованием, полностью определяют поверхность (III) с точностью до ее положения в пространстве и в свою очередь всецело определяются ею. Чтобы определить полуоси а, b по первоначальному уравнению (I), надо только определить а'0. Для определения числа а' надо найти какую-нибудь точку прямой центров (из системы определяющих ее

Похожие работы

< 1 2 3 4 5 6 > >>