Гипергеометрическое уравнение

Наиболее часто употребляемыми функциями являются так называемые специальные функции математической физики: классические ортогональные полиномы (полиномы Якоби, Лагерра, Эрмита), цилиндрические, сферические

Гипергеометрическое уравнение

Курсовой проект

Математика и статистика

Другие курсовые по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией
)

 

(--)F+(1-z)F(+1)-(- )F(-1)=

=(--)+(1-z)-(-

) =

={(--)+-(- )-

}zk=

={(--)(+k-1)+(+k)(+k-1)-(-)(-1)- ----

(-k-1)k} zk=0,

так как

z==

=(+1)...( +k-1)

=(+1)...( +k-1)( +k)

=(-1) (+1)...( +k-2)

=(+1)…( +k-2)

= (+1)…( +k-2) ( +k-1)

=(-1) (+1)...( +k-3)

 

Формулы (2.5) и (2.6) доказываются аналогичным способом:

 

(--)F+ F (+1)-(- 1)F(-1)=

={ (--1) + -(- 1) =

={--1 ++ k-(+k-1)}zk=0,

(1-z)F-F (-1)+(- )zF(+1)=

={ -- +(- )}zk

={(+ k -1)(+ k-1)- (+ k -1)k-(-1)(+ k-1)

+(-)k}zk=0,

 

Из (2.4)-(2.6) и свойства симметрии (2.1) следует три других равенства:

 

(--)F+ (1-z)F(+1)-(- )F(-1)=0, (2.7)

(--1)F+ F (-1)-(- 1)F(-1)=0, (2.8)

(1-z)F-F (-1)+(- )zF(+1)=0. (2.9)

(--)F+ (1-z)F(+1)-(- )F(-1)=

={(--)+--(-

)} zk =

={(--)(+k-1)+(+ k -1)(+k)-(+k-1)k -(-)(-

1)}zk=0,

(--1)F+ F (-1)-(- 1)F(-1)=

={(--1) + -(- 1) } zk =

={--1+( + k )- (+k-1)}zk=0,

(1-z)F-F (-1)+(- )zF(+1)=

={- - +(- )} zk

={(+k-1)( +k-1)-k(+k-1)- (+k-1)(-1)+k

(-)}zk=0.

 

Остальные рекуррентные соотношения получаются из (2.4) (2.9) путем исключения из соответствующей пары формул общей смежной функции. Например, комбинируя (2.5) и (2.8) или (2.6) и (2.9) получаем

 

(-)F-F (+1)+F(+1)=0 (2.10)

(-)(1-z)F+(-)F (-1)-( -)F(-1)=0 (2.11)

 

и так далее

 

(-)F-F (+1)+F(+1)=

={(-)++} zk=

={-- (+k)+ ( +k)} zk =0.

(-)(1-z)F+(-)F (-1)-(-)F(-1)=

={(-)-(-)+(-)-(-

)} zk=

={(-)(+k-1)(+k-1)-(-)(+k-1)k+(-)(-1)(+k-1)-

(-)(+k-1)(-1)}zk=0.

 

Кроме распространенных рекуррентных соотношений существуют аналогичные соотношения, связывающие гипергеометрическую функцию вида F(, , ,z) с какой либо парой родственных функций вида F(+1, +m, +n,z), где l,m,n произвольные целые числа.

Простейшими рекуррентными соотношениями этого типа являются

 

F(, , ,z)-F(, , -1,z)= F(+1, +1, +1,z) (2.12)

F(, +1, ,z)- F(, , ,z)= F(+1, +1, +1,z) (2.13)

F(, +1, +1,z)- F(, , ,z)= F(+1, +1, +2,z) (2.14)

F(-1, +1, ,z)- F(, , ,z)= F(, +1, +1,z) (2.15)

 

К данному классу относятся также равенство (1.6)

Формулы (2.12) и (2.15) доказываются подстановкой в них ряда (1.1) или выводятся на основе уже известных рекуррентных соотношений для смежных функций.

 

1.3 Гипергеометрическое уравнение

 

Заметим, что гипергеометрическая функция u= F(, , ,z) является интегралом линейного дифференциального уравнения

 

z(1-z) +[ -(++1)] -u=0 (2.16)

 

регулярным в окрестности точки z=0.

Уравнение (2.16) называется гипергеометрическим и включает, как частные случаи, многие дифференциальные уравнения, встречающихся в приложениях.

Если привести это уравнение к стандартной форме, разделив его на коэффициент при второй производной, то коэффициенты полученного уравнения будут регулярными функциями переменного z в области 0<<1 <1, имеющимися при z=0 полюс первого порядка или обыкновенную точку, в зависимости от значений параметров , , .

Из общей теории линейных дифференциальных уравнений следует, что в таком случае рассматриваемое уравнение должно иметь частное решение вида

 

u=zs zk (2.17)

 

где s надлежащее выбранное число, 0, степенной ряд сходится при <1

 

u= zk+s

= (k+s)zk+s-1

=(k+s)(k+s-1)zk+s-2

 

Подставляя (2.17) в уравнение (2.16) находим

 

z(1-z) ( zk+s+[ -(++1)z] ( zk+s- zk+s=0,

z(1-z)(zk+s-1(k+s)(k+s-1))+[-(++1)z](zk+s-1(k+s))-

zk+s=

=(zk+s-1(k+s)(k+s-1))-(zk+s(k+s)(k+s-1))+(zk+s-1(k+s))-

- zk+s(++1)(k+s))- zk+s=

= zk+s-1(k+s)(k+s-1+)- zk+s(s+k+)(s+k+)=0,

 

откуда для определения показателя s и получается система уравнений

 

 

s(s-1-)=0,

(s+k)(s+k-1+) - (s+k-1+)(s+k-1+)=0,

k=1,2,…,

 

первое из которых дает s=0 или s=1-

  1. Предположим, что

    0,-1,-2,… и выберем s=0

  2. Тогда для вычисления коэффициентов получим реккурентное соотношение

 

= k=1,2,…,

 

откуда, если принять =1, следует

 

= k=0,1,2,…,

 

где для сокращения записи введено обозначение

 

=(+1)…( +k-1),

=1, k=1,2,…,

 

Таким образом первое частное решение уравнения (2.16) при 0,-1,-2,… будет

 

u== F(, , ,z)= zk, <1 (2.18)

 

  1. Аналогично, выбирая s=1-

    получаем в предположении, что 2,3,4,…

  2.  

= k=1,2,…,

 

откуда, если взять =1 находим

 

=

k=0,1,2,…,

Таким образом, при 2,3,4,… уравнение (2.16) имеет второе частное решение

 

u== =F(1-+,1-+,2-,z), (2.19)

<1,

 

  1. Если

    не является целым числом (0,1, 2,…), то оба решения (2.18-2.19) существуют одновременно и линейно независимы между собой, так, что общее решение уравнения (2.17) может быть представлено в форме

  2.  

u=A F(, , ,z)+B F(1-+,1-+ ,2- ,z), (2.20)

 

где А и В произвольные постоянные <1,

 

2. Представление различных функций через гипергеометрическую

 

Гипергеометрическая функция F(, , ,z) приводится к полиному, когда =0,-1,-2,… или =0,-1,-2. Например,

 

F(, 0, ,z)= zk==1,

 

так как

 

=0(0+1)(0+2)…..(0+k-1)=0.

F(, -2, ,z)= zk= z0+z+ z2 =

=1-2z+z2,

 

так как

 

=1, =-2,

=(-2)(-1)=2, =(-2)(-1)0=0, =(-2)(-1)01=0

 

и так далее.

Преобразование

 

F(, , ,z)=(1-z F(-,-, ,z)

-=0=

 

показывает, что гипергеометрическая функция при -=0,-1,-2,… или -=0,-1,-2,… выражается через алгебраические функции. В частности,

F(, , ,z)= (1-z, (3.1)

 

Придавая параметрам , специальные значения, находим

 

(1-z)v= F(-v, 1, 1,z)

(1-z= F(, 1, 1,z) (3.2)

(1-z)n= F(-n, , ,z)

n=0,1,2,…

 

Чтобы получить представление логарифмической функции, воспользуемся разложением

 

ln(1-z)= - =-z <1

 

откуда следует

 

ln(1-z)=-zF(1,1,2,z) . (3.3)

 

Аналогичным образом выводятся формулы для обратных круговых функций:

 

arctg z=zF(,1, ,-z2) (3.4)

arcsin z=zF(,, ,z2)

arctg z=(-1)k=z=z=

=z=z =z=zF(,1, ,-

z2),

 

так как =1*2*…*k=k!

 

arcsin z=z+=z[1+]=

=z[1+]=z[1+]=z[1+] =

=z[1+]=z[1+= zF(,, ,z2).

 

3. Вырожденная гипергеометрическая функция

 

Наряду с гипергеометрической функцией F(,,,z), важную роль в теории специальных функций играет так называемая вырожденная гипергеометрическая функция F(, ,z).

Чтобы определить эту функцию, заметим, что степенной ряд

 

,

 

где z комплексное переменное, и - параметры, которые могут принимать любые вещественные или комплексные значения, исключая =0,-1,-2,… и символ обозначает величину

 

= =1

 

сходится при любых конечных z.

Так как, если обозначить через общий член ряда, то

 

=0, когда k.

 

Вырожденная гипергеометрическая функция F(, ,z) определяется как сумма рассматриваемого ряда

 

F(, ,z)= , 0,-1,-2,…, < (4.1)

Из данного определения вытекает, что F(, ,z) функция комплексного переменного z.

Если положить

 

f(, ,z)= F(, ,z)= , (4.2)

 

то f(, ,z) при фиксированном z будет целой функцией от и . Действительно, члены ряда (6.2) являются целыми функциями этих переменных, и ряд сходится равномерно в области <A, <C.

Полагая , имеем для достаточно больших k

 

=

 

Отсюда следует, что при заданном z функция F(, ,z)

представляет целую функцию и мероморфную функцию с простыми полюсами в точках =0,-1,-2,…

Функция F(,,z) весьма часто встречается в анализе, причем главное ее значение состоит в том, что многие специальные функции могут рассматриваться как ее частные случаи, что в значительной мере облегчает построение теории этих функций и придает ей общий и компактный характер.

Связь функции F(,,z) с гипергеометрической функцией дается соотношением

 

 

F(,,z)=lim F(,,,). (4.3)

Из определения вырожденной гипергеометрической функции непосредственно вытекают равенства

 

F(,,z)= F(+1,+1,z) (4.4)

F(,,z)= F(+m,+m,z) m=1,2,... (4.5)

 

и рекуррентные соотношения

 

(--1)F+F (+1)-(-1)F(-1)=0 (4.6)

F-F( -1)-zF(+1)=0 (4.7)

(-1+z)F+(-)F(-1)-( -1)F(-1)=0 (4.8)

(+z)F-F(+1)-( - )zF(+1)=0 (4.9)

(-)F(-1)+(2-+z)F-F(+1)=0 (4.10)

(-1)F(-1)- (-1+z)F+(-)zF(+1)=0 (4.11)

 

связывающие функцию F F(,,z) с двумя любыми смежными функциями

 

F(1) F(1,,z) и F( 1)

Похожие работы

< 1 2 3 >