Закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей

Дана механическая система с одной степенью свободы, представляющая собой совокупность абсолютно твердых тел, связанных друг с другом посредством невесомых нерастяжимых

Закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей

Дипломная работа

Физика

Другие дипломы по предмету

Физика

Сдать работу со 100% гаранией

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра теоретической механики

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

По разделу "Динамика"

 

 

 

Выполнил:

студент гр. 622131 Жарков Д.О.

Научный руководитель:

доц. Ткач О. А.

 

 

 

 

 

 

Тула

2004

СОДЕРЖАНИЕ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

 

Дана механическая система с одной степенью свободы, представляющая собой совокупность абсолютно твердых тел, связанных друг с другом посредством невесомых нерастяжимых нитей, параллельных соответствующим плоскостям. Система снабжена внешней упругой связью с коэффициентом жесткости с. На первое тело системы действует сила сопротивления (- скорость центра масс тела 1) и возмущающая гармоническая сила . Трением качения и скольжения пренебречь. Качение катков происходит без скольжения, проскальзывание нитей на блоках отсутствует. Схема механической системы, а также инерционные и геометрические характеристики тел приведены в таблицах данных.

Требуется: применяя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определить закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей.

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Схема механизма и необходимые численные данные

Часть 1. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

.1 Постановка второй основной задачи динамики системы

.2 Определение закона движения системы

.3 Определение реакций внутренних и внешних связей

Часть 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНСТАНТ, РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ И ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ

.1 Вычисление констант

.2 Вычисление значений функций в момент времени t

.3 Вычисление реакций связей

Часть 3. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА И УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА

.1 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа

.2 Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнений Лагранжа второго рода

динамика дифференциальный уравнение механизм

СХЕМА МЕХАНИЗМА И НЕОБХОДИМЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ ДАННЫЕ

 

рис.1

 

Таблицы данных

(см)(см/c)57

- характерная масса - = 1кг.

- характерный радиус - = 0.1м.

с - коэффициент жесткости - с = 4000 Н/м.

- коэффициент сопротивления = 100 Нсек/м.

- амплитуда возмущающей силы = 50 Н.

р - частота возмущающей силы р =рад/c.

- массы тел механической системы.

- радиусы ступеней блока 3.

- радиус подшипника 2.

- радиус инерции блока 3.

 

Часть 1. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

 

.1 Постановка второй основной задачи динамики системы

 

Расчетная схема представлена на рис. 2.

 

рис.2

 

На рис.2 обозначено:

- силы тяжести,

- нормальная реакция опорной плоскости,

- сила сцепления,

- упругая реакция пружины,

- реакции подшипника 2,

- сила вязкого сопротивления,

- возмущающая сила.

Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, качение блока 2 происходит без скольжения). Будем определять её положение с помощью координаты S . Начало отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс груза 1.

Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в форме:

 

, (1.1)

 

где Т - кинетическая энергия системы,

- сумма мощностей внешних сил,

- сумма мощностей внутренних сил.

Теорема (1.1) формулируется так: "Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна алгебраической сумме мощностей внутренних и внешних сил, действующих на точки механической системы".

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел 1-3:

 

. (1.2)

 

Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия равна:

 

. (1.3)

 

Подшипник 2 совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси. Его кинетическая энергия равна:

 

, (1.4)

 

где - момент инерции подшипника относительно центральной оси,

- угловая скорость подшипника.

Блок 3 совершает плоскопараллельное движение, поэтому его кинетическая энергия определяется по теореме Кенига:

 

, (1.5)

 

где - скорость центра масс блока 3,

- момент инерции блока 3 относительно центральной оси ,

- угловая скорость блока 3.

Тогда кинетическая энергия всего механизма будет равна:

 

. (1.6)

 

Выразим через скорость груза 1. Положив , получим:

 

; ; ; . (1.7)

 

Подставляя (1.3), (1.4), (1.5) в (1.6) с учетом (1.7), получаем:

 

(1.8)

 

или

 

, (1.9)

 

где

 

. (1.10)

 

Величину будем называть приведенной массой.

Найдём производную от кинетической энергии по времени:

 

. (1.11)

 

Теперь вычислим правую часть уравнения (1.1) - сумму мощностей внешних и внутренних сил.

Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки её приложения:

 

. (1.12)

Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему, недеформируемы и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей всех внутренних сил будет равняться нулю:

 

. (1.13)

 

Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы:

 

.

 

Найдем мощности остальных внешних сил:

 

(1.14)

 

Тогда сумма мощностей внешних сил будет равна:

 

. (1.15)

 

С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:

 

(1.16)

или

 

, (1.17)

 

где

 

. (1.18)

 

Величину будем называть приведенной силой.

Преобразуем выражение (1.18). Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. Полное удлинение пружины f равно сумме статического и динамического удлинений:

 

,

 

причем из выражения (1.7) для следует, что .

Тогда упругая сила будет равна:

 

. (1.19)

 

Сила вязкого сопротивления . Приведенную силу с учетом последних формул для и запишем в виде:

 

,

раскрывая скобки получим:

 

, (1.20)

 

В состоянии покоя приведенная сила равна нулю. Полагая (1.20) , и , получаем условие равновесия системы:

 

, (1.21)

 

Из уравнения (1.21) определяется статическое удлинение пружины:

 

. (1.22)

 

Учитывая (1.22) и (1.20), получаем окончательное выражение для приведенной силы:

 

. (1.23)

 

Подставим выражения для производной от кинетической энергии (1.11) и сумму мощностей всех сил (1.17) с учетом (1.23) в уравнение (1.1). Тогда, получаем дифференциальное уравнение движения системы:

 

. (1.24)

 

Запишем последнее уравнение в виде:

 

, (1.25)

 

где введены коэффициенты, имеющие определенный физический смысл:

 

 

- циклическая частота свободных колебаний,

- показатель степени затухания колебаний.

Запишем начальные условия движения:

 

. (1.26)

 

Выражения (1.25) и (1.26) совместно представляют математическую модель для решения второй задачи динамики.

 

.2 Определение закона движения системы

 

Проинтегрируем дифференциальное уравнение (1.25). Пусть возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:

 

, (2.1)

 

где - амплитуда возмущающей силы,

p - циклическая частота возмущения.

Общее решение S неоднородного дифференциального уравнения (1.25) складывается из общего решения однородного и частного решения неоднородного: . Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному (1.25) , имеет вид:

 

. (2.2)

 

Решение этого уравнения ищем в виде функции:

 

, (2.3)

 

где и - постоянные величины.

Подставляя (2.3) в (2.2), получаем:

 

.

 

Так как мы ищем нетривиальное решение, то . Следовательно, должно выполняться условие:

 

. (2.4)

 

Уравнение (2.4) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (2.2). Это уравнение имеет два корня:

 

. (2.5)

 

В нашем случае - подкоренное выражение (2.5) отрицательно, сл

Похожие работы

1 2 >