Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора

Покажемо тепер, що підпростір є ядром оператора . Нехай який-небудь вектор підпростору . Так як , то це

Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора

Курсовой проект

Математика и статистика

Другие курсовые по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВА РОБОТА

 

 

"Властивості лінійних операторів та їх застосування при розвязанні задач. Матриця лінійного оператора"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Запоріжжя 2010

  1. Поняття лінійного оператора. Алгебраїчні операції над операторами

 

Нехай і два різних лінійних простору над полем комплексних чисел. Відображення , яке ставляє у відповідність кожному вектору простору деякий вектор простору , будемо називати оператором , діючий із в . Якщо є образом вектора , то пишуть .

Оператор називається лінійним, якщо виконуються дві умови:

1. (властивість адитивності);

2. (властивість однорідності);

Тут довільно взяті вектори простору , довільно комплексне число.

Позначимо через множина всіх лінійних операторів, діючих із в . Два лінійних оператора і будемо вважати рівними, якщо для будь якого вектору простору . Визначимо тепер операцію додавання із множини і операцію множення оператора на число. Під сумою двох лінійних операторів і розуміють оператор такий, що для будь якого вектора простору

 

.

 

Під добутком лінійного оператора на комплексне число розуміють оператор такий, що для любого вектора простору

 

 

Неважко переконатися в тому, що оператори і лінійні.

Оператор називається нульовим, якщо для будь якого вектору простору .

Щоб переконатися, що оператор лінійний і, як наслідок, належності множині , потрібно показати, що для довільно взятих векторів простору мають місце рівності і . Так як будь якому вектору простору оператор ставить у відповідність вектор , то . Як наслідок, - лінійний оператор.

Введемо поняття оператора, протилежному лінійному оператору . Оператор називається протилежним оператором , якщо . Неважко перевірити, що для довільно взятого оператору із і що лінійний оператор.

Введені на множині лінійні операції над її елементами (операторами) мають такі властивості:

 

1.,

2. ,

 

3. існує один лінійний оператор такий, що для будь якого лінійного оператора із

4. для кожного оператора існує єдиний оператор такий, що .

Із перелічених властивостей лінійних операцій над елементами множини випливає, що множина по відношенню до операції суми операторів є адитивною абелевою групою. Операція множення на число має такі властивості .

Всі перелічені властивості лінійних операцій над елементами множини дозволяє стверджувати, що множина є лінійним простором над полем комплексних чисел. Звідси випливає, що можна ставити питання про розмірність цього простору, про його базиси, підпросторів.

 

  1. Лінійні перетворення (оператори) із простору V в V

 

В подальшому будемо розглядати лінійні оператори, діючі із лінійного простору в той самий простір. Ці оператори називають також перетвореннями із в .

Назвемо тотожнім (одиничним) оператор такий, що для любого вектора простору . Очевидно, , , для любих . З цього випливає, оператор лінійний і, тому, . Неважко упевнитися в тому, що оператор єдиний. Дійсно, якщо припустити що, крім тотожного оператора з , існує ще один тотожний оператор , тоді для будь-якого будемо мати , , очевидно, , тобто .

Введемо операцію множення операторів. Нехай та два будь-яких лінійних оператора з , а довільний вектор простору . Очевидно вектор , тому цей вектор можна привести за допомогою оператора . В результаті вектор буде перетворений до вектору . Оператор, який приводить довільний вектор простору у вектор , називається добутком операторів та і позначається так: . За означенням добутку операторів і для будь-якого вектору . Легко перевірити, що , , де довільно вибране комплексне число. З цього слідує, що добуток лінійних операторів є лінійним оператором, тобто . Зауважимо, що .

Операції додавання та множення лінійних операторів мають наступні властивості

 

1) , 3) ,

2) , 4) .

 

Для ілюстрації способу доведення цих властивостей доведемо властивість . Нехай довільний вектор простору . Для довільного вектору простору за означенням добутку і суми операторів має

 

 

Таким чином, , тобто .

Якщо для оператору можна вказати такий лінійний оператор , що , то оператор називають оберненим для оператору . Можна показати, що оператор єдиний.

Покажемо, що оператор , що має обернений, перетворює ненульовий вектор в ненульовий, тобто якщо , то й . Спочатку доведемо, що . Дійсно, так як лінійний оператор, то для будь-якого . Доведене твердження справедливе для будь-якого лінійного оператора, в тому числі і для оператора, що має обернений, і для оператора . Нехай і . Так як оператор має обернений, то , тобто . Якщо припустити, що деякому відповідає вектор , тоді на основі установлених рівностей і виходило б, що . А це заперечує початковому фактові, що . З цього випливає, що припущення про те, що для деякого , невірно, тому для будь якого .

Доведемо ще одну властивість оператора , що має обернений. Такий оператор два різних вектора та перетворює у два різні вектори і . Дійсно, якщо припустити противне, що існують такі нерівні один одному і , для яких , тоді для таких і або, що те саме . За умовою оператор має обернений. За доведеною вище властивістю такого оператора із рівності випливає, що , тобто . Ми прийшли до протиріччя з тим фактом, що за умовою . З цього випливає, що будь яким двом різним векторам і відповідають різні образи і .

Оператор називають взаємно однозначним, якщо два будь які різні вектори і він перетворює у різні вектори і . Із наведеного вище випливає, що оператор , що має обернений, є взаємно однозначним. Для взаємно однозначного оператора неважко довести таку властивість: якщо , то і . Покажемо, що взаємно однозначний оператор лінійно незалежні вектори , , …, перетворює в лінійно незалежні вектори , , …, . Для доведення цього твердження скористаємося методом «від противного». Припустимо противне, що вектори , …, лінійно незалежні. Тоді можна знайти такі не рівню нулю числа, що . Так як оператор лінійний, то .

Звідси за властивістю взаємно-однозначного оператора , тобто вектори , , …, виявляються лінійно залежними. Протиріччя з умовою ствердження означає, що вектори , , …, лінійно незалежні.

Із доведеного випливає, що будь-який вектор простору має єдиний прообраз такий, що . Доведемо тільки єдність прообразу вектора . Дійсно, якщо припустити, що вектор має декілька різноманітних прообразів, наприклад, і , то виявиться, що . Звідси , маємо , так як оператор взаємно-однозначний. Отже, якщо оператор взаємно-однозначний, то кожному вектору простору він ставить у відповідність один і тільки один вектор . Звідси випливає, що взаємно-однозначний оператор має обернений.

Підводячи підсумок сказаному вище про властивості оберненого і взаємно-однозначного операторів, сформулюємо наступне твердження.

Теорема 2.1. Для того, щоб лінійний оператор мав обернений необхідно і достатньо, щоб він був взаємно-однозначним.

Введемо поняття ядра й образу оператора. Ядром лінійного оператора називають таку множину векторів простору , що для любого . Відомо, що будь-який лінійний оператор приводить вектор в , тобто , тому ядро довільного лінійного оператора не є пустою множиною, так як воно завжди містить оператор .

Теорема 2.2. Якщо містить єдиний вектор , то оператор є взаємно-однозначним.

Доведення. Нехай - два довільно взятих вектора лінійного простору. Якщо показати, що , то це буде означати, що оператор є взаємно-однозначним. Припустимо противне, що знайдуться два вектора і , такі, що , а . Тоді для цих векторів . За умовою теореми складається із єдиного вектора , тобто для вектора і тільки для нього . В силу цього чи . Ми прийшли до протиріччя з припущенням про те, що . Тому для будь-яких не рівних один одному векторів і простору . Отже, твердження теореми вірне.

Теорема 2.3. Для того, щоб оператор мав обернений, необхідно і достатньо, щоб .

Доведення цієї теореми основується на теоремах 2.1 і 2.2 про обернений оператор і ядро взаємно-однозначного оператора.

Образом оператора називається множина всіх векторів простору , кожний з яких має прообраз, тобто якщо , то існує такий вектор , що . Легко побачити, що якщо містить тільки нульовий вектор, то є весь лінійний простір : . Дійсно, якщо , то оператор є взаємно-однозначним. За доведеною вище властивістю взаємно-однозначного оператора кожний вектор простору має єдиний прообраз : , так що .

Покажемо тепер, що множина для довільного лінійного простору є підпростором лінійного простору . Нехай і два довільно взятих вектори множини . Так як , то . Нехай довільне число. Так як , то . Таким чином, лінійні операції над будь-якими векторами множини дають вектори тієї ж множини, тобто підпростір простору .

Аналогічним способом доводиться, що множина також є підпростором простору .

Розмірність підпростору називається дефектом оператора. Розмірність підпростору називається рангом оператора . Для рангу оператора використовується одне з позначень або , для позначення дефекту оператора використовується символ .

Теорема 2.4. Для будь-якого лінійного оператора із сума розмінностей його ядра і образу дорівнює розмірно

Похожие работы

1 2 3 4 > >>