Геометрические свойства кривых второго порядка

Мы установили, что данная кривая центральная, поэтому используем методику приведения к каноническому виду для уравнения центральной кривой. Совершим параллельный

Геометрические свойства кривых второго порядка

Контрольная работа

Математика и статистика

Другие контрольные работы по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией

Цель курсовой работы

 

Исследовать и изучить геометрические свойства кривых второго порядки (эллипса, гиперболы и параболы), представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершины, а также научиться строить графики данных кривых в канонической и прямоугольной декартовой системах координат.

Постановка задачи

 

Дано уравнение кривой второго порядка:

 

.(1)

 

Задание. Для данного уравнения кривой второго порядка с параметром :

I. Определить зависимость типа кривой от параметра с помощью инвариантов.

II. Привести уравнение кривой при к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

III. Найти фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка.

IV. Получить уравнения канонических осей в общей системе координат.

V. Построить график кривой в канонической и общей системах координат.

Получение канонической системы координат. Построение графиков

 

I. Тип кривой второго порядка в зависимости от параметра

 

В прямоугольной декартовой системе координат кривая второго порядка задается в общем виде уравнением:

 

,

 

если хотя бы один из коэффициентов , , отличен от нуля.

Для уравнения кривой второго порядка (1) имеем:

 

 

Теперь определим тип данной нам кривой (1) с помощью инвариантов. Инварианты кривой второго порядка вычисляются по формулам:

 

;

;

.

 

Для данной кривой они равны:

1). Если , то уравнение кривой (1) определяет кривую параболического типа, но . Таким образом, если , то уравнение (1) определяет кривую параболического типа. При этом , то есть: если , то уравнение (1) определяет параболу.

2). Если, то данная кривая центральная. Следовательно, при данная кривая центральная.

  • Если

    , то уравнение (1) определяет кривую эллиптического типа. Следовательно, если , то данная кривая есть кривая эллиптического типа. Но при этом . В соответствии с признаками кривых второго порядка получим: если, то уравнение (1) определяет эллипс.

  • Если

    , то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа. Следовательно, если , то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа.

  • а) Если

    и , то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые. Получим:

     

 

Следовательно, если , то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые.

б) Если и , то данная кривая гипербола. Но при всех за исключением точки . Следовательно, если , то уравнение (1) определяет гиперболу.

Используя полученные результаты, построим таблицу:

 

Значение параметра βТип кривойЭллипсПараболаГиперболаДве пересекающиеся прямыеГипербола

II. Переход от общего уравнения кривой к каноническому

 

Рассмотрим теперь случай, когда, и исследуем данное уравнение кривой второго порядка с помощью инвариантов. Из вышеприведенной таблицы видим, что при уравнение (1) определяет гиперболу и принимает вид:

 

(2.1)

 

Приведем уравнение кривой (2.1) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.

Мы установили, что данная кривая центральная, поэтому используем методику приведения к каноническому виду для уравнения центральной кривой. Совершим параллельный перенос начала координат в точку . При этом координаты произвольной точки плоскости в системе координат и координаты в новой системе координат связаны соотношениями

 

Подставляя эти выражения в уравнение (2.1), получим:

 

(2.2)

 

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим:

 

(2.3)

 

В уравнении (2.3) коэффициенты при приравняем к нулю. Получим систему уравнений относительно

 

(2.4)

 

Решив систему (2.4), получим:

 

Центр кривой имеет координаты , . Поставим найденные значения в уравнение (2.3). В новой системе координат в уравнении (2.3) коэффициенты при равны нулю и уравнение примет вид

 

,

.(2.5)

 

Так как , то дальнейшее упрощение уравнения (2.5) мы достигаем при помощи поворота осей координат на угол . При повороте осей координат на угол координаты произвольной точки плоскости в системе координат и координаты в новой системе координат связаны соотношениями

 

(2.6)

 

Подставляя (2.6) в уравнение (2.5), получим

 

 

Раскроем скобки и приведем подобные члены

 

Приводя подобные члены, получим уравнение

 

(2.7)

 

Теперь выберем такой угол , что в уравнении (2.7) коэффициент при произведении равен нулю. Получим уравнение относительно синуса и косинуса угла :

 

.(2.8)

 

Разделим правую и левую части данного уравнения почленно на . Мы можем это сделать, так как , потому что если (то есть ), то при подстановке в уравнение (2.8) получим, что и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству . Получим уравнение

 

.(2.9)

 

Решая уравнение (2.9), получим

 

, .

 

Зная значение тангенса, можно вычислить значения синуса и косинуса по следующим формулам: , . Подставляя соответствующие значения тангенса, получаем:

 

Возьмем для определенности . Тогда соответствующие значения синуса и косинуса есть

 

,(2.10)

 

Подставляя (2.10) в уравнение (2.7), получаем:

 

 

и преобразовав данное уравнение, получим уравнение вида:

 

 

И, соответственно, уравнение

 

(2.11)

 

это каноническое уравнение исходной гиперболы.

III. Фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты кривой

 

Пусть и фокусы, эксцентриситет, центр, а директрисы данной гиперболы. Известно, что фокусы имеют координаты: , , где и . Для данного уравнения гиперболы (2.11) получаем, что , , и значит . Отсюда получаем , .

Эксцентриситет гиперболы (2.11)

 

.

 

Директрисы гиперболы задаются уравнениями: и . Подставляя найденные значения и , получаем:

 

 

Прямые и в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы. Для данной гиперболы (2.11) асимптоты имеют вид:

 

IV. Уравнения осей гиперболы в общей системе координат

 

Теперь напишем уравнения осей новой системы в исходной системе координат .

Так как система каноническая для данной гиперболы, то ее центр находится в центре кривой , то есть оси и проходят через точку .

В пункте II было установлено, что угловой коэффициент оси .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом , имеет вид . Следовательно, ось в системе координат задана уравнением , или , где в роли точки выступает центр гиперболы точка .

Так как ось перпендикулярна оси , то ее угловой коэффициент . Следовательно, ось в системе координат задана уравнением , или .

 

V. Построение графиков гиперболы

 

Используя полученные в ходе выполнения задания данные, построим гиперболу (2.1) в исходной системе координат (см. рис. 1) и гиперболу (2.11) в канонической системе координат (см. рис. 2).

Рисунок 1.

 

Рисунок 2.

Вывод

 

Таким образом, из вышеприведенного решения видим, что с помощью инвариантов можно отследить тип кривой второго порядка с параметром , а используя параллельный перенос и поворот осей координат, можно привести кривую второго порядка от общего вида к каноническому.

 

Список используемой литературы

 

1. Л.В. Бобылева, Л.С. Брюхина. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Исследование кривых второго порядка. Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 2003.

2. Ильин В. А., Позняк Г. Д. Аналитическая геометрия. М.: Физматлит , 2002.

3. М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике. М: Наука, 1966.

4. А.В. Ефремов, Б.П. Демидович. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа (Ч. 1). М.: Наука, 1993.

Похожие работы