Геофизический “диалект” языка математики

А. Используются исключительно теории континуальных физических полей, описываемые дифференциальными уравнениями или системами подобных уравнений, в частных производных (в основном

Геофизический “диалект” языка математики

Информация

Математика и статистика

Другие материалы по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией

Геофизический “диалект” языка математики

В.Н. Страхов

Объединенный институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН, г. Москва

1. В 1995 г. в статье “ Геофизика и математика” , см. [1], автор впервые сформулировал следующее утверждение: математика является языком науки в целом, но каждая конкретная наука должна “ разговаривать” на собственном (специфическом) диалекте этого языка.

2. В XX веке внедрение математических методов в геофизику (“ освоение языка математики” ) шло в основном путем заимствования готовых результатов и методов, прежде всего из математической физики и теории некорректно поставленных задач, но также из теории вероятностей и математической статистики, вычислительной математики, теории дифференциальных и интегральных уравнений.

Однако, по мнению автора, эпоха разработки методов постановки и решения задач, возникающих к геофизике на этапе интерпретации данных наблюдений различных элементов физических полей, на основе заимствования результатов и методов, разработанных в различных разделах математики, закончилась. Необходимо осознать подлинную суть “ геофизического диалекта” языка математики и начать формирование принципиально новой математической геофизики.

3. Над указанными общими соображениями автор размышлял последние 5 лет; важный этап в формировании его понимания сути “ геофизического диалекта” языка математики состоял в осознании недостатков (по его терминологии “ дефектности” ) классических конструкций аддитивной параметровой регуляризации конечномерных линейных некорректных задач (статья “ Критический анализ классической теории линейных некорректных задач” , см. [2]).

4. Чтобы лучше (точнее и глубже) понять сущность “ геофизического диалекта” языка математики, целесообразно за основу взять основополагающие установки, с одной стороны математической физики и классической теории некорректно поставленных задач (отождествляя эти установки с установками математики в целом), а с другой стороны новой математической геофизики (находящейся, по мнению автора, еще в процессе становления).

При этом целесообразным представляется выделение следующих трех типов установок:

I) относящихся к выбору базовых математических теорий при изучении физических полей, к идейным постановкам задач и способам их исследования;

II) относящихся к учету априорной информации о свойствах искомого решения и помех во входных данных в случае некорректно поставленных задач (и прежде всего в случае конечномерных линейных некорректных задач);

III) относящихся к разработке численных алгоритмов и тех конкретных компьютерных технологий решения задач, которые являются основным рабочим инструментом и которые предоставляются в распоряжение исследователей.

Ниже дается более подробная характеристика указанных трех типов установок (в математической физике и классической теории некорректных задач с одной стороны, и в математической геофизике с другой).

5. Начнем с характеристики установок первого типа. Установки математической физики и теории некорректных задач перечисляются (здесь и всюду ниже) под буквой А, установки же математической геофизики под буквой Б.

А. Используются исключительно теории континуальных физических полей, описываемые дифференциальными уравнениями или системами подобных уравнений, в частных производных (в основном линейными) для основных элементов полей (скалярных или векторных потенциалов). Основные задачи, изучаемые в рамках континуальных теорий прямые и обратные, а также краевые (если поля зависят от времени). Основные аналитические объекты, рассматриваемые в рамках континуальных теорий физических полей бесконечномерные (функции, являющиеся элементами банаховых пространств; операторы, действующие из одних функциональных пространств в другие; бесконечномерные функционалы, определенные на элементах банаховых пространств, и т.д.). Основные решаемые задачи типа операторных уравнений в банаховых ( или более узко гильбертовых) пространствах, задачи нахождения значений операторов (чаще всего линейных, но неограниченных) на элементах функциональных (банаховых, гильбертовых) пространств, задачи минимизации (условные и безусловные) бесконечномерных функционалов. Используется классификация решаемых (бесконечномерных) задач на корректно и некорректно поставленные. Основные позиции, используемые при анализе задач: 1) проблема существования решений задач при определенных (бесконечномерных) данных; 2) проблема единственности решений задач; 3) проблема устойчивости решений задач. Основные результаты исследований задач: а) теоремы существования, единственности и устойчивости для корректно поставленных задач; б) теоремы условного существования, условной единственности и условной устойчивости для некорректно поставленных задач; в) теоремы регуляризации (сходимости) для методов решения некорректных задач.

Процедуры дискретизации пространственных переменных, соответственно дискретизации дифференциальных уравнений используются только в локальном варианте при разработке численных методов решения краевых (начально-краевых) задач. Общая методология аппроксимационного подхода при решении основных (бесконечномерных) задач не формулируется. Создание компьютерных технологий решения задач не считается главным.

Б. Наряду с теориями континуальных физических полей используются также теории дискретных физических полей (которые возникают при дискретизации всего трехмерного евклидова пространства, а также при конечномерной аппроксимации дифференциальных уравнений); при этом вместо краевых условий используются конструкции регуляризации. Результаты, полученные в рамках математической физики для конечномерных аналитических объектов и задач (теоремы единственности, теоремы сходимости и т.д.) используются в ограниченном объеме. Основное значение придается разработке единого аппроксимационного подхода к построению решений бесконечномерных задач, т.е. переходу от бесконечномерных объектов и задач к конечномерным, которым придается определяющее значение. Решаемые конечномерные задачи также подразделяются на корректно и некорректно поставленные, основное значение придается проблеме нахождения приближенных решений линейных некорректно поставленных задач, т.е. нахождения приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенными данными. При этом главной целью всех теоретических построений является создание эффективных компьютерных технологий.

6. Переходим к характеристике установок второго типа.

А. В математической физике и классической теории некорректных задач, хотя и принимается, что решения некорректных задач могут быть получены лишь при использовании так называемой априорной (дополнительной) информации о свойствах искомого решения и помех во входных данных, однако фактически принимается стратегия использования минимальных объемов априорной информации. Именно, используется только та априорная информация, которая обеспечивает факт регулярности предлагаемых (разрабатываемых) методов, т.е. сходимости решений к точным при снижении интенсивности помех (в принятых метриках) до нуля. При этом основные разрабатываемые методы относятся к бесконечномерным задачам, на конечномерные они распространяются без всяких изменений.

Проблема повышения точности и надежности получаемых решений за счет использования максимально возможных объемов априорной информации по существу не рассматривается.

Б. В математической геофизике основное значение придается проблеме получения максимально надежных и точных решений конечномерных задач, и прежде всего задач нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенными данными. В связи с этим в рассмотрение вводится множество различных (по типам помех во входных данных, по имеющимся объемам априорной информации о помехах) постановок некорректных задач. В качестве самостоятельной (имеющей принципиальное значение) рассматривается задача нахождения различных характеристик помех непосредственно по тем заданным (из наблюдений) величинам, по которым ищутся решения задач.

7. Далее переходим к характеристикам установок третьего типа.

А. В рамках математической физики и классической теории некорректных задач проблема создания численных алгоритмов и эффективных компьютерных технологий не рассматривается как имеющая принципиальное значение. Это, так сказать, чисто техническая проблема, которая в каждом конкретном случае должна решаться по-своему. Никакая общая методология, на основе которой должна разрабатываться проблема создания численных алгоритмов и эффективных компьютерных технологий, не создается.

Б. В рамках же математической геофизики рассматриваемой проблеме придается первостепенное значение. Утверждается, что в разрабатываемых численных алгоритмах и компьютерных технологиях прежде всего должны реализовываться установки общей методологии интерпретации геофизических данных, и прежде всего концепция методообразующих идей [3]. Последние имеют иерархическое строение, на верхнем уровне фундаментальных идей последних всего пять:

1) идея использования аналитических аппроксимаций (изучаемых функций, уравнений и задач);

2) идея критериальности (использования специальных критериев, которым должны удовлетворять искомые решения);

3) идея алгебраизации (желательно решения задач искать как решение одной, либо некоторой совокупности, систем линейных алгебраических уравнений);

4) идея согласования множества допустимых решений (в силу наличия неопределенности в используемой априорной информации число допустимых не противоречащих априорной информации решений может быть целое множество; но пользователю желательно иметь в конечном итоге всего одно решение, отсюда необходимость в конструировании окончательного решения по множеству допустимых);

5) идея использования методов распознавания образов в рамках как разрабатываемых численн

Похожие работы

1 2 3 > >>