Единое пересечение кривых в пространстве

то будем говорить, что кривая F есть линейная комбинация (с коэффициентами λ1 и λ2) кривых F1 и F2. Если кривые

Единое пересечение кривых в пространстве

Курсовой проект

Математика и статистика

Другие курсовые по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией
збираемый частный случай теоремы доказаны.

Пусть теперь кривая, определяемая уравнением (1), не есть пара совпадающих прямых. Тогда на ней можно найти пять точек M1, M2, M3, M4, M5 , из которых никакие четыре не лежат на одной прямой. Это очевидно, если кривая (3) нераспадающаяся: тогда никакие три ее точки не лежат на одной прямой, и, следовательно, в качестве точек M1, M2, M3, M4, M5 можно взять любые пять точек, удовлетворяющих уравнению (3). Если же кривая (3) распадается па пару различных прямых d и d′, то достаточно взять три точки на одной из этих прямых, а две другие на другой. Точки (из которых никакие четыре не лежат на одной прямой) лежат и на кривой (3), и на кривой (4); поэтому, в силу теоремы, левые части уравнений (3)и(4) могут отличаться лишь постоянным множителем. Теорема 2 доказана.

Если (3) не есть мнимый эллипс или пара мнимых (сопряженных) прямых, т. е. если она содержит более одной действительной точки, то множество ее действительных точек бесконечно, и поэтому точки M1, M2, M3, M4, M5 в предыдущем рассуждении могут быть предположены действительными. Этим доказано и добавление к теореме 2.

 

  1. Разные способы доказательства теоремы единственности

 

Преимущество предлагаемого второго доказательства заключается в том, что оно легко может быть перенесено на случай поверхностей F{x, у, z) = 0 (и даже на случай (n-1) -мерных поверхностей второго порядка в n-мерном пространстве).

Обозначим через C множество точек, лежащих на кривой

 

F(x, у) = а11х2 + 2а12ху + а22у2 + 2а1х + 2а2у + а0 = 0 (6)

 

т. е. множество всех точек М=(х,у) комплексной плоскости, удовлетворяющих уравнению (6). Предположим, что множество С совпадает с множеством всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих уравнению

 

F(x, y) = b11x2 + 2b12xy + b22y2 + 2b1x + 2b2y + b0 = 0 (7)

 

Вспомним, что неасимптотические направления {α : β} по отношению к кривой (6) характеризуются тем, что имеется прямая данного направления {α : β} имеющая с множеством С ровно две (различные) общие точки, поэтому всякое направление, неасимптотическое для одной из двух кривых (6) и (7), будет неасимптотическим и для другой кривой.

Выбираем некоторое определенное неасимптотическое направление {α : β} для кривых (6) и (7).

Одну из прямых d направления {α : β} примем за ось ординат, а диаметр, сопряженный направлению {α : β}, за ось абсцисс координатной системы О'х'у'. Из результатов предыдущего параграфа следует, что уравнения (3), (6) получат в системе координат О'х'у'

вид

 

F′(x′, y′) = а′22у′ 2 + а′11х′ 2 + 2а′1x′ + а′0 =0 (8)

F′(x′, y′) = b′22y′ 2 + b′11x′ 2 + 2b′1y′ + b′0 = 0 (9)

 

Здесь a′22≠0b′22≠0 ), в противном случае единичный вектор {0, 1} оси у', удовлетворяющий уравнению

 

φ′ (x′, y′) = а′11х′ 2 + а′22у′ 2 = 0,

 

имел бы, вопреки предположению, асимптотическое направление. Пересечение множества С с осью у' = 0 обозначим через C0. Возможны следующие случаи:

1° Множество С0 пусто. Этот случай осуществляется тогда и только тогда, когда какое-нибудь (и тогда каждое) из

f(x') = a′11x′ 2+2a′1x′+a′0= 0

f(x') = b′11x′ 2+2b′1x′+b′0= 0

противоречиво, т. е.

 

Множество C0 пусто

 

Сногочленов f(x'), f(x') тождественно равен отличной от нуля постоянной а'0, соответственно b′0.

2° Множество С0 совпадает со всей прямой у' = 0. Это происходит тогда и только тогда, когда каждый из многочленов f(x'), f(x') тождественно равен нулю.

 

Множество C0 совпадает с прямой y′o′

 

3° Ни одни из случаев 10, 20 не имеет места. Тогда множество С0 состоит или из одной точки, или из пары (быть может, совпадающих между собою) точек, являющихся парой корней как уравнения

 

a′11x′ 2+2a′1x′+a′0= 0 (10)

 

так и уравнения

 

b′11x′ 2+2b′1x′+b′0= 0 (11)

Множество C0 состоит из одной точки А

 

Рассмотрим ближе этот случай. Так как уравнения (10) и (11) имеют одни и те же корни, то при некотором μ ≠ 0 имеем

 

b′11x′ 2+2b′1x′+b′0 =μ(a′11x′ 2+2a′1x′+a′0)

 

и, значит, полагая λ=b′22:a′22, имеем

 

F′(x′, y′) = а′22у′ 2 + (а′11х′ 2 + 2а′1x′ + а′0),

F′(x′, y′) = λb22y′ 2 + μ(b11x′ 2 + 2b′1y′ + b′0)

 

Докажем, что λ=μ. Для этого дадим переменному х' значение x′=x′1, являющаяся корнем уравнения

 

а′11х′ 2 + 2а′1x′ + а′0=1

 

и найдем значение y′, удовлетворяющее уравнению

 

F′(x′1, y′) = а′22у′ 2 + 1 = 0

 

 

т. е. y′1= ± ( - 1 : a′22 )0,5.

 

Значит, точка (x′1, y′1 ) принадлежит множеству С; следовательно,

 

F′(x′1, y′1) = λа′22у′ 2 + μ · 1= λа′22( - 1 : a′22)+ μ = 0

т. е. λ=μ, и F′(x′, y′)=λ F′(x′, y′), значит, и

F(x, y)=λ F(x, y).

 

Итак, в случае 3° теорема доказана. В случае 2° имеем

 

F′(x′, y′)= а′22у′ 2, а′22≠0, F′(x′, y′)= b′22у′ 2, b′22≠0.

 

Полагая λ= b′22: a′22, получим F′(x′, y′)= F′(x′, y′) утверждение теоремы верно и в этом случае.

Наконец, в случае 1° уравнения (8) и (9) принимают вид

 

F′(x′, y′) = а′22у′ 2 + a′0=0, a′0≠0,

F′(x′, y′) = b′22у′ 2 + b′0=0 b′0≠0

 

множество С есть пара прямых, определенная каждым из уравнений

 

y′=±(-(a′0 : a′22)0,5) или y′=±(-(b′0 :b′22)0,5).

 

Для того чтобы эти уравнения были эквивалентны, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы было

 

(a′0 : a′22)=( b′0 : b′22), т.е. b′22=λa22, b′0=λa0 при λ=( b′22: a′22).

 

Теорема доказана во всех случаях.

 

  1. Пучок кривых второго порядка

 

Пусть M1, M2, M3, M4, четыре точки, не лежащие на одной прямой. Задавая по произволу еще одну точку M5 (не коллинеарную никаким трем из точек M1, M2, M3, M4, получим, по теореме 1, единственную кривую второго порядка, проходящую через точки M1, M2, M3, M4, и точку M5 .

Поэтому множество всех кривых второго порядка, проходящих через четыре точки M1, M2, M3, M4

Похожие работы

< 1 2 3 4 > >>