Задача Стефана о фазовом переходе

Таким образом, решение задачи типа Стефана (1.53)-(1.58) сводится к решению уравнения (1.59) с дополнительными условиями (1.55), (1.57), (1.58). Левая часть

Задача Стефана о фазовом переходе

Дипломная работа

Математика и статистика

Другие дипломы по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

по дисциплине "Уравнения в частных производных"

на тему: "Задача Стефана о фазовом переходе"

 

 

Содержание

 

Введение

. Автомодельное решение классической задачи Стефана

. Численные методы, применяемые для решения задачи Стефана

.1 Метод ловли фазового фронта в узел сетки

.2 Метод выпрямления фронтов

.3 Метод сглаживания коэффициентов

.4 О выборе параметра сглаживания

.5 Разностные схемы сквозного счета

Заключение

Список используемой литературы

 

 

Введение

 

Математические модели процессов тепло- и массопереноса в средах с фазовыми переходами, представляют собой нелинейные системы дифференциальных уравнений. Даже при постоянных коэффициентах уравнений вследствие наличия в ней условия типа Стефана на границе фазового перехода модель является нелинейной и основным методом ее решения служат численные методы. Только в отдельных частных случаях возможно применение аналитического метода. Таким путем получают так называемые автомодельные решения, которые характеризуются подобием пространственных распределений искомых величин в различные моменты времени. Такие решения строят для одномерных задач в полупространстве с постоянными граничными и начальными условиями. Автомодельные решения позволяют описать изучаемые процессы при временах и на расстояниях от границы достаточно больших, чтобы исчезло влияние начальных и граничных условий, но при временах и на расстояниях достаточно малых, чтобы система была еще далека от предельного состояния.

математический модель задача стефан

 

1. Автомодельное решение классической задачи Стефана

 

Классической задачей Стефана называют простейшую одномерную задачу промерзания (оттаивания), кристаллизации (плавления), когда теплофизические характеристики, начальные и граничные условия принимаются постоянными. Рассмотрим процесс промерзания грунта. Координатную ось 0х направим вглубь грунта. Пусть начальное распределение температуры постоянно и равно С>0. Если на поверхности х=0 температура мгновенно изменяется и все время поддерживается постоянной, отличной по знаку от начальной температуры, и равной <0, то граница промерзания х=ξ(t) будет со временем проникать вглубь грунта. Задача о распределении температуры при наличии фазового перехода и о скорости движения границы раздела фаз сводится к решению уравнений:

 

(1.1)

(1.2)

 

С дополнительными условиями:

(1.3)

(1.4)

а на границе фазового перехода заданы условия:

 

(1.5)

 

где ,коэффициенты теплопроводности и температуропроводности мерзлого и талого грунтов постоянны. Индексы «-», «+» обозначают значения соответствующих величин слева и справа от фронта фазового перехода. Не нарушая общности можно положить .

Простой подстановкой можно убедиться, что все условия остаются неизменными, если масштаб длины увеличить в k раз, а масштаб времени - в раз. Это значит, что решение задачи зависит от аргумента , т.е.

 

 

Отсюда, в частности, следует, что движение нулевой изотермы Т=0 будет описываться уравнением:

 

 

где α - значение аргумента, при котором f(α)=0.

Введя новую переменную

 

 

вместо задачи (3.10- (3.6) получим новую задачу

 

(1.7)

(1.8)

(1.9)

Решения обыкновенных дифференциальных уравнений (1.7), (1.8) имеют следующий вид:

 

 

 

 

 

Постоянные определяются с помощью условий (1.9):

где - интеграл ошибок.

Условие (1.10) преобразуется в следующее трансцендентное уравнение относительно α:

(1.11)

Так как при x→0 erf(x)→ 0 и при x→∞ erf(x)→ 1, то левая часть (1.11) для при изменении α от 0 до ∞ изменяется от -∞ до +∞, а правая часть от 0 до -∞. Отсюда следует существование хотя бы одного корня уравнения (1.11). Тогда глубина промерзания определится по формуле:

 

 

В связи с тем, что решение трансцендентного уравнения (1.11) представляет некоторые трудности, для ориентировочных расчетов часто применяется формула, известная в литературе как формула Стефана.

В предыдущей постановке введем следующие упрощения. Пусть распределение температуры в верхней зоне подчинятся линейному закону, т.е. изменяется по глубине от до В нижней зоне температура постоянна и равна . Тогда условие (1.6) примет вид:

 

 

Интегрируя по t от 0 до некоторого , получим формулу Стефана для определения глубины промерзания

 

 

Обобщением этой формулы является формула Лейбензона, которая получается, если распределения температуры в талой и мерзлой зонах задаются в виде:

 

 

Очевидно, что выбранные функции удовлетворяют уравнениям (1.1), (1.2) и условиям (1.3), (1.4), а условие Стефана (1.6) преобразуется к виду

 

 

Полагая здесь приходим к квадратному уравнению относительно β:

 

определив его корень и подставив значение β, получаем значение глубины промерзания

 

 

В частном случае при с=0 получается формула Стефана.

Используя метод Лейбензона можно получить приближенное решение задачи о скорости промерзания и динамике температурного поля вокруг бесконечного кругового цилиндра, на стенках которого поддерживается постоянная температура. Задачи такого рода представляют значительный интерес при приближенных расчетах радиуса замораживающих колонок, чаши оттаивания вокруг подземных газовых и нефтяных трубопроводов и т.д.

Имеются и другие приближенные формулы, полученные решением задачи Стефана при тех или иных упрощениях, на которых мы останавливаться не будем. Изложенный метод приближенного решения задачи Стефана успешно применяется и для многофронтовых задач, а также для модельных задач тепломассопереноса с фазовыми переходами.

 

 

2. Численные методы, применяемые для решения задачи Стефана

 

Наиболее универсальным методом решения задач типа Стефана являются численные методы, которые начали разрабатываться с 50-х годов 20 века.

В настоящее время известны четыре основных разностных метода: ловли фазового фронта в узел разностной сетки, выпрямления фронтов, сглаживания коэффициентов и схемы сквозного счета. Характерная особенность первых двух методов состоит в том, что в них разностные схемы строятся с явным выделением искомого фронта фазового перехода. Для двух последних методов используются разностные схемы сквозного счета, в которых вычисления искомых величин ведутся во всех узлах сетки по одним и тем же формулам, независимо от того, лежит или не лежит узел на поверхности фазового перехода.

 

2.1 Метод ловли фазового фронта в узел сетки

 

Метод пригоден для решения одномерных задач типа Стефана. Рассмотрим вначале однофазную задачу типа Стефана. Для простоты примем коэффициенты уравнения теплопроводности равными 1. Пусть требуется определить функцию Т(x,t) и ξ(t) из условий

 

(1.12)

(1.13)

(1.14)

(1.15)

Предположим, что функции µ(t)<0, ϕ(x)≥0, а функция ξ(t) монотонно возрастающая. Для численного решения данной задачи применим разностный метод ловли фронта в узел сетки. Характерная особенности этого метода заключается в специальном способе построения разностной сетки. На отрезке [0,l], где l=ξ(t*), t* - конечный момент времени, строим неравномерную пространственную сетку, состоящую из узлов, так чтобы точка совпадала с одним из узлов

 

 

На отрезке [0,t*] также строится неравномерная сетка

 

 

Шаг сетки по времени выбирается таким образом, чтобы за каждый шаг по времени фронт фазового перехода перемещался по координате х ровно на один шаг, т.е. ξ()-ξ()=. Задачу (1.12)-(1.15) заменим следующей разностной задачей для определения и

 

(1.16)

(1.17)

(1.18)

(1.19)

(1.20)

Для простоты мы рассматриваем здесь чисто неявную разностную схему, которая имеет первый порядок аппроксимации по τ, а условие Стефана аппроксимировано разностным уравнением (1.19) с первым порядком по h и τ. Аналогично могут быть рассмотрены разностные схемы более высокого порядка аппроксимации. Индекс «v» над функцией обозначает ее значение на предыдущем моменте времени. Система (1.16)-(1.20) относительно неизвестных , на j-м временном слое представляет собой нелинейную систему алгебраических уравнений и ее решение может быть найдено итерационным методом. Предполагая, что искомые величины для всех k=1,2,...,j-1, i=0,1,...,m+k найдены, будем определять их значение на j-м временном слое по следующей итерационной схеме.

 

(1.21) (1.22)

(1.23)

 

Если известно , то из системы (1.21), (1.22) методом прогонки определяются , а из (1.23) - следующая итерация и т.д. Начальную итерацию можно принять за

 

 

Конец итерационного процесса проверяется условиями:

 <

Похожие работы

1 2 3 > >>