Классификация поверхностей второго порядка

причем R=3, если а'0≠0, и R = 2, если а'0 = 0. Уравнение (1) задает (в системе координат O'x"y"z") цилиндр

Классификация поверхностей второго порядка

Курсовой проект

Математика и статистика

Другие курсовые по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией

Содержание

 

Введение

. Поверхности второго порядка

2. Все канонические уравнение квадрик

3. Приведение квадрики к каноническому виду

4. Основные виды поверхностей второго порядка и их свойства

Приложение

Список литературы

 

Введение

 

В этой работе содержится материал по поверхностям второго порядка. Что такое квадрика (или поверхность второго порядка), даны все возможные семнадцать видов квадрик, их канонические формулы, изображения и основные свойства.

Уделено внимание возможным видам любого многочлена второй степени в пространстве, возможным видам квадрики (доказывается что их всего семнадцать).

Затронуты свойства эллипсоида, однополостного и двуполостного гиперболоидов, конуса второго порядка, гиперболического параболоида. Рассматриваются прямолинейные образующие у отдельных видов поверхностей второго порядка. Приведено решение типичных задач.

 

1. Поверхности второго порядка

 

Поверхности второго порядка задаются в некоторой аффинной системе координат уравнением:

 

 

При этом требуется, чтобы квадратичная часть была отлична от нуля. Если ввести обозначения:

 

 

то уравнение примет вид:

 

 

Определение. Алгебраической поверхностью второго порядка (квадрикой) называется поверхность S, уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид:

 

,

 

где по крайней мере одна из шести величин A, B, C, D, E, F не равна нулю. Если это уравнение не удовлетворяется ни одной действительной точкой x=(x1, x2, x3), то говорят, что оно определяет мнимую поверхность.

Теорема Пусть в некоторой прямоугольной системе координат задана квадратичная часть q(x, y, z). Тогда найдется другая прямоугольная система с тем же началом, в которой квадратичная часть примет диагональный вид:

(x′, y′, z′) + λ1(x′)2+ λ 2(y′)2+ λ 3(z′)2

 

где λ1,λ2,λ3- собственные значения Q, то есть корни характеристического многочлена :

(λ)=det(Q- λE)=0,

 

а новые базисные вектора e'1 e'2 e'3 являются соответствующими собственными векторами. В частности, все собственные значения вещественны, а собственные вектора, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Лемма. Для любого многочлена второй степени в пространстве существует прямоугольная система координат, в которой он принимает один из следующих пяти видов:

 

(I)F= λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 + τ (λ1 λ2 λ3 ≠0);

(II)F=λ1x2 + λ2y2 + 2b3z (λ1 λ2 b3≠0);

(III)F= λ1 x2 + λ2 y2+ τ (λ1 λ2 ≠0);

(IV)F= λ1 x2 + 2c2y (λ1 c2 ≠0);

(V)F= λ1 x2 + τ (λ1 ≠0);

 

Доказательство. В силу предыдущей теоремы можем найти такую прямоугольную систему, в которой квадратичная часть диагональна, то есть:

= λ1x2 + λ2y2 + λ3z2 + 2b1x + 2b2y + 2b3z + b0=0

 

Рассмотрим все возможные случаи.

(I).При λ1 λ2 λ3 ≠0 имеем:

 

F=λ1(x + b1/ λ1)2 +λ1 (y + b2 / λ2)2 + λ3(x + b3 / λ3)2 + (b0 - (b1)2/ λ1 - (b2)2/ λ2 - (b3)2/ λ3) = λ1(x')2 + λ2(y')2 + λ3(z')2 + τ.

 

(II)При λ3 =0 и λ1 λ2 b3 ≠ 0 имеем:

 

F = λ1(x+b1/ λ1) 2 + λ1(y+ b2/ λ2) 2 + 2b3z + (b0 - (b1)2/ λ1 - (b2)2/ λ2)=λ1(x')2 + λ2(y')2 + 2b3z + τ = λ1x2 + λ2y2 + 2b3(z+ τ /2b3)= λ1x2 + λ2y2 + 2b3z'.

 

(III)При λ3= b3 =0 и λ1 λ2 ≠ 0 имеем:

= λ1(x+b1/ λ1) 2 + λ1 (y+ b2/ λ2) 2 + (b0 - (b1)2/ λ1 - (b2)2/ λ2) = λ1(x')2 + λ2(y')2 + τ.

 

(IV) При λ3= λ 2=0, λ1≠0 и хотя бы один из b2 и b3 не равен нулю. Тогда имеем:

= λ1(x + b1/ λ1) 2+ 2b2y + 2b3z + (b0 - (b1)2/ λ1) = λ1(x')2 + 2c2y'.

 

Где:

x' = x + b1/ λ1, c2 = ((b2)2+(b3)2)1 / 2

y' = ((b2)2 +(b3)2)-1/2 (b2y + b3z + 1/2(b0 - (b1)2/ λ1))'=((b2)2 +(b3)2)-1/22 (- b3y + b2z).

 

Такая "нормировка" функций перехода гарантирует ортогональность соответствующей матрицы и, тем самым ортогональность замены.

Если же b2 = b3 = 0, то мы сразу имеем выражение конечного вида.

(I).Пусть λ3 = λ2 = b2 = b3 = 0 и λ1 ≠0. Тогда имеем:

= λ1(x + b1/ λ1) 2 + (b0 - (b1)2/ λ1) = λ1(x')2 + τ.

 

Лемма доказана.

 

. Все канонические уравнение квадрик

 

Для любой квадрики существует прямоугольная система координат, в которой она имеет один из следующих семнадцати видов:

 

1) эллипсоид

) мнимый эллипсоид

) однополостный гиперболоид

4) двуполостный гиперболоид

) конус второго порядка

) мнимый конус второго порядка

) эллиптический параболоид

) гиперболический параболоид

) эллиптический цилиндр

) мнимый эллиптический цилиндр

) гиперболический цилиндр

) (p>0) параболический цилиндр

) две мнимые пересекающиеся плоскости

) две пресекающиеся плоскости

) (a>0) две параллельные плоскости

16) (a>0) две мнимые параллельные плоскости

) две совпадающие плоскости

поверхность квадрика аффинный эллипсоид

3. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка

 

Пусть дана поверхность второго порядка своим уравнением

 

(1)

 

относительно некоторой прямоугольной системы координат Oxyz. Всегда существует по крайней мере одна прямоугольная система координат Ox'y'z', оси которой имеют главные направления. В этой системе координат уравнение поверхности (1) имеет вид

 

Начнем с центрального случая: δ≠0, r = 3. В этом случае λ1≠0, λ 2≠0, λ 3 ≠0. Если перенести начало координат О системы Ox'y'z' в единственный центр поверхности (1), то уравнение (1') примет вид

 

(I)

 

Помня, что большой и малый детерминанты Δ и δ суть ортогональные инварианты, можем для их вычисления воспользоваться правой частью уравнения (I), что дает δ = λ1λ 2λ 3, Δ = λ1λ 2λ 3а'о, т. е. а'о= Δ/ δ.

Итак, окончательный вид уравнения (1) в выбранной нами прямоугольной системе координат есть (Пишем снова х, у, z вместо х", у", z".)

 

(I*)

 

Здесь все коэффициенты однозначно (с точностью до общего числового множителя k) определены уравнением (1) поверхности, в какой бы исходной прямоугольной системе координат Охуz мы его ни задавали. Если та же поверхность задана в той же исходной системе координат другим уравнением: G(x, у, z) = 0, то в силу теоремы единственности все коэффициенты многочлена G (х, у, z) получаются из соответствующих коэффициентов многочлена F (х, у, г) умножением на некоторое число k ≠ 0. Так как при переходе к новой системе координат О'х'у'г' многочлены F и G тождественно преобразуются соответственно в многочлены F'(х', у', z') и G'(x', у', z'), то и для соответствующих приведенных многочленов F' и G' сохраняется соотношение G' = kF', так что, в частности, характеристические числа многочлена G (т. е. квадратичной формы его старших членов) получаются из характеристических чисел многочлена F умножением на то же k; то же справедливо и для отношения Δ/ δ (при δ≠0). Последнее ясно и непосредственно: так как детерминант Δ - четвертого порядка, а δ -третьего, то при умножении всех коэффициентов многочлена F (х, у, z) на k детерминант Δ умножается на k4, а детерминант δ - на k3, значит, Δ/ δ умножается на k. Отсюда следует, в частности, что, умножая, если нужно, обе части уравнения F (х,у,г)=0 на k =-1, можно всегда достигнуть того, чтобы (при δ≠0) число Δ/ δ было отрицательным (или равным нулю).

Теперь имеется две возможности: Δ = 0 и Δ ≠ 0. Начнем с первой.

1°. Δ=0. Получаем конус второго порядка вещественный, если среди характеристических чисел λ1,λ 2,λ 3 имеются числа разных знаков (Здесь целесообразно привести так называемое правило Декарта для определения знаков корней алгебраического уравнения, все корни которого- действительные числа. Это правило в применении к уравнению третьей степени с действительными корнями можно сформулировать так. Пусть дано уравнение ax3+bx2+cx+d = 0. Назовем "переменой знака" пару соседних коэффициентов в этом уравнении (т. е. (а, b), (b, с) или (с, d), состоящую из двух чисел различных знаков. Оказывается, что число положительных корней уравнения третьей степени (все корни которого действительны) равно числу перемен знака в этом уравнении. При этом корни считаются вместе с их кратностями. Умножая, если понадобится, обе части уравнения (1) на -1, можем предположить, что среди его коэффициентов λ1,λ 2,λ 3 имеется два положительных и один отрицательный. Изменив, если потребуется, наименования осей координат и обозначая положительные коэффициенты через 1/a2,1/b2, а отрицательный через -1/c2, можем представить при Δ = 0 уравнение (I*) в виде

 

 

(причем здесь и всюду дальше берем а, Ь, с положительными). Это каноническое уравнение вещественного конуса. Заметим, что равенство λ1=λ 2 означает а = b; тогда мы имеем круговой конус или конус вращения, его сечения плоскостями z = h суть окружности; если λ1=λ 2=-λ 3, то уравнение конуса превращается в

2+y2-z2=0

 

-имеем круговой конус, образующие которого наклонены к его оси под углом π/4.

Если все характеристические числа -одного знака, мы можем переписать уравнение (I*) при Δ = 0 в виде

 

 

Это каноническое уравнение мни

Похожие работы

1 2 3 4 5 > >>