Закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей

Дана механическая система с одной степенью свободы, представляющая собой совокупность абсолютно твердых тел, связанных друг с другом посредством невесомых нерастяжимых

Закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей

Дипломная работа

Физика

Другие дипломы по предмету

Физика

Сдать работу со 100% гаранией
едовательно корни комплексно-сопряженные. Общее решение уравнения (2.2) имеет вид:

 

, (2.6)

 

где - постоянные интегрирования,

 

. (2.7)

 

Решение (2.6), используя известные формулы Эйлера

 

 

нетрудно представить в виде:

 

, (2.8)

 

где постоянные интегрирования.

Определим частное решение неоднородного дифференциального уравнения

 

. (2.9)

 

Частное решение ищем в виде правой части

 

. (2.10)

 

Подставляя (2.10) в (2.9), после несложных преобразований получаем

 

 

Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения постоянных А и В:

 

 

Решая эту систему, получаем следующие выражения для коэффициентов А и В:

 

(2.11)

 

Таким образом, решение (2.10) определено. Складывая (2.8) и (2.10), получаем общее решение неоднородного уравнения (2.9):

 

. (2.12)

 

Константы и определяются из начальных условий (1.26). Для этого найдем производную по времени от (2.12):

. (2.13)

 

Подчинив (2.12) и (2.13) начальным условиям, получим систему уравнений относительно искомых констант:

 

(при t=0).

 

Решая эту систему, получаем:

 

(2.14)

 

Подставляя (2.14) в (2.12), получаем закон движения механизма:

 

(2.15)

 

.3 Определение реакций внешних и внутренних связей

 

Для решения этой задачи расчленяем механизм на отдельные части и изображаем расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис.3).

 

рис.3

 

Определение реакций связей проведем с помощью теоремы об изменении количества движения:

 

, (3.1)

 

и теоремы об изменении кинетического момента относительно центра масс:

 

, (3.2)

 

В соответствии с расчетными схемами (рис.3) записываем уравнения (3.1) и (3.2) в проекциях на оси координат:

 

тело 1: (3.3)

тело 2:

на ось : , (3.4)

на ось : , (3.5)

 

(3.6)

 

тело 3:

на ось : , (3.7)

на ось : , (3.8)

 

(3.9)

 

С учетом кинематических соотношений (1.7) систему уравнений (3.3) - (3.9) преобразуем к виду:

 

(3.10)

Уравнения (3.10) составляют систему алгебраических уравнений относительно функций:

 

 

Решая эту систему, получаем и дифференциальное уравнение системы, и выражения для определения реакций:

 

(3.11)

 

Часть 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНСТАНТ, РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ И ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ

 

2.1 Вычисление констант

 

 

.2 Вычисление значений функций в момент времени t

 

Для момента времени вычислим значения функций и

 

.3 Вычисление реакций связей

 

 

Такая механическая система неработоспособна, для её оптимизации необходимо изменить параметры, такие как масса, жесткость пружины и частота возмущающей силы.

 

Часть 3. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА И УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА

 

.1 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа

 

Общее уравнение динамики системы есть математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа:

 

(3.1)

 

Здесь - сумма элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении системы; - сумма элементарных работ всех сил инерции на возможном перемещении системы.

 

рис.4

Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис.4). Идеальные связи не учитываем и не отображаем на расчетной схеме, поскольку по определению работа их реакций на любом возможном перемещении системы равна нулю.

Пружина является неидеальной связью. Введем реакцию этой связи в число активных сил.

Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:

 

(3.2)

 

Вычислим последовательно элементарные работы активных сил:

 

 

Суммируя эти работы получаем:

 

(3.3)

 

С учетом кинематических соотношений (1.7) получим:

 

где ,

 

 

Окончательно получаем:

 

(3.4)

 

Аналогичное выражение для приведенной силы получено ранее [см.(1.23)].

Найдем возможную работу сил инерции:

 

(3.5)

 

Вычислим последовательно элементарные работы сил инерции:

 

, где (3.6)

 

Суммируя эти работы получаем:

 

(3.7)

где

Используя кинематические соотношения (1.7), можно записать:

 

(3.8)

 

Тогда возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду:

 

(3.9)

(3.10)

где (3.11)

 

Аналогичное выражение для приведенной массы системы было получено ранее [(1.10)]. Подставляя выражения (3.4) и (3.10) в общее уравнение динамики (3.1) получаем:

 

(3.12)

 

Поделив (3.12) на , получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:

(3.13)

где (3.14)

 

Дифференциальное уравнение (3.13) полностью совпадает с полученным ранее уравнением (1.25).

 

.2 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнений Лагранжа второго рода

 

Составим теперь уравнения Лагранжа второго рода. Для механической системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движения в обобщенных координатах имеет вид:

 

(3.15)

 

где Т - кинетическая энергия системы;

Q - обобщенная сила;

S - обобщенная координата;

- обобщенная скорость.

Выражение для кинетической энергии системы было найдено ранее:

 

где

Учитывая, что получаем:

 

(3.16)

 

Производные от кинетической энергии

 

(3.17)

 

Для определения обобщенной силы Q сообщим системе возможное перемещение (рис.4) и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил на возможных перемещениях точек их приложения [cм. (3.4)]:

 

(3.18)

 

С другой стороны для системы с одной степенью свободы

 

(3.19)

 

Сравнивая формулы (3.18) и (3.19) получим:

 

(3.20)

 

Подставляя производные от кинетической энергии (3.17) и обобщенную силу (3.19) в уравнение Лагранжа, получаем:

 

(3.21)

 

Полученное уравнение (3.21) совпадает с уравнениями (1.25) и (3.13).

Похожие работы

< 1 2