"Инкарнация" кватернионов

Статья - Математика и статистика

Другие статьи по предмету Математика и статистика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Пожалуйста введите слова с картинки:

2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



Инкарнация кватернионов

 

Вводные замечания

Кватернион, долгие годы считавшийся бесперспективным с подачи ортодоксальных математиков [1], в настоящее время начинает свое триумфальное шествие по науке (физика, химия кристаллов, информатика) и информационно-интерактивным технологиям.

Своим открытием и названием сам кватернион обязан ирландскому математику У.Р. Гамильтону (1805-1865) [2].

Уильям Роуан Гамильтон был человеком многосторонне развитым. В четырнадцать лет владел девятью языками, в 19 лет опубликовал в трудах Королевской Ирландской Академии работу, посвященную геометрической оптике, а в 23 года получил звание королевского астронома Ирландии. К 1833 г. Гамильтон занимал пост директора обсерватории в Денсинке и был известен работами по оптике и аналитической механике. Он предсказал эффект двойной конической рефракции в двуосных кристаллах.

В числе других математических задач он 10 лет безуспешно пытался найти описание поворотов трехмерного пространства на основе алгебры трехмерных чисел, пока не увидел, что их описание соответствует другой алгебре не с двумя мнимыми числами, а с тремя. Общепризнанно, что от типа алгебры, которой подчинена та или иная природная система, зависят ее геометрия, физические законы сохранения.

В одном из писем к своему сыну У.Р. Гамильтон писал: Это был 16-й день октября, который случился в понедельник, в день заседания Совета Королевской Ирландской Академии, где я должен был председательствовать. Я направлялся туда с твоей матерью вдоль Королевского канала; и, хотя она говорила мне какие-то отдельные фразы, я их почти не воспринимал, так как в моем сознании подспудно что-то творилось. Неожиданно как будто бы замкнулся электрический контур; блеснула искра, предвещающая многие длительные годы определенно направленной мысли и труда, моего - если доведется, или труда других, если мне будет даровано достаточно сознательной жизни, чтобы сообщить о своем открытии. Я оказался не в состоянии удержаться от желания высечь ножом на мягком камне Брогемского моста фундаментальную формулу о символах i, j, k, содержащую решение проблемы, но, конечно, эта запись с тех пор стерлась. Однако более прочное упоминание осталось в Книге записей Совета Академии за этот день, где засвидетельствовано, что я попросил и получил разрешение на доклад о кватернионах на первом заседании сессии, который и был прочитан соответственно в Понедельник 13-го следующего месяца - ноября.

Стоит упомянуть, что оригинальное описание движения твердого тела с помощью кватерниона дал в 1873 году У. Клиффорд (1845-1879), а А.П. Котельникову (1865-1944) в 1895 году удалось истолковать все формулы теории кватернионов, как неразвернутые формулы теории обобщенных, т.н. дуальных кватернионов [3-6]. Применительно к кинематике этот подход устанавливает соотношение между движениями тела с одной неподвижной точкой и движениями произвольного вида [7].

Постановка проблемы

В различных разделах математики возникает потребность рассматривать векторные пространства (над данным полем k), в которых кроме действий сложения и умножения на скаляры определено еще действие умножения, сопоставляющее каждой упорядоченной паре векторов третий вектор того же пространства - их произведение. В этой ситуации всегда естественно предполагать, что результат умножения λy линеен по каждому из множителей при фиксированном втором, то есть:

 

,

 

Пространство с умножением, удовлетворяющим такому требованию билинейности, называется алгеброй над полем k.

Алгеброй кватернионов называется алгебра размерности 4 над основным полем, обладающим единицей 1 и имеющим базис 1, i, j, k со следующей таблицей умножения [1]:

 

x i j k

i -1 k j

j - k -1 i

k - j - i -1

 

 

 

 

Или в более удобной форме:

 

 

При этом основное поле может быть взято произвольно.

Алгебра кватернионов над полем R

Наиболее интересной является алгебра кватернионов над полем R вещественных чисел.

Прежде всего, установим ассоциативность алгебры кватернионов. Для этого следует проверить 27 равенств: по три возможности для каждого из 3-х множителей в равенствах типа (ab) c=а(bc), проверяемых для базисных элементов i, j, k.

Избежать этого можно, установив изоморфизм алгебры кватернионов над и некоторой алгебры матриц специального вида над C. Единице сопоставим единичную матрицу2-го порядка, матрицу(здесь i - мнимая единица, ), матрицу и матрицу .

Отсюда следуют равенства: (проверить знак) Они означают, что пространство матриц Е, I, Y, K образуют алгебру, изоморфную алгебре кватернионов.

На основании ассоциативности умножения матриц делаем заключение об ассоциативности алгебры кватернионов.

Заметим, что если за основное поле принято поле C комплексных чисел, то алгебра кватернионов над C окажется изоморфной алгебре М2(C) всех квадратных матриц 2-го порядка над C, ибо матрицы Е, I, J, K линейно независимы над C и их линейные комбинации заполняют всю алгебру М2(C).

Связь алгебры кватернионов с векторами в трехмерном эвклидовом пространстве

Пусть α = а + вi + сj + dk - кватернион. Число а называется скалярной частью кватерниона. Сумма вi + сj + dk называется векторной частью кватерниона α. Кватернион с нулевой скалярной частью будем называть векторами, они, естественно, изображаются как векторы трехмерного эвклидова пространства.

Пусть и - два вектора-

s