МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра теоретической механики
Курсовая работа
По разделу "Динамика"
Выполнил:
студент гр. 622131 Жарков Д.О.
Научный руководитель:
доц. Ткач О. А.
Тула
2004
СОДЕРЖАНИЕ КУРСОВОЙ РАБОТЫ
Дана механическая система с одной степенью свободы, представляющая собой совокупность абсолютно твердых тел, связанных друг с другом посредством невесомых нерастяжимых нитей, параллельных соответствующим плоскостям. Система снабжена внешней упругой связью с коэффициентом жесткости с. На первое тело системы действует сила сопротивления (- скорость центра масс тела 1) и возмущающая гармоническая сила . Трением качения и скольжения пренебречь. Качение катков происходит без скольжения, проскальзывание нитей на блоках отсутствует. Схема механической системы, а также инерционные и геометрические характеристики тел приведены в таблицах данных.
Требуется: применяя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определить закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Схема механизма и необходимые численные данные
Часть 1. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
.1 Постановка второй основной задачи динамики системы
.2 Определение закона движения системы
.3 Определение реакций внутренних и внешних связей
Часть 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНСТАНТ, РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ И ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ
.1 Вычисление констант
.2 Вычисление значений функций в момент времени t
.3 Вычисление реакций связей
Часть 3. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА И УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА
.1 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа
.2 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнений Лагранжа второго рода
динамика дифференциальный уравнение механизм
СХЕМА МЕХАНИЗМА И НЕОБХОДИМЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ ДАННЫЕ
рис.1
Таблицы данных
(см)(см/c)57
- характерная масса - = 1кг.
- характерный радиус - = 0.1м.
с - коэффициент жесткости - с = 4000 Н/м.
- коэффициент сопротивления = 100 Нсек/м.
- амплитуда возмущающей силы = 50 Н.
р - частота возмущающей силы р =рад/c.
- массы тел механической системы.
- радиусы ступеней блока 3.
- радиус подшипника 2.
- радиус инерции блока 3.
Часть 1. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
.1 Постановка второй основной задачи динамики системы
Расчетная схема представлена на рис. 2.
рис.2
На рис.2 обозначено:
- силы тяжести,
- нормальная реакция опорной плоскости,
- сила сцепления,
- упругая реакция пружины,
- реакции подшипника 2,
- сила вязкого сопротивления,
- возмущающая сила.
Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, качение блока 2 происходит без скольжения). Будем определять её положение с помощью координаты S . Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза 1.
Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в форме:
, (1.1)
где Т - кинетическая энергия системы,
- сумма мощностей внешних сил,
- сумма мощностей внутренних сил.
Теорема (1.1) формулируется так: "Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна алгебраической сумме мощностей внутренних и внешних сил, действующих на точки механической системы".
Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел 1-3:
. (1.2)
Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия равна:
. (1.3)
Подшипник 2 совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси. Его кинетическая энергия равна:
, (1.4)
где - момент инерции подшипника относительно центральной оси,
- угловая скорость подшипника.
Блок 3 совершает плоскопараллельное движение, поэтому его кинетическая энергия определяется по теореме Кенига:
, (1.5)
где - скорость центра масс блока 3,
- момент инерции блока 3 относительно центральной оси ,
- угловая скорость блока 3.
Тогда кинетическая энергия всего механизма будет равна:
. (1.6)
Выразим через скорость груза 1. Положив , получим:
; ; ; . (1.7)
Подставляя (1.3), (1.4), (1.5) в (1.6) с учетом (1.7), получаем:
(1.8)
или
, (1.9)
где
. (1.10)
Величину будем называть приведенной массой.
Найдём производную от кинетической энергии по времени:
. (1.11)
Теперь вычислим правую часть уравнения (1.1) - сумму мощностей внешних и внутренних сил.
Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки её приложения:
. (1.12)
Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему, недеформируемы и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:
. (1.13)
Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы:
.
Найдем мощности остальных внешних сил:
(1.14)
Тогда сумма мощностей внешних сил будет равна:
. (1.15)
С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:
(1.16)
или
, (1.17)
где
. (1.18)
Величину будем называть приведенной силой.
Преобразуем выражение (1.18). Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. Полное удлинение пружины f равно сумме статического и динамического удлинений:
,
причем из выражения (1.7) для следует, что .
Тогда упругая сила будет равна:
. (1.19)
Сила вязкого сопротивления . Приведенную силу с учетом последних формул для и запишем в виде:
,
раскрывая скобки получим:
, (1.20)
В состоянии покоя приведенная сила равна нулю. Полагая (1.20) , и , получаем условие равновесия системы:
, (1.21)
Из уравнения (1.21) определяется статическое удлинение пружины:
. (1.22)
Учитывая (1.22) и (1.20), получаем окончательное выражение для приведенной силы:
. (1.23)
Подставим выражения для производной от кинетической энергии (1.11) и сумму мощностей всех сил (1.17) с учетом (1.23) в уравнение (1.1). Тогда, получаем дифференциальное уравнение движения системы:
. (1.24)
Запишем последнее уравнение в виде:
, (1.25)
где введены коэффициенты, имеющие определенный физический смысл:
- циклическая частота свободных колебаний,
- показатель степени затухания колебаний.
Запишем начальные условия движения:
. (1.26)
Выражения (1.25) и (1.26) совместно представляют математическую модель для решения второй задачи динамики.
.2 Определение закона движения системы
Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.25). Пусть возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:
, (2.1)
где - амплитуда возмущающей силы,
p - циклическая частота возмущения.
Общее решение S неоднородного дифференциального уравнения (1.25) складывается из общего решения однородного и частного решения неоднородного: . Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному (1.25) , имеет вид:
. (2.2)
Решение этого уравнения ищем в виде функции:
, (2.3)
где и - постоянные величины.
Подставляя (2.3) в (2.2), получаем:
.
Так как мы ищем нетривиальное решение, то . Следовательно, должно выполняться условие:
. (2.4)
Уравнение (2.4) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (2.2). Это уравнение имеет два корня:
. (2.5)
В нашем случае - подкоренное выражение (2.5) отрицательно, сл
