Задача максимизации прибыли от продаж

а цена х01= 300 руб., на второй - х02 = 490 руб. и на третий - х03 = 580 руб. Например, используя 4 точки продажи товара в течение одного заданного периода времени или 1 точку продажи в течение четырех последовательных периодов получим следующие результаты.

Опыт 1=300;=490;=580;=[x01,x02,x03];=profit3{D)

Число продаж:=19822

Прибыль:=4780.00

Опыт 2=300;=490;=580;=[x01,x02,x03];=profit3(D)

Число продаж:=181114

Прибыль:

Y= 4460.00

Опыт 3=300;=490;=580;=[x01,x02,x03];=profit3(D)

Число продаж:

n = 218 18

Прибыль:

Y= 4660.00

Опыт 4=300;=490;=580;=[x01,x02,x03];=profit3(D)

Число продаж:= 21 4 15

Прибыль:

Y= 3860.00

Средняя прибыльmean= (4780.00 + 4460.00 + 4660.00 + 3860.00)/4mean =

.00

Для увеличения прибыли с продаж, т. е. для поиска оптимальных цен товаров вновь сформируем схему продаж, основанную на полном факторном эксперименте. Выберем в качестве основного уровня значения цен x01 =300 руб., х02 = 490 руб. и x03=580 руб., которые использовались в обычной схеме продаж. Далее зададим интервалы варьирования цен равными 10% от значений основных цен и примем уровень значимости статистических оценок .

Простейшая стратегия поиска экстремума

Для построения линейной модели прибыли

составим скрипт-файл дизайна полного факторного эксперимента с определенными выше координатами основного уровня.

Сlearbank=fracfact('a b с');=length(d);=[ones(N,1)d];=[300 490 580];=[30 49 58];=[ones(:,1)*x0(:,1)+x(:,2)*dx(:,1)…(:,1)*x0(:,2)+x(:,3)*dx(:,2)…(:,1)*x0(:,3)+x(:,4)*dx(:,3)]=profit3(D);_Y=[n,Y]=0.2;

[b,bint,r,rint,stats] = regress(Y,X,alpha);=[b bint]short=stats(3)

Получена статистически значимая модель

Которая даёт основание для использования градиентного метода

Рассчитаем, например, 10 шагов движения по градиенту, приняв параметр шага.bank=[300 490 580];=[30 49 58];=[-578.12 -792.88 834.88];=0.001;n=1:10(n,1:3)=x0+(n-1)*gamma*b.*dx;

Элементы матрицы G говорят о том, что цена одного товара при движении по градиенту выйдет за границу его закупочной цены на 6-м шаге, а цена второго товара - на 4-м шаге. Поэтому при проведении опытов, обеспечивающих движение по градиенту, ограничимся 3 шагами:

=profit3(G(2:4,:))

Учитывая, что на основном уровне выбранного дизайна получено значение прибыли 4440.00 руб., можно предположить, что реализовано восхождение по градиенту. Далее надо убедиться, что на 2-м шаге восхождения полученная величина прибыли 5465.16 статистически значимо отличается от величины прибыли на основном уровне. С этой целью начнем продавать товары по новым цепам:

Опыт 1=265.31;

х02=412.3;

х03=676.85;=[x01,x02,x03];=profit3(D)

Число продаж:= 323715

Прибыль:=

.77

Опыт 2=265.31;

х02=412.3;

х0З=676.85;=[x01,x02,x03];=profit3(D)

Число продаж:= 3425 11

Прибыль:=

.39

Опыт 3=265.31;

х02=412.3;

х03=676.85;=[x01,x02,x03];=profit3(D)

Число продаж:= 5123 8

Прибыль:=

.51

Опыт 4=265.31;=412.3;=676.85;=[x01,x02,x03];=profit3(D)

Число продаж:= 31 27 7

Прибыль:

4944.66

Таким образом, в точке с координатами х1=265.31 руб., х2=412.3 руб. и х3=676.85 руб. получена средняя прибыльmean=(5723.39 +5723.39+6178.51+4944.66)/4mean=5642.49

которая на

(5642.49-4440.00)/4440.00*100=

.08 %

больше той, которую получил продавец при обычной схеме назначения цен на товары.

Дадим оценку значимости различия средних:, clc, close=4;('Опытные данные на основном уровне матрицы дизайна:')= [4780.00;4460.00;4660.00:3860.00]('Среднее значение свойства на основном уровне матрицы дизайна:')mean=sum(Y0)/N('Опытные данные на 2-ом шаге движения по градиенту:)= [5723.39;5723.39;6178.51;4944.66]('Среднее значение свойства на 2-ом шаге движения по градиенту')mean=sum(Y2)/N=[Y0 Y2];('Оценка p-value различия средних')short=anoval(gradmean)

На рис. 9.6 приведена таблица ANOVA, которая, помимо оценки р-величины, содержит промежуточные оценки сумм квадратов и величины F-статистики.

Таким образом, уменьшение цен на первый товар с x01=300 руб. до x1=265.31 руб. и на второй товар с x02 =490 руб. до х2=412.3 руб. и увеличение цены на третий товар с х03=580 руб. до х3=676.85 руб. привело к увеличению прибыли приблизительно на 27 %. Произошло это за счет большего роста числа продаж менее дорогих 1-го и 2-го товаров по сравнению с уменьшением числа продаж более дорогого 3-го товара.

Графическая иллюстрация результатов исследования модели profit3 приведена на рис. 8 и 9. Точка на графиках обозначает координаты экстремума имитационной модели дискретных продаж.

Рис. 8

Рассмотренный вариант простейшей стратегии решения экстремальной задачи основывался на довольно хороших выборках данных, что обеспечило быстрое ее решение, вряд ли требующее дальнейшего анализа.

Рис. 9

Рассмотрим более реалистичный случай с менее определенной выборкой данных, которая может существенно усложним, стратегию решения экстремальной задачи.

Один из вариантов более реалистичной стратегии

Вновь обратимся к имитационной модели profit3 для проведения полного факторного эксперимента при тех же значениях координат основного уровня и интервалов варьирования переменных. Ясно, что в силу заложенной в модель profit3 стохастичности прибыли, регрессионный полином примет новый вид.bank=fracfact('a b с');=length(d);=[ones(N,1)d];=[300 490 580];=[30 49 58];=[ones(:,1)*x0(:,1)+x(:,2)*dx(:,1)…(:,1)*x0(:,2)+x(:,3)*dx(:,2)…(:,1)*x0(:,3)+x(:,4)*dx(:,3)]=profit3(D);_Y=[n,Y]=0.2;

[b,bint,r,rint,stats] = regress(Y,X,alpha);=[b bint]short=stats(3)

Итак, оценка коэффициента линейной регрессии при второй переменной оказалась статистически незначимой. Поэтому аппроксимационный полином принимает вид

отличный от вида полинома, полученного в предыдущем решении. Как следствие, движение по градиенту приобретает качественно новые черты. Рассчитаем, например, 10 шагов движения по градиенту, оставляя параметр шага .

disp('PACЧET ШАГОВ ДВИЖЕНИЯ ПО ГРАДИЕНТУ) % -------------

format bank=[300 490 580];=[30 49 58];=[-668.12 0 438.13];=0.001;n=1:10(n,1:3)=X0+(n-1)*gamma*b.*dx;

Элементы матрицы G говорят о том, что цена 1-го товара при движении по градиенту выйдет за границу его закупочной цены на 5-м шаге. Поэтому при проведении опытов, обеспечивающих движение по градиенту, следует ограничиться четырьмя шагами.

Процедура движения по градиенту, в отличие от полного факторного эксперимента, несет в себе потенциальную опасность потери некоторой части прибыли в случае неверного определения направления наискорейшего возрастания функции прибыли. Для уменьшения риска потерь следует двигаться по градиенту, последовательно ставя повторные опыты в каждой намеченной-точке градиентного луча и каждый раз давая оценку статистической значимости отличия средних на основном уровне и в новой точке.

Ограничимся четырьмя повторными опытами в каждой точке,

Шаг 1

% В рабочем пространстве MATLAB должна быть матрица Gi=i:4,p(i)=profit3(G(2,:));Y=p(i),end,=4;('Опытные данные на основном уровне матрицы дизайна:')= [4780.00;4460.00;4660.00:3860.00]('Среднее значение свойства на основном уровне матрицы дизайна:')mean=sum(Y0)/N('Опытные данные на 1-ом шаге движения по градиенту:)=p('Среднее значение свойства на 1-ом шаге движения по градиенту')mean=sum(Y1)/N=[Y0 Y1];('Оценка p-value различия средних')short=anoval(gradmean)

Шаг 2all

% В рабочем пространстве MATLAB должна быть матрица Gi=i:4,p(i)=profit3(G(3,:));Y=p(i),end,=4;('Опытные данные на основном уровне матрицы дизайна:')= [4780.00;4460.00;4660.00:3860.00]('Среднее значение свойства на основном уровне матрицы дизайна:')mean=sum(Y0)/N('Опытные данные на 2-ом шаге движения по градиенту:)=p('Среднее значение свойства на 2-ом шаге движения по градиенту')mean=sum(Y2)/N=[Y0 Y2];('Оценка p-value различия средних')short=anoval(gradmean)

Шаг 3all

% В рабочем пространстве MATLAB должна быть матрица Gi=i:4,p(i)=profit3(G(4,:));Y=p(i),end,=4;('Опытные данные на основном уровне матрицы дизайна:')= [4780.00;4460.00;4660.00:3860.00]('Среднее значение свойства на основном уровне матрицы дизайна:')mean=sum(Y0)/N('Опытные данные на 3-ем шаге движения по градиенту:)=p('Среднее значение свойства на 3-ем шаге движения по градиенту')mean=sum(Y3)/N=[Y0 Y3];('Оценка p-value различия средних')short=anoval(gradmean)

Рис. 10-15 иллюстрируют статистический анализ результатов шагов движения по градиенту. Из этого анализа вытекает, что в точке факторного пространства с ценами x1=239.87 руб., х2=490.00 руб. и х3=656.23 руб. получена средняя прибыль, которая на

(5501.47-4440.00)/4440.00*100=

.9070 %

больше той, которую получал продавец при обычной схеме назначения цен на товары.

По сравнению с выборкой, обусловившей простейшую стратегию, рассмотренную в предыдущем разделе, новая выборка привела к решению, которое оказалось более трудоемким и к тому же привело к меньшему увеличению прибыли.

С целью большего увеличения прибыли с продаж примем решение построить квадратичную аппросимацию области экстремума с помощью полинома

Задача максимизации прибыли от продаж

Похожие работы