Единое пересечение кривых в пространстве

то будем говорить, что кривая F есть линейная комбинация (с коэффициентами λ1 и λ2) кривых F1 и F2. Если кривые

Единое пересечение кривых в пространстве

Курсовой проект

Математика и статистика

Другие курсовые по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией
, бесконечно. Это множество кривых называется пучком кривых второго порядка, определяемым точками M1, M2, M3, M4.

Будем обозначать кривую той же буквой F, которой обозначена левая часть F(x, у) ее уравнения (1), так что F и λF при любом λ≠0 это одна и та же кривая. Если

 

F (х, y) = λ1F1(x, y) + λ2F2(x, y),

 

то будем говорить, что кривая F есть линейная комбинация (с коэффициентами λ1 и λ2) кривых F1 и F2. Если кривые F1 и F2 принадлежат пучку, определяемому точками Mi = (xi , yi) (i = l, 2, 3, 4), то уравнения F1(x, у)=0 и F2(x, у)=0 удовлетворяются, если в них подставить значения х = xi , у = yi при любых i = l, 2, 3, 4. Но тогда и уравнение λ1F1(x, y) + λ2F2(x, y)=0 будет при х = xi , у = yi удовлетворяться. Другими словами, всякая кривая, являющаяся линейной комбинацией двух (или более) кривых, принадлежащих данному пучку, принадлежит этому пучку. Докажем обратное предложение. Пусть в пучке кривых второго порядка выбраны две определенные кривые F1 и F2. Тогда всякая кривая F данного пучка есть линейная комбинация этих двух кривых F1 и F2.

Пусть пучок определен четверкой точек M1, M2, M3, M4. Возьмем на кривой F какую-нибудь точку M5, не коллинеарную ни с какими тремя из точек M1, M2, M3, M4. Кривая F есть единственная кривая второго порядка, проходящая через точки M1, M2, M3, M4, M5. Поэтому для доказательства сделанного утверждения достаточно найти такую линейную комбинацию λ1F1 + λ2F2 чтобы кривая

 

λ1F1(x, y) + λ2F2(x, y)=0 (12)

 

проходила через точку M5 = 5, у5), т. е. достаточно определить λ1 и λ2, вернее, их отношение λ1: λ2, из условия

 

λ1F15, у5) + λ2F25, у5), (13)

 

Итак, любой пучок кривых второго порядка вполне определен, если даны две какие-нибудь кривые F1 и F2 из этого пучка: он состоит из всех кривых, являющихся линейными комбинациями λ1F1 + λ2F2 двух данных. Все эти кривые определяются значениями одного параметра отношением λ = λ1:λ2 двух коэффициентов в линейной комбинации λ1F1 + λ2F2. Другими словами, пучок кривых второго порядка является одномерным многообразием кривых совершенно в том же смысле, в каком пучок прямых является одномерным многообразием прямых (а пучок плоскостей

одномерным многообразием плоскостей).

 

 

Понятие пучка кривых позволяет очень просто найти уравнение кривой второго порядка, проходящей через заданные пять точек M1, M2, M3, M4, M5. В самом деле, возьмем четыре точки из числа данных пяти, например M1, M2, M3, M4.

Легко написать уравнения прямых:

 

d1: M1M2 d′1: M3M4 ,

d2: M1M3 d′2: M2M4 .

 

Теперь имеем две распадающиеся кривые второго порядка: кривую F1 распадающуюся на пару прямых d1 и d′1, и кривую F2, распадающуюся на прямые d2 и d′2Многочлены F1(х, у) и F2(х, у) суть произведения трехчленов первой степени, являющихся левыми частями уравнений, соответствующих прямым d1 и d′1, d2 и d′2. Распадающиеся линии F1 и F2, очевидно, проходят через точки M1, M2, M3, M4 т. е. принадлежат пучку, определяемому этими точками. Остается только определить отношение λ1:λ2 из условия, чтобы кривая λ1F1 + λ2F2 проходила через точку M5 = 5, у5), этим условием является равенство (13), из которого находим

 

λ1:λ2 = - F25, y5) : F1(x5, у5).

 

4 Теорема единственности для поверхностей второго порядка

 

Теорема 3. Два многочлена второй степени F1(x, у, z) и F2(х, y, z) тогда и только тогда имеют одно и то же нулевое многообразие, когда они пропорциональны между собою, т. е. когда один из них получается из другого умножением на некоторое число λ≠0 .

Как н в случае многочленов от двух переменных, только одна половина этой теоремы нуждается в доказательстве: надо доказать, что два многочлена второй степени F1(x, у, z) и F2(х, y, z), имеющие одно и то же нулевое многообразие CF1 = CF2 =C, пропорциональны между собою.

Рассмотрим поверхности

 

F1(x, у, z)=0 (14)

 

и

 

F2(х, y, z)=0 (15)

 

Берем какое-нибудь направление {α: β: γ}, неасимптотическое для поверхности (14); оно будет неасимптотическим и для поверхности (15).

Диаметральная плоскость π поверхности (14), сопряженная направлению {α: β: γ}, будет и диаметральной плоскостью поверхности (15), сопряженной тому же направлению.

Возьмем теперь систему координат O'x'y'z', ось z' которой имеет направление {α: β: γ}, а две другие оси лежат в плоскости π. В этой системе координат уравнения (14) и (15) примут соответственно вид

 

F′1(x′, у′, z′)=a′33 z′ 2+f′1(x′, y′) = 0 (16)

F′2(x′, у′, z′)=a′33 z′ 2+f′2(x′, y′) = 0 (17)

 

где

 

f′1(x′, y′)=a′11x′ 2+ 2a′12x′y′ + a′22y′ 2+2a′1x′ + 2a′2y′ +a′0

f′2(x′, y′)=b′11x′ 2+ 2b′12x′y′ + b′22y′ 2+2b′1x′ + 2b′2y′ +b′0

 

Здесь a′33 ≠ 0 b′33 ≠ 0), в противном случае единичный вектор {0, 0, 1} оси z', удовлетворяя уравнению

 

φ1(x′, у′, z′)= a′11x′ 2+ 2a′12x′y′ + a′22y′ 2+ a′33z′ 2 = 0 ,

 

был бы вектором асимптотического направления для поверхности (14) (соответственно для (15)) вопреки нашим предположениям.

Нам надо доказать пропорциональность многочленов F1(x, у, z) и F2(х, y, z) т. е. пропорциональность тождественно равных им многочленов F′1(x′, у′, z′) и F′2(x′, у′, z′). Для этого обозначим через С0 пересечение множества С с плоскостью z' = 0. Множество С0 есть множество всех точек плоскости О'х'у', в которых обращается в нуль один какой-нибудь (и, следовательно, любой) из многочленов f′1(x′, y′), f′2(x′, y′). Другими словами, это есть (лежащее в плоскости О'х'у') нулевое многообразие каждого из этих многочленов.

Возможны следующие случаи:

1° Множество С0 пусто. Этот случай осуществляется тогда и только тогда, когда какое-нибудь (н тогда каждое) из равенств f′1(x′, y′)=0, f′2(x′, y′)=0 противоречиво, т. е. когда одни какой-нибудь (и тогда каждый) из многочленов f′1(x′, y′), f′2(x′, y′) тождественно равен отличной от нуля постоянной а'0, соответственно b0'„.

2° Множество совпадает со всей плоскостью О'х'у'. Это происходит тогда и только тогда, когда один какой-нибудь (и тогда каждый) из многочленов f′1(x′, y′), f′2(x′, y′) тождественно равен нулю.

3° Ни один из случаев 1°, 2° не имеет места. Тогда множество С0 есть множество всех точек кривой второго п

Похожие работы

<< < 1 2 3 4 >