Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этой переменного количества и чисел или постоянных количеств.
Подчёркивая, что «основное различие функций лежит в способе составления их из переменного и постоянных», Эйлер перечисляет действия, «посредством которых количества могут друг с другом сочетаться и перемешиваться; действиями этими являются: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корней; сюда же следует отнести также решение алгебраических уравнений. Кроме этих действий, называемых алгебраическими, существует много других, трансцендентных, как-то: показательные, логарифмические и бесчисленные другие, доставляемые интегральным исчислением». Такая трактовка позволяла без труда обращаться с многозначными функциями и не требовала пояснения, над каким полем рассматривается функция: выражение для счёта определено для комплексных значений переменных даже тогда, когда для рассматриваемой задачи это не нужно.
Операции в выражении допускались лишь в конечном числе, а трансцендентное проникало при помощи бесконечно большого числа . В выражениях это число используется наряду с натуральными числами. Напр., считается допустимым такое выражение для экспоненты
,
в котором лишь поздние авторы видели предельный переход. С аналитическими выражениями производились разнообразные преобразования, позволившие Эйлеру найти представления для элементарных функций в виде рядов, бесконечных произведений и т. д. Эйлер преобразует выражения для счёта так, как это делают в алгебре, не обращая внимания на возможность вычислить значение функции в точке по каждой из написанных формул.
В отличие от Лопиталя Эйлер подробно рассматривает трансцендентные функции и в особенности два наиболее изученные их классы - показательные и тригонометрические. Он обнаруживает, что все элементарные функции могут быть выражены при помощи арифметических действий и двух операций - взятия логарифма и экспоненты.
Сам ход доказательства прекрасно демонстрирует технику использования бесконечно большого. Определив синус и косинус при помощи тригонометрического круга, Эйлер выводит из формул сложения следующее:
а отсюда
Полагая и z = nx, он получает
,
отбрасывая бесконечно малые величины большего порядка. Используя это и аналогичное выражение, Эйлер получает и свою знаменитую формулу
.
Указав различные выражения для функций, которые теперь называют элементарными, Эйлер переходит к рассмотрению кривых на плоскости, начертанным свободным движением руки. По его мнению, не для всякой такой кривой можно отыскать единое аналитическое выражение. В XIX веке с подачи Казорати это утверждение считалось ошибочным: по теореме Вейерштрасса всякая непрерывная в современном смысле кривая может быть приближенно описана полиномами. На самом деле Эйлера это едва ли убедило, ведь нужно ещё переписать предельный переход при помощи символа .
%20-%20%d1%84%d0%be%d1%80%d0%bc%d1%83%d0%bb%d0%b0%20%d0%a2%d0%b5%d0%b9%d0%bb%d0%be%d1%80%d0%b0%20<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%A2%D0%B5%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B0>.%20%d0%ad%d1%82%d0%be%d1%82%20%d0%bc%d0%b5%d1%82%d0%be%d0%b4%20%d0%b2%20%d1%81%d1%83%d1%89%d0%b5%d1%81%d1%82%d0%b2%d0%b5%d0%bd%d0%bd%d0%be%d0%bc%20%d0%b2%d0%be%d1%81%d1%85%d0%be%d0%b4%d0%b8%d1%82%20%d0%ba%20%d1%80%d0%b0%d0%b1%d0%be%d1%82%d0%b0%d0%bc%20%d0%a2%d0%b5%d0%b9%d0%bb%d0%be%d1%80%d0%b0%20(1715%20%d0%b3.).%20%d0%9f%d1%80%d0%b8%20%d1%8d%d1%82%d0%be%d0%bc%20%d1%83%20%d0%ad%d0%b9%d0%bb%d0%b5%d1%80%d0%b0%20%d0%bf%d0%be%d1%8f%d0%b2%d0%bb%d1%8f%d0%b5%d1%82%d1%81%d1%8f%20%d1%83%d1%81%d1%82%d0%be%d0%b9%d1%87%d0%b8%d0%b2%d0%be%d0%b5%20%d0%be%d1%82%d0%bd%d0%be%d1%88%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b5%20">Изложение дифференциального исчисления Эйлер начинает с теории конечных разностей, за ним в третьей главе следует философское разъяснение о том, что «бесконечно малое количество есть точно нуль», более всего не устроившее современников Эйлера. Затем из конечных разностей при бесконечно малом приращении образуются дифференциалы, а из интерполяционной формулу Ньютона <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0> - формула Тейлора <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%A2%D0%B5%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B0>. Этот метод в существенном восходит к работам Тейлора (1715 г.). При этом у Эйлера появляется устойчивое отношение , которое, однако, рассматривается как отношение двух бесконечно малых. Последние главы посвящены приближенному вычислению при помощи рядов.
В трёхтомном интегральном исчислении Эйлер трактует понятие интеграла так:
«Та функция, дифференциал которой = Xdx, называется его интегралом и обозначается знаком S, поставленным спереди».
В целом же эта часть трактата Эйлера посвящена более общей с современной точки зрения задаче об интегрировании дифференциальных уравнений. При этом Эйлер находит ряд интегралов и дифференциальных уравнений, которые приводят к новым функциям, напр., Γ-%20%d0%b4%d0%bb%d1%8f%20%d1%8d%d0%bb%d0%bb%d0%b8%d0%bf%d1%82%d0%b8%d1%87%d0%b5%d1%81%d0%ba%d0%b8%d1%85%20%d1%84%d1%83%d0%bd%d0%ba%d1%86%d0%b8%d0%b9%20<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8>%20%d0%b8%20%d0%9b%d0%b8%d1%83%d0%b2%d0%b8%d0%bb%d0%bb%d0%b5%d0%bc%20<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D1%83%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BB%D1%8C>.">функции, эллиптические функции и т. д. Строгое доказательство их неэлементарности было дано в 1830-х годах Якоби <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AF%D0%BA%D0%BE%D0%B1%D0%B8> для эллиптических функций <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8> и Лиувиллем <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D1%83%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BB%D1%8C>.
3 Дальнейшее развитие математического анализа
%20%d0%b8%20%d0%be%d0%b1%d1%88%d0%b8%d1%80%d0%bd%d1%8b%d0%b9%20%d0%bf%d0%b5%d1%80%d0%b5%d1%81%d0%ba%d0%b0%d0%b7%20%d1%80%d0%b0%d0%b1%d0%be%d1%82%20%d0%9b%d0%b0%d0%b3%d1%80%d0%b0%d0%bd%d0%b6%d0%b0,%20%d0%b2%d1%8b%d0%bf%d0%be%d0%bb%d0%bd%d0%b5%d0%bd%d0%bd%d1%8b%d0%b9%20%d0%9b%d0%b0%d0%ba%d1%80%d1%83%d0%b0%20<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B0,_%D0%A1%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B2%D0%B5%D1%81%D1%82%D1%80_%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%83%D0%B0>%20%d0%b2%20%d0%bd%d0%b5%d1%81%d0%ba%d0%be%d0%bb%d1%8c%d0%ba%d0%be%20%d1%8d%d0%ba%d0%bb%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%b8%d1%87%d0%b5%d1%81%d0%ba%d0%be%d0%b9%20%d0%bc%d0%b0%d0%bd%d0%b5%d1%80%d0%b5.">Следующим крупным произведением, сыгравшим значительную роль в развитии концепции анализа, явилась «Теория аналитических функций» Лагранжа <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6,_%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84_%D0%9B%D1%83%D0%B8> и обширный пересказ работ Лагранжа, выполненный Лакруа <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%BA%D1%80%D1%83%D0%B0,_%D0%A1%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B2%D0%B5%D1%81%D1%82%D1%80_%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%83%D0%B0> в несколько эклектической манере.
Желая избавиться от бесконечно малого вовсе, Лагранж обратил связь между производными и рядом Тейлора. Под аналитической функцией Лагранж понимал произвольную функцию, исследуемую методами анализа. Саму функцию он обозначил как f(x), дав графический способ записи зависимости - ранее же Эйлер обходился одними переменными. Для применения методов анализа по мнению Лагранжа необходимо, чтобы функция разлагалась в ряд
,
коэффициенты которого будут новыми функциями x. Остаётся назвать p производной (дифференциальным коэффициентом) и обозначить его как f'(x). Таким образом, понятие производной вводится на второй странице трактата и без помощи бесконечно малых. Остаётся заметить, что
,
поэтому коэффициент q является удвоенной производной производной f(x), то есть
%20">и т. д.[24] <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7>
