Дифференциальные уравнения движения механической системы

Дисциплина, в рамках которой, я подготовил данную работу, называется "Теоретическая механика". Поэтому начну с определения термина механика. Впервые термин механика

Дифференциальные уравнения движения механической системы

Информация

Физика

Другие материалы по предмету

Физика

Сдать работу со 100% гаранией

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференциальные уравнения движения механической системы

 

Содержание

 

1.Введение

2.Основные динамические величины системы

2.1 Количество движения системы

2.2 Главный момент количеств движения (кинетический момент) системы

2.3 Кинетическая энергия системы

3.Общие замечания о теоремах и законах динамики

3.1 Теорема об изменении количества движения

3.2 Теорема об изменении кинетического момента

3.3 Теорема об изменении кинетической энергии

4.Дифференциальные уравнения движения системы

5.Список литературы

 

1. Введение

 

Дисциплина, в рамках которой, я подготовил данную работу, называется "Теоретическая механика". Поэтому начну с определения термина механика. Впервые термин механика человечество "услышало" от Аристотеля. Тогда он подразумевал под этим словом некое сооружение, машину. С тех пор прошло около 2400 лет, и теперь можно выстроить чёткую иерархию математических наук, как, например, это сделал П. Аппель (1855-1930): "Среди математических наук первой является наука о вычислениях, которая основывается на единственном понятии о числе и к которой стремятся свести все остальные науки. Затем следует геометрия, которая вводит новое понятие - понятие о пространстве. В геометрии рассматриваются точки, описывающие линии, линии, описывающие поверхности, и т, д,, но в ней никоим образом не касаются времени, в течение которого осуществляются эти движения. Если ввести понятие времени, то получится более сложная наука, называемая кинематикой, которая изучает геометрические свойства движений в их соотношениях во времени, но в которой не касаются физических причин движения. Этим последним вопросом занимается механика. Необходимо, однако, заметить, что механика не раскрывает действительных причин физических явлений и довольствуется заменой их некоторыми абстрактными причинами, называемыми силами и способными вызвать тот же механический эффект" [1].

То есть механика - "наука, охватывающая математические методы описания механических движений" [2]. И тут мы вплотную подходим к теме моей работы: "Дифференциальные уравнения движения механической системы".

2. Основные динамические величины системы

 

.1 Количество движения системы

 

Количеством движения механической системы называется вектор:

 

 

то есть количество движения системы равно массе системы, умноженной на скорость ее центра масс.

 

2.2 Главный момент количеств движения (кинетический момент) системы

 

Главным моментом количеств движения (кинетическим моментом) системы относительно центра А называется величина:

 

,

 

где - радиус-вектор точки системы относительно её центра ()

Главным моментом количеств движения (кинетическим моментом) системы относительно оси называется проекция на эту ось главного момента количеств движения системы относительно любого выбранного на данной оси центра. движение кинетический энергия

При изменении центра кинетический момент изменяется.

 

2.3 Кинетическая энергия системы

 

Кинетической энергией системы называется величина Т. определяемая по формуле:

 

При вычислении кинетической энергии очень часто используется следующее утверждение.

Теорема Кёнига. Кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии, которую имела бы материальная точка, расположенная в центре масс, системы и имеющая массу, равную массе системы, и кинетической энергии движения системы относительно центра масс.

 

3. Общие замечания о теоремах и законах динамики

 

Рассмотрим движение системы материальных точек

 

()

 

в некоторой инерциальной системе координат. Пусть - масса точки , а - радиус-вектор относительно начала координат. Если система несвободна, то ее можно рассматривать как свободную, если помимо активных сил, приложенных к точкам системы, учесть реакции связей. Если затем все силы, приложенные к системе, разбить на внешние и внутренние, то из аксиом Ньютона получим дифференциальные уравнения движения рассматриваемой механической системы в виде:

 

() (1)

 

где - ускорение точки в инерциальной системе отсчета, а и - соответственно равнодействующие всех внешних и внутренних сил системы, приложенных к точке

Для исследования движения надо при заданных начальных условиях проинтегрировать систему уравнений (1) и найти зависимость от времени. Это в большинстве случаев невозможно, особенно если число уравнений (1) велико.

Однако при практическом исследовании движения очень часто нет необходимости изучать систему (1), а достаточно знать изменение со временем некоторых величин, общих для всей материальной системы и являющихся функциями координат и скоростей точек системы (и, быть может, времени). Если такая функция при движении системы остается постоянной, то она называется первым интегралом уравнений движения (1). Использование первых интегралов позволяет упростить задачу исследования движения системы, а иногда и решить ее до конца.

Самый распространенный прием получения первых интегралов уравнений (1) основан на изучении поведения основных динамических величин системы: количества движения, кинетического момента, кинетической энергии. Изменение этих величин во времени описывается основными теоремами динамики, являющимися непосредственными следствиями уравнений (1). Утверждения, описывающие условия, при которых некоторые из основных динамических величин остаются постоянными, называются законами сохранения.

 

3.1 Теорема об изменении количества движения

 

Сложив почленно уравнения (1), получим

 

(2)

 

Первая сумма в правой части равенства (2) равна главному вектору внешних сил системы, а вторая сумма равна нулю, так как по третьему закону Ньютона внутренние силы попарно равны и противоположны. Принимая во внимание постоянство массы каждой из точек системы, равенство (2) можно записать в виде

 

(3)

Это равенство выражает теорему об изменении количества движения системы: производная по времени от количества движения системы равна главному вектору всех внешних сил системы.

Эту теорему можно представить в интегральной форме. Проинтегрировав обе части равенства (3) от до получим:

 

(4)

 

Интеграл в правой части формулы (4) называется импульсом внешних сил системы за время . Таким образом, приращение количества движения за конечное время равно импульсу внешних сил за это время.

Дифференциальной форме теоремы об изменении количества движения можно придать другую формулировку. Так как:

 

,

 

где - масса системы, а - скорость центра масс

То формула (3) с учетом постоянства массы может быть представлена в виде равенства:

 

(5)

 

Это равенство означает, что центр масс системы движется так же, как двигалась бы материальная точка, масса которой равнялась бы массе системы, под действием силы, равной главному вектору всех внешних сил системы. Это утверждение называют теоремой о движении центра масс (центра инерции).

Бели система замкнута, то и из (3) следует закон сохранения количества движения: при движении замкнутой системы ее количество движения постоянно. На основании равенства (5) закон сохранения количества движения можно сформулировать еще так: скорость центра масс замкнутой системы постоянна. Ясно, что эти утверждения справедливы и для системы, не являющейся замкнутой, если только во все время движения.

Проектируя вектор на оси координат, получаем из закона сохранения количества движения три первых интеграла:

 

; ; ;

 

Или

 

; ; .

 

где , , , , , - проекции на оси , , соответственно количества движения и скорости центра масс системы, а , () - произвольные постоянные

Если проекция главного вектора внешних сил на какую-нибудь одну ось, например на ось , равна нулю, то имеем один первый интеграл

 

или

 

3.2 Теорема об изменении кинетического момента

 

Пусть скорость точки системы в инерциальной системе отсчета, а - ее радиус-вектор относительно начала координат. Возьмем произвольную точку пространства, которая может и не совпадать с какой-либо материальной точкой системы во все время движения. Точка может быть неподвижной, а может совершать произвольное движение; обозначим её скорость в выбранной инерциальной системе отсчета. Пусть - радиус-вектор точки , относительно точки . Тогда кинетический момент системы относительно точки вычисляется по формуле:

 

(6)

 

Продифференцировав обе части равенства (6) по времени и воспользовавшись постоянством величин и уравнениями (1), получим

 

 

Последняя сумма в этом равенстве равна главному моменту внешних сил относительно точки . Учитывая еще, что

 

 

А также что

 

Получаем

 

 

Таким образом

 

(7)

 

Если точка неп

Похожие работы

1 2 3 > >>