Введение
координата декартовый плоскость геометрия
Аналитическая геометрия изучает свойства геометрических объектов при помощи аналитического метода, в основе которого лежит так называемый метод координат, впервые систематически примененный Декартом (французский математик и философ, 1596-1650).
Метод координат представляет собой глубокий и мощный аппарат, позволяющий привлекать для исследования геометрических объектов методы алгебры и математического анализа. Основные понятия геометрии (точки, прямые линии, плоскости) относятся к числу начальных понятий. Вводятся декартовы координаты точки на прямой, на плоскости и в пространстве. Из школьного курса геометрии эти понятия известны, как известны и некоторые сведения о векторах. Обобщим и дополним эти сведения. Векторная величина характеризуется не только своим численным значением, но и направлением. Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, скорость и ускорение этой точки действующая на эту точку сила. В отличие от векторных величин рассматриваются скалярные величины, каждая из которых характеризуется только численным значением (площадь, объем, длина). Свойства векторов и операции над ними позволяют получить уравнения прямой, плоскости и изучить их взаимное положение.
Целью настоящей работы является исследование кривых второго порядка. Задачи работы:
) изучение декартовых координат на прямой, на плоскости, в пространстве;
) характеристика основных понятий векторов и действий над ними;
) решение простейших задач методом координат;
) выявление геометрического смысла линейных неравенств с двумя переменными;
) анализ видов кривых второго порядка.
Декартовы координаты на прямой, на плоскости и в пространстве
Прямую линию с указанным на ней направлением, началом отчета и единицей масштаба назовем числовой осью. Каждому действительному числу Х на числовой оси соответствует единственное число, которое называется координатой данной точки.
Здесь числа х2>х1>0, х3<0.
х3, х1, х2, х - координаты точек Q, F, N, M соответственно. Записывают:
Q (х3), F (x1), N(x2), M (x).
Точки F и N ограничивают отрезок FN. Очевидно, его длина | FN | = х2- х1. Две взаимно перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой единицей масштаба образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Одна из осей - ось абсцисс Ох, другая - ось ординат Оу.
Рис.
Каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел х, у.
x, у называют координатами точки М и записывают М (х, у).
Рис.
В пространстве декартова прямоугольная система координат представляет собой совокупность трех взаимно перпендикулярных осей с общим началом и одинаковой единицей масштаба. Это ось абсцисс Ох, ось ординат Оу и ось аппликат Оz. Каждая точка пространства М имеет координаты х, у, z. Записывают:
М (х, у, z).
Вектор. Основные понятия. Действия над векторами
Вектором называется направленный отрезок
Будем обозначать вектор либо символом , где точки А и В - начало и конец направленного отрезка, либо символом (малая латинская буква с чертой).
Для обозначения длины вектора будем использовать символ модуля:
|| - длина вектора ,
|| - длина вектора .
Вектор называется нулевым (или нуль-вектором), если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления, длина его равна числу 0. Записывают: || = 0.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если векторы и коллинеарны, то записывают: ||.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Записывают: =.
Понятно, что вектор можно переносить параллельно самому себе в любую точку пространства, т.е. изучаемые в геометрии векторы являются свободными.
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях.
Рис.
Рассмотрим векторы, совпадающие с ребрами куба.
Векторы и коллинеарны, но не равны.
Векторы , , , , компланарны, так как лежат в параллельных гранях.
Векторы , , равны: ==.
В квадрате MNKZ векторы , , ,, имеют одинаковые длины, но не равны. Если изменим направление у двух векторов, то можно утверждать, что = и =.
Рассмотрим векторы, совпадающие со сторонами ромба ABCD.
Рис.
Здесь =, но ¹, ¹, хотя длины векторов, совпадающих со сторонами ромба, равны:
|| = || = || = ||.
Линейными операциями над векторами называют сложение векторов и умножение вектора на число.
Суммой + двух векторов и называется вектор , идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора . Записывают:
=+.
Рис. 1.Рис. 2.
Это правило называется "правилом треугольника" (рис. 1). Для сложения двух векторов можно использовать "правило параллелограмма" (рис. 2): если векторы и приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то суммой и этих векторов является вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, идущей из общего начала векторов и .
Сумму трех, четырех и большего числа векторов можно построить по "правилу многоугольника": начало каждого последующего вектора совмещают с концом предыдущего, а суммой всех векторов является вектор, идущий из начала первого вектора в конец последнего.
Рис. 3
На рис. 3 построена сумма четырех векторов +++.
Три вектора в пространстве можно складывать по "правилу параллелепипеда": если на трех векторах , ,, как на ребрах, построить параллелепипед, то его диагональ, выходящая из общего начала данных векторов, и будет их суммой (рис. 4):
=++.
Рис. 4
Произведением × вектора на число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную ||×||, одинаково с вектором направленный в случае >0 и противоположно с ним направленный в случае <0. Записывают:
=×.
Когда =0, для любого вектора произведение × равно нуль-вектору:
×=.
Когда =1, 1×=.
Когда = -1, (-1)×=- - вектор, противоположный вектору .
Итак, при умножении вектора на число получаем вектор, коллинеарный данному. Поэтому, если известно, что =×, где - число, имеем два коллинеарных вектора и. Иначе говоря, равенство =× является условием коллинеарности векторов и.
Для примера рассмотрим векторы, совпадающие со сторонами треугольника АВС: =, =.
Рис.
Требуется выразить через векторы и вектор , где О - точка пересечения медиан треугольника.
Известно, что точка О пересечения медиан треугольника делит отрезок медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому =2/3×, где точка D - середина стороны СВ.
Но вектор =1/2×=1/2×; =-1/2×.
В треугольнике САD вектор =+= -1/2×+.
Искомый вектор =-2/3(-1/2+)= 1/3×-2/3×.
Итак, =1/3×-2/3×. Заметим, что разность векторов и можно рассматривать как сумму вектора и вектора, противоположного вектору :
-=+(-1)× =+(-).
В нашем примере из треугольника САD можно получить вектор =-=1/2×-.
Если вектор умножить на число 1/||, получим так называемый единичный вектор вектора (или орт вектора ), который обозначается 0. Итак, орт вектора или единичный вектор вектора
0=1/||×=/||; |0|=1.
Принято единичные векторы на координатных осях Ох, Оу, Оz обозначать , , соответственно.
Линейные операции над векторами обладают теми же свойствами, что и линейные операции над матрицами. Укажем некоторые из них:
) +=+ - перестановочный закон сложения;
) +(+)=(+)+ - сочетательный закон сложения;
) ×(×) = (×)× - сочетательный закон умножения на число;
) ×(+)=×+×;
) (+)×=×+× - распределительные законы.
Рассмотрим координаты вектора, для чего перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат. Пусть конец вектора - точка М.
Координатами вектора назовем координаты его конечной точки.
Рис. 5
Рис. 6
Так как координатами точки на плоскости являются два числа х и у, то на плоскости вектор задается двумя координатами.
Записывают: =(х, у) (рис. 5).
В пространстве вектор задается тремя координатами х, у и z.
Записывают: =(х, у, z) (рис. 6).
Нетрудно показать, что при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Если даны координаты векторов и =(х1, у1, z1), =(х2, у2, z2) и
=+; =-; =×,
то координаты векторов , , легко находятся:
=(х1+х2; у1+у2; z1+z2),
=(x1-x2; y1-y2; z1-z2),
=(×х1; ×у1; ×z1).
На рис. 5 и рис. 6 видно, что длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его коор
