"Дискретні та неперервні динамічні системи в економіці" в MAPLE 7

5) щодо інвестицій, то передбачається, що вони складають постійний процент від випуску It= s* Yt, де s норма інвестицій

"Дискретні та неперервні динамічні системи в економіці" в MAPLE 7

Курсовой проект

Экономика

Другие курсовые по предмету

Экономика

Сдать работу со 100% гаранией

Дискретні динамічні системи

 

Завдання №1

Динаміка національного доходу Yt визначається рівнянням

 

(1.1.0)

 

де с=0,25; А =1; а=2. Знайти залежність Yt, якщо Y0=1

 

Рішення

1. Варіант початкових даних Y0=1.

Рішення рівняння (1.1.0) проводимо в пакеті MAPLE7:

> rsolve({y(n)=1/4*y (n1)+1*(2^n), y(0)=1}, y(n));

>

> R3:=simplify(%);

 

Результат:

 

nY01,0012,2524,5639,14418,29536,57Завдання №2

Динаміка національного доходу Yt визначається рівнянням Самуельсона-Хікса [6]

(1.2.0)

де а=2; b =1,25; c=1. Знайти залежність Yt, якщо Y0=0, Y0=1

Рішення:

1. Динаміка об'єктів різної природи часто описується лінійними кінцево-різницевими рівняннями виду

xt=F (xt1,xt-2,…, xt-n), (1.2.1)

Характеристичний стан об'єктаxt у будь-який момент часуt зі станами в попередні моменти часу. Рішення рівняння(1.2.1) nго порядку визначено однозначно, якщо заданіn так званих початкових умов. Звичайно як початкові умови розглядаються значенняxt приt=0,1,…,n1.

Підставляючи початкові значення xn1,…,x1,x0 іt=n як аргументи функції в правій частині(1.2.1), знаходимоxn; використовуючи знайдене значення й підставляючи теперxn, xn1,…,x2x1 і t=n+1 як аргументи функції, знаходимоxn+1, і т.д. Процес може бути продовжений доти, поки не будуть вичерпані всі досліджуємі значенняt.

У моделі економічних циклів Самуельсона-Хікса використовуються кінцево-різницеві рівняння видуxt=a1 xt-1+a2 xt-2+f(t) лінійні кінцево-різницеві рівняння другого порядку, що є приватним видом рівняння(1.2.1).

2. Варіант початкових даних Y0=0.

Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7 [4]:

> rsolve({f(n)=(2*f (n1) (1*1/4)*f (n2)+2), f(0)=0}, f(n));

 

  1. Samuelson_Hiks3:=simplify(%);

 

 

Як показує аналіз рішення для вирішення рівняння моделі Самуельсона-Хікса потрібно 2 послідовні точки початкових умов національного доходу (n1, n), тобто 0 та 1 значення для кінечно-різницевої моделі. Тільки тоді зявляється можливість розрахування послідовних значень для точки (n+1). Якщо є тільки одна початкова точка (n1), то отриманне рівняння моделі залежить не тільки від значення n, але і від значення Y(1).

3. Варіант початкових даних Y0=1.

Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7:

 

> rsolve({f(n)=(2*f (n1) (1*1/4)*f (n2)+2), f(0)=1}, f(n));

 

> Samuelson_Hiks3:=simplify(%);

 

Як показує аналіз рішення для вирішення рівняння моделі Самуельсона-Хікса потрібно 2 послідовні точки початкових умов національного доходу (n1, n), тобто 0 та 1 значення для кінечно-різницевої моделі. Тільки тоді зявляється можливість розрахування послідовних значень для точки (n+1). Якщо є тільки одна початкова точка (n1), то отримане рівняння моделі залежить не тільки від значення n, але і від значення Y(1).

4. Варіант початкових даних Y0=0, Y1=1.

Рішення рівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7:

> rsolve({f(n)=(2*f (n1) (1*1/4)*f (n2)+2), f(0)=0, f(1)=1}, f(n));

 

 

  1. Samuelson_Hiks3:=simplify(%);

 

 

Завдання №3

Попит D та пропозиція S як функції ціни p задаються виразами

(1.3.0)

 

Знайти стаціонарну ціну pD=S(при умові D=S вирівнювання попиту та пропозиції) та зясувати чи вона є стійкою.

 

Рішення:

1. Аналіз стійкості рівноважної ціни pD=S, якщо попит D та пропозиція S завдані функціями:

 

(1.3.1)

 

виконується для дискретного підходу за наступним алгоритмом [1].

Нехай ціна близька до рівноважної, при якій попит D дорівнює пропозиції S:

 

(1.3.2)

 

Тоді рівняння (1.3.1) в кінцевих різницях можна представити як:

 

(1.3.3)

З умови рівноваги попиту та пропозиції та умови (1.3.2), маємо наступне перетворення рівнянь (1.3.3):

 

(1.3.4)

 

а оскільки

 

(1.3.5)

 

то рівняння (1.3.4) трансформується до вигляду:

(1.3.6)

Який перетворюється до наступної форми:

 

(1.3.7)

 

Для приросту ціни ∆pi отримане рівняння (1.3.7) є характеристичним однорідним різницевим рівнянням з сталим коефіцієнтом. Умова стійкості його розвязку має вигляд [1]:

(1.3.8)

 

2. Для системи рівнянь (1.3.0) пошук рівноважної ціни PD=S виконується за схемою:

 

(1.3.9)

Рішення рівняння (1.3.9) в пакеті MAPLE7 дає рішення:

> solve ( (sqrt(L)*sqrt(L))+sqrt(L)+2=0);

тобто p=4.

3. Знаходимо похідні в точці рівноваги р=4:

 

(1.3.10)

 

Оскільки умови стійкості для отриманих значень похідних в точці рівноваги не виконуються (1.3.11), то рівноважне рішення р=4 є нестійким

(1.3.11)

 

 

Неперервні динамічні системи

 

Завдання №1

Найти розвязок рівняння Харода-Домара

 

 

з початковою умовою Y (t=0) =Y0; s, A, і const;

Позначення (згідно з моделлю Харода Домара роста національного доходу держави у часі) [6]:

Y(t) рівень національного доходу держави у часі;

схильність населення до заощаджень (0< s < 1,0), тобто частка національного доходу, яка відкладується в заощадження;

t час;

i коефіцієнт індукованих інвестицій при зміні національного доходу ∆Y(t), тобто частка приросту національного доходу, яка йде на інвестування економіки;

А рівень незалежних сталих інвестицій

 

Рішення:

1. У загальному вигляді модель економічного зростання складається із системи пяти рівнянь [6]:

1) формула виробничої функції, якою передається обсяг потенційного випуску, тобто випуску продукції за умов повної зайнятості;

2) основна макроекономічна тотожність Yt=Ct+It показує, що вимірник випуску (доходу) Y поділяється в теорії зростання на споживання С та інвестиції І; вимірники державних витрат G і чистого експорту NX окремо в таких моделях не вирізняються, а розподіляються на споживання та інвестиції держави й інших країн світу (тобто вводяться в компоненти С та І);

3) формула розрахунку динаміки обсягу капіталу з урахуванням інвестицій та амортизації основного капіталу (за умови нульового інвестиційного лагу) має вигляд:

 

Kt=Kt-1+ItWt,

 

де Kt запас капіталу наприкінці періоду t;

Іt інвестиції за весь період t;

Wt, амортизація капіталу за період t.

Наведена формула вказує на те, що кількість капіталу зростає на величину інвестицій та зменшується на величину амортизаційних відрахувань;

4) формула для розрахунку вибуття капіталу (амортизації) має вигляд:

 

 

де постійна (незмінна) норма амортизації, яка задається екзогенно отже, вважається, що вибуття капіталу є пропорційним до величини його запасу;

5) щодо інвестицій, то передбачається, що вони складають постійний процент від випуску It= s* Yt, де s норма інвестицій (частка інвестицій у сукупному продукті (доході). Норма інвестицій s збігається з нормою заощадження, оскільки сукупні заощадження St дорівнюють сукупним інвестиціям Іt. Відповідно, Yt=Ct+St=Ct+It.

Таким чином, модель економічного зростання у загальному вигляді складається із системи пяти наведених рівнянь, які містять сім змінних (Y, K, L, C, I, , s), три із яких задаються екзогенно:

  1. затрати праці L (зростають із постійним темпом n);
  2. норма амортизації основного капіталу

    ;

  3. норма заощадження s (задається безпосередньо або ж у вигляді певних умов, наприклад, максимізація споживання).

    4. Мета дослідників зясувати питання про те, як змінюються ендогенні змінні в моделі економічного зростання (Y, C та І) і який із чинників є визначальним фактором довгострокового економічного зростання.

Модель економічного зростання ХародаДомара

Це найпростіша модель економічного зростання, і була вона розроблена наприкінці 40х рр. Модель описує динаміку доходу (Y), який є сумою споживчих (С) та інвестиційних (І) витрат. Економіка вважається закритою, тому чистий експорт (NX) дорівнює нулю, а державні витрати (G) в моделі не вирізняються. Основним фактором зростання є нагромадження капіталу.

Основні передумови моделі:

постійна продуктивність капіталу MPK = dY/dK;

постійна норма заощаджен

Похожие работы

1 2 >