Исследование функции

Задача. Провести полное исследование функции ƒ(х) с помощью производных, построить график функции, найти ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Исследование функции

Контрольная работа

Математика и статистика

Другие контрольные работы по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией

Задача. Провести полное исследование функции ƒ(х) с помощью производных, построить график функции, найти ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке [а, b]

производная интеграл дифференциальный уравнение

№ вариантау=ƒ(х)Значения чиселаb1003

1. Область определения функции: D (f) = (). Функция непрерывна и определена при всех значениях х.

. Исследуем функцию на четность, изменив знак аргумента на противоположный:

 

 

Получили совсем другую функцию, значит, исходная функция является функцией общего вида.

Функция является непрерывной, значит, нет вертикальных асимптот. Проверим, есть ли наклонная асимптота вида у = kx + b. Для этого найдем угловой коэффициент прямой:

 

,

 

отсюда следует, что наклонной асимптоты нет.

. Найдем интервалы монотонности. Вычислим производную и приравняем ее к нулю:

 

Из уравнения найдем критические точки:

Составим таблицу

 

02+0-0+40Возрастаетубываетвозрастает

На интервалах функция возрастает

На интервале - убывает

. Точка - точка максимума

Точка - точка минимума

. Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции, если они есть. Вычислим вторую производную и приравняем ее к нулю:

. Из уравнения найдем точки, подозрительные на перегиб: х = 1.

 

х-+у

. На основании проведенного исследования построим график функции.

 

 

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x) на отрезке [0, 3].

В этот отрезок попадает точки экстремума х=0 и f(0)=4

х=2 и f(2)=0

Найдем значения функции на концах отрезка(0)=4(3)=4

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке достигается в точке х=2 и fнаим(2)=0, а наибольшее в точках х= 0 и х=3 и fнаиб=4

 

Задание 1. Вычислить неопределенные интегралы

 

10. а) б) в)

г) д)

 

а)

б)

 

в)

 

По формуле интегрирования по частям:

 

г)

д)

Задание 2. Вычислить определенные интегралы

 

. а) б)

а)

б)

 

Задача №3. Найти общее решение дифференциального уравнения (или частное решение, удовлетворяющее данному начальному условию)

 

№ вариантаУравнениеНачальное условие10а) -б) в)

а)

б)

 

Разделим на

 

 

в)

 

Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

 

 

Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:

 

 

Для определения функции С(х) найдем производную функции у и подставим ее в исходное дифференциальное уравнение.

 

 

Найдем частное решение при у(0) = 0.

 

 

Задача №4. Найти общее решение (общий интеграл) уравнения

 

№ вариантааб10а) б)

а)

 

б)

 

Это линейное неоднородное уравнение. Решим соответствующее ему однородное уравнение.

 

 

Для линейного неоднородного уравнения общее решение будет иметь вид:

 

 

Для определения функции С(х) найдем производную функции z и подставим ее в дифференциальное уравнение.

 

Похожие работы