Завдання 1
Побудувати математичну модель задачі.
На підприємстві виготовляються вироби двох видів А і В. Для цього використовується сировина чотирьох типів І, ІІ, ІІІ, ІV, запаси якої дорівнюють, відповідно, 21; 4; 6; 10 од. Для виготовлення одного виробу А необхідна така кількість одиниць сировини чотирьох видів: 2; 1; 0; 2. Для виробу В 3; 0; 1; 1 од. відповідно. Випуск одного виробу А дає 3 грн. од. прибутку, типу В 2 грн. од. Скласти план виробництва, який забезпечує найбільший прибуток.
СировинаНорма витрат сировини, одЗапаси сировини, од.АВІ2321ІІ104ІІІ016ІV2110Ціна, грн. од.32
Розвязок
Складаємо математичну модель задачі. Позначимо через х1 кількість виробів 1-ї моделі, що виготовляє підприємство за деяким планом, а через х2 кількість виробів 2-ї моделі. Тоді прибуток, отриманий підприємством від реалізації цих виробів, складає
∫ = 3х1+2х2.
Витрати сировини на виготовлення такої кількості виробів складають відповідно:
CI =2х1 + 3х2,
CII =1х1 + 0х2,
CIII =0х1 + 1х2,
CIV =2х1 + 1х2,
Оскільки запаси сировини обмежені, то повинні виконуватись нерівності:
2х1 + 3х2≤ 21
1х1≤ 4
1х2≤ 6
2х1 + 1х2≤ 10
Оскільки, кількість виробів є величина невід'ємна, то додатково повинні виконуватись ще нерівності: х1> 0, х2> 0.
Таким чином, приходимо до математичної моделі (задачі лінійного програмування):
Знайти х1 , х2 такі, що функція ∫ = 3х1+2х2досягає максимуму при системі обмежень:
Розв'язуємо задачу лінійного програмування симплексним методом.
Для побудови першого опорного плану систему нерівностей приведемо до системи рівнянь шляхом введення додаткових змінних. Оскільки маємо змішані умови-обмеження, то введемо штучні змінні x.
2x1 + 3x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 = 21
1x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = 4
0x1 + 1x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = 6
2x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = 10
де х1,...,х6>0
Для постановки задачі на максимум цільову функцію запишемо так:
F(X) = 3 x1 +2 x2 - M x6 =>max
Оскільки завдання вирішується на максимум, то ведучий стовпець вибираємо по максимальному негативному кількістю та індексного рядку. Всі перетворення проводять до тих пір, поки не вийдуть в індексному рядку позитивні елементи.
Складаємо симплекс-таблицю:
ПланБазисВx1x2x3x4x5x6min1x32123100010.5x641000014x460101000x5102100105Індексний рядокF(X1)-400000-100003-200000
Оскільки, в індексному рядку знаходяться негативні коефіцієнти, поточний опорний план неоптимальний, тому будуємо новий план. У якості ведучого виберемо елемент у стовбці х1, оскільки значення коефіцієнта за модулем найбільше.
ПланБазисВx1x2x3x4x5x6min2x31303100-24.33x141000010x460101006x5201001-22Індексний рядокF(X2)120-20001000030
Даний план, також не оптимальний, тому будуємо знову нову симплексну таблицю. У якості ведучого виберемо елемент у стовбці х2.
План Базис В x1 x2 x3 x4 x5 x6Min 3 x3 7 0 0 1 0 -3 4 4.33 x1 4 1 0 0 0 0 1 0 x4 4 0 0 0 1 -1 2 6 x2 2 0 1 0 0 1 -2 2Індексний рядокF(X3) 16 0 0 0 0 299999 0
Оскільки всі оцінки >0, то знайдено оптимальний план, що забезпечує максимальний прибуток: х1=4, х2=2. Прибуток, при випуску продукції за цим планом, становить 16 грн.
Завдання 2
Записати двоїсту задачу до поставленої задачі лінійного програмування. Розвязати одну із задач симплексним методом і визначити оптимальний план іншої задачі. Оптимальні результати перевірити графічно.
Розвязок
Вирішимо пряму задачу лінійного програмування симплексним методом, з використанням симплексного таблиці.
Визначимо мінімальне значення цільової функції F(X) = 3x1+2x2 за таких умов-обмежень.
2x1+4x2≥10
3x1+2x2≥11
4x1+7x2≤32
Для побудови першого опорного плану систему нерівностей наведемо до системи рівнянь шляхом введення додаткових змінних (перехід до канонічної форми).
2x1 + 4x2-1x3 + 0x4 + 0x5 = 10
3x1 + 2x2 + 0x3-1x4 + 0x5 = 11
4x1 + 7x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 = 32
Введемо штучні змінні x.
2x1 + 4x2-1x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 = 10
3x1 + 2x2 + 0x3-1x4 + 0x5 + 0x6 + 1x7 = 11
4x1 + 7x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 = 32
Для постановки завдання на мінімум цільову функцію запишемо так:
F(X) = 3x1+2x2+Mx6+Mx7 => min
За використання штучних змінних, що вводяться в цільову функцію, накладається так званий штраф величиною М, дуже велике позитивне число, яке зазвичай не задається.
Отриманий базис називається штучним, а метод рішення називається методом штучного базису.
Причому штучні змінні не мають відношення до змісту поставленого завдання, однак вони дозволяють побудувати стартову точку, а процес оптимізації змушує ці змінні приймати нульові значення та забезпечити допустимість оптимального рішення.
З рівнянь висловлюємо штучні змінні:
x6 = 10-2x1-4x2+x3
x7 = 11-3x1-2x2+x4
які підставимо в цільову функцію:
F(X) = 3x1 + 2x2 + M(10-2x1-4x2+x3) + M(11-3x1-2x2+x4) => min
або
F(X) = (3-5M)x1+(2-6M)x2+(1M)x3+(1M)x4+(21M) => min
Матриця коефіцієнтів A = a(ij) цієї системи рівнянь має вигляд:
24-10010320-10014700100
Базисні перемінні це змінні, які входять тільки в одне рівняння системи обмежень і при тому з одиничним коефіцієнтом.
Вирішимо систему рівнянь відносно базисних змінних:
x6, x7, x5,
Вважаючи, що вільні змінні рівні 0, отримаємо перший опорний план:
X1 = (0,0,0,0,32,10,11)
ПланБазисВx1x2x3x4x5x6x70x61024-10010x711320-1001x5324700100Індексний
рядокF(X0)21M-3+5M-2+6M-1M-1M000
Переходимо до основного алгоритму симплекс-методу.
ПланБазисВx1x2x3x4x5x6x7min1x61024-100102.5x711320-10015.5x53247001004.57Індексний
рядокF(X1)21M-3+5M-2+6M-1M-1M0000
Оскільки, в індексному рядку знаходяться позитивні коефіцієнти, поточний опорний план неоптимальний, тому будуємо новий план. У якості ведучого виберемо елемент у стовбці х2, оскільки значення коефіцієнта за модулем найбільше.
ПланБазисВx1x2x3x4x5x6x7min2x22.50.51-0.25000.2505x76200.5-10-0.513x514.50.501.7501-1.75029Індексний
рядокF(X2)5+6M-2+2M0-0.5+0.5M-1M00.5-1.5M00
Даний план, також не оптимальний, тому будуємо знову нову симплексну таблицю. У якості ведучого виберемо елемент у стовбці х1.
ПланБазисВx1x2x3x4x5x6x73x2101-0.3750.2500.375-0.25x13100.25-0.50-0.250.5x513001.630.251-1.63-0.25Індексний
рядокF(X3)11000-10-1M1-1M
Остаточний варіант симплекс-таблиці оптимальний, тому що в індексному рядку знаходяться негативні коефіцієнти.
Оптимальний план можна записати так:
x2 = 1
x1 = 3
x5 = 13
F(X) = 3*3 + 2*1 = 11
Складемо двоїсту задачу до прямої задачі.
2y1+3y2+4y3≤3
4y1+2y2+7y3≤2
10y1+11y2+32y3 => max
y1 ≥ 0
y2 ≥ 0
y3 ≤ 0
Рішення двоїстої задачі дає оптимальну систему оцінок ресурсів.
Використовуючи останню ітерацію прямої задачі знайдемо, оптимальний план двоїстої задачі.
З першої теореми двоїстості випливає, що Y = C*A-1.
Складемо матрицю A з компонентів векторів, що входять в оптимальний базис.
Визначивши зворотну матрицю А-1черезалгебраїчнідоповнення, отримаємо:
Як видно з останнього плану симплексного таблиці, зворотна матриця A-1розташована в стовпцях додаткових змінних.
Тогда Y = C*A-1 =
Оптимальний план двоїстоїзадачідорівнює:
y1 = 0
y2 = 1
y3 = 0
Z(Y) = 10*0+11*1+32*0 = 11
Завдання 3
Розвязати транспортну задачу.
1421230022313903456770100207090180
Розвязок
Побудова математичної моделі. Нехай xij кількість продукції, що перевозиться з і-го пункту виробництва до j-го споживача . Перевіримо необхідність і достатність умоврозв'язання задачі:
Умова балансу дотримується. Запаси рівні потребам. Отже, модель транспортної задачі є закритою.
Занесемо вихідні дані у таблицю.
В1В2В3В4В5ЗапасиА114212300А22231390А33456770Потреби100207090180
Розпочинаємо будувати математичну модель даної задачі:
Економічний зміст записаних обмежень полягає в тому, що весь вантаж потрібно перевезти по пунктах повністю.
Аналогічні обмеження можна записати відносно замовників: вантаж, що може надходити до споживача від чотирьох баз, має повністю задовольняти його попит. Математично це записується так:
Загальні витрати, повязані з транспортуванням продукції, визначаються як сума добутків обсягів перевезеної продукції на вартості транспортування од. продукції до відповідного замовника і за умовою задачі мають бути мінімальними. Тому формально це можна записати так:
minZ=1x11+4x12+2x13+1x14+2x15+2x21+2x22+3x23+1x24+3x25+3x31+4x32+5x33+6x34+ +7x35.
Загалом математична модель сформульованої задачі має вигляд:
minZ=1x11+4x12+2x13+1x14+2x15+2x21+2x22+3x23+1x24+3x25+3x31+4x
