Застосування сплайн-функцій до розв’язування задач інтерполяції

  Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближения. / Н. П. Корнейчук. М. : Наука, 1984. 352с. Сплайн интерполяция.

Застосування сплайн-функцій до розв’язування задач інтерполяції

Контрольная работа

Математика и статистика

Другие контрольные работы по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией

Міністерство освіти і науки України

Черкаський національний університет Імені Богдана Хмельницького

Кафедра математики та методики навчання математики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кваліфікаційна робота з математики

Застосування сплайн-функцій до розвязування задач інтерполяції

 

 

Автор:

Вишемірська Тетяна Володимирівна

Четвертий курс, денна форма навчання, математичний факультет

Науковий керівник:

Доктор фізико-математичних наук, професор

Стеблянко Павло Олексійович

 

 

 

 

Черкаси 2010

Зміст

 

Вступ

  1. В-сплайни
  2. Базис із В-сплайнів
  3. В-сплайни нульового степеня та рекурентна форма запису В-сплайнів вищих порядків
  4. Лінійні В-сплайни
  5. Квадратичні В-сплайни

2. Кубічні В-сплайни

2.1Формули задання кубічних B-сплайнів

2.2 Базис у просторі кубічних сплайнів

2.3 Задачі інтерполяції з граничними умовами першого та другого роду

2.4.Апроксимація кубічними В-сплайнами

2.5 Практичність вивчення кубічних В-сплайнів у вищих навчальних закладах

3. Практична частина

3.1Задача №1

3.2Задача №2

Висновки

Список використаних джерел

 

 

Вступ

 

Сплайн-інтерполяція на сьогоднішній день є одним із найточніших методів наближення. В теорію наближень сплайни ввійшли зовсім недавно і відразу ж зайняли в ній досить важливе місце. Буквально протягом кількох років для сплайнів були розвязані апроксимаційні задачі, на розвязання яких для поліномів були потрачені десятиліття. З подальшим вивченням і застосуванням сплайн-функцій, знадобилося їх певне спрощення, для полегшення розрахунків. Саме тоді і зявилися В-сплайни, які як виявилося не тільки є простішими для обчислень, але й дають більшу точність наближення, що є дуже важливим при розвязуванні практичних задач.

Актуальність: Сьогодні сплайн-функції відіграють дуже важливу роль, вони входять в курс «Чисельні методи», як додатковий метод інтерполяції, а також використовуються в курсі «Рівняння математичної фізики» для розвязування нерозвязних диференціальних рівнянь; з допомогою сплайнів і В-сплайнів (в основному кубічних) розвязуються (з великою точністю) ті задачі, які не можна розвязати іншими, відомими, методами.

В-сплайн це крива з неперервними старшими похідними до n-ої, де n порядок сплайна.

Мета курсової роботи: Розглянути кубічні В-сплайни, а також лінійні та квадратичні В-сплайни, форми їх запису та формули для розрахунків інтерполяційних задач, рекурентні формули для представлення В-сплайнів 1-го, 2-го, 3-го та вищих порядків. Зясувати практичність застосування Кубічних В-сплайнів у ВНЗ при розвязуванні задач інтерполяції. Застосувати на практиці отримані знання.

Для досягнення мети були поставлені такі завдання:

знайти і опрацювати літературу із даної теми;

систематизувати опрацьований матеріал;

отримати формули для розрахунків інтерполяційних задач;

  1. визначити практичність кубічних В-сплайнів в порівнянні з іншими сплайнами і В-сплайнами;

 

 

1 B-сплайни

 

1.1 Базис із В-сплайнів

 

Одним з найширше використовуваних представлень кривих в комп'ютерному баченні є представлення у вигляді В-сплайну. Важливо розрізняти сплайни і В-сплайни. В-сплайни є поліноміальними функціями. Сплайни є лінійною комбінацією В-сплайнів. У літературі сплайни зазвичай визначаються як різні види степеневої функції. Для обчислень зручніше визначати сплайни рекурсивними функціями.

Приймемо без доведення наступну лему, яку буде використано для доведення важливої теореми:

Лема 1. Нехай - множина сплайнів порядку m дефекту 1 по розбиттю . Якщо і сплайн із задовольняє умови , то на .

Теорема 1. Система із В-сплайнів

 

, (1) порядку за розбитям з носіями є базисом в .

 

Доведення. Нехай

 

, ; (2) потрібно довести, що (). Безпосередньо із визначення В-сплайнів (1) виплива, що при ; але тоді з урахуванням (2)

, і в силу леми 1 для . Таким чином,

 

, .(3)

 

Оскільки на проміжку , а при , то із (3) слідує, що , так що

 

, .

 

Для при і при , а тому і

 

, .

 

Розмірковуючи аналогічно, далі прийдемо до рівності

 

що й треба було довести.

 

Наслідок 1. Будь-який сплайн із єдиним чином представляється у вигляді

 

, .(4)

 

Якщо сплайн із однозначно визначається деяким набором із інтерполяційних умов, то, підставляючи в ці умови замість суму (4), отримаємо систему лінійних рівнянь для визначення коефіцієнтів . Усилу скінченності носіїв сплайнів в кожному рядочку визначника цієї системи, не дорівнюватимуть нулю лише елементів - значення сплайнів (або їх похідних) в одній із точок розбиття . При цьому не нульові елементи, які відповідають внутрішнім умовам інтерполяції, будуть розміщені вздовж головної діагоналі визначника. Саме це і забезпечує, принаймні для малих , простоту обчислення коефіцієнтів лінійної комбінації (4) [1].

 

1.2 В-сплайн нульового степеня та рекурентна форма запису В-сплайнів вищих порядків

 

В-сплайном нульового степеня, побудованим на числовій прямій по розбиттю , називається функція вигляду:

 

, (5)

 

Єдине обмеження полягає в тому, що В-сплайни повинні відповідати умові:

 

 

Зокрема, якщо , то [2].

В-сплайн степеня , побудований на числовій прямій по розбиттю , визначається наступною рекурентною формулою:

 

, (6)

де , . (7)

 

При однаковій відстані між сусідніми вузлами В-сплайни називаються однорідними, в протилежному випадку неоднорідними. Для однорідних B-сплайнів, базисні B-сплайни однакового степеня є зміщеними екземплярами однієї функції [3].

Нерекурсивним визначенням базисних B-сплайнів є

 

, (8)

де , [3]. (9)

 

1.3 Лінійні B-сплайни

 

Лінійні B-сплайни є неперервними, але не диференційованими.

Скориставшись рекурентною формулою (6), отримаємо формулу для лінійного В-сплайна:

 

(10)

 

Підставивши у (10) формулу (5) маємо:

 

(11)

Або у випадку рівномірної сітки з кроком () отримаємо:

 

(11)

 

Нижче на малюнку 1 представлено графік В-сплайна 1-го порядку:

 

Мал. 1 - Графік В-сплайна

 

1.4 Квадратичні B-сплайни

 

Із рекурентної формули (6), отримаємо наступну форму запису квадратичного В-сплайна:

 

(12)

 

Тепер ми можемо, або скористатись лише формулою (11), підставивши її у (12) отримаємо:

(13)

 

А у випадку рівномірної сітки з кроком h матимемо:

 

(13)

 

Або спершу в (12) підставимо (10) і, зробивши відповідні перетворення, отримаємо квадратичний В-сплайн в вигляді:

, (14)

 

а потім в (14) підставимо (5) і отримаємо ту ж саму формулу (13) [4].

Графік В-сплайна 2-го - - степеня представлено на малюнку 2:

 

Мал. 2 - Графік В-сплайна

В-сплайн довільного степеня може бути відмінним від нуля лише на деякому відрізку (визначеному вузлами) [4].

 

 

2 Кубічні B-сплайни

 

2.1 Формули задання кубічних B-сплайнів

 

Зробивши аналогічні дії, що й при квадратичному В-сплайні, ми отримаємо формулу (15) для кубічного В-сплайна:

 

 

Зауваження. Кубічні В-сплайни зручніше нумерувати так, щоб сплайн був відмінний від нуля на відрізку [5]. Запишемо тепер у випадку рівномірної сітки (з кроком ) його:

 

(15)

 

Типічний графік кубічного В-сплайну показано на мал. 3:

 

Мал. 3 - Типічний графік кубічного В-сплайну

 

2.2 Базис у просторі кубічних сплайнів

 

Функція :

а) двічі неперервно диференційовна на відрізку ;

б)відмінна від нуля тільки на чотирьох відрізках

Відрізок називають носієм функції [6].

Доповнимо розбиття допоміжними вузлами:

 

 

,взятими довільно.

За розширеною сіткою:

:можна побудувати сімю з кубічних В-сплайнів:

,

Ця сімя утворює базис в просторі кубічних сплайнів на відрізку . Тим самим довільний кубічний сплайн , побудований по розбиттю із вузла, може бути представлений на цьому відрізку в вигляді лінійної комбінації:

 

 

Умовами задачі коефіцієнти цього розбиття визначаються однозначно [7].

 

2.3 Задачі інтерполяції з граничними умовами першого та другого роду

 

У випадку коли задані значення функції в вузлах сітки і значення і першої похідної функції на кі

Похожие работы

1 2 3 > >>