Випадкова величина

Зіставимо кожну елементарну подію конкретного випробування з деяким числом. Наприклад, розглянемо випробування, що полягає в підкиданні монети. Маємо простір елементарних

Випадкова величина

Информация

Математика и статистика

Другие материалы по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТЕМА

 

ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА

 

 

1 Випадкова величина. Функція розподілу випадкової величини

 

Зіставимо кожну елементарну подію конкретного випробування з деяким числом. Наприклад, розглянемо випробування, що полягає в підкиданні монети. Маємо простір елементарних подій множину з двох можливих рівно ймовірних наслідків випробування: 1 випадання "решки" та 2 випадання герба. Введемо до розгляду функцію = f(), що визначається за формулами: f(1)=0, f(2)=1. Це числова функція (випадкова величина), яка залежить від випадку. Позначимо її через :

 

 

Для значень, яких у результаті випробувань може рівно ймовірно набувати функція , застосуємо символи та . Відповідно з нашою угодою, вони дорівнюють

 

і

 

У загальному випадку задовільної випадкової величини позначатимемо її однією з грецьких літер ,,..., а значення, яких вона набуває літерами латинської абетки: х, y,..... Відповідність між цими значеннями та ймовірностями, з якими їх набуває така функція , зручно задати у вигляді табл. 1, що називається законом розподілу дискретної випадкової величини:

 

Таблиця 1

......

У випадку зазначеної конкретної випадкової величини, повязаної з випадінням сторін підкинутої монети, табл. 1 конкретизується у вигляді табл. 2:

 

Таблиця 2

011/21/2

Цю закономірність можна також наочно представити на площині xOy, розмістивши на горизонтальній осі значення і , а на вертикальній осі, що доцільно було перемістити з її традиційного положення відповідні їм ймовірності (рис. 1). При цьому графік функції складається тільки з двох точок (,) і (,). В інших точках горизонтальної осі функція взагалі принципово не визначена.

Ще більш наочно закон розподілу дискретної випадкової величини зображається специфічною функцією

 

 

що називається функцією розподілу випадкової величини .

 

Рисунок 1

 

У відповідності з її визначенням, вона дає в точці x ймовірність того, що випадкова величина розташована на осі Ox зліва від цієї точки x. Зокрема, для випадкової величини, заданої законом розподілу в табл. 2, ця функція має складний вигляд із різними представленнями на різних інтервалах

 

 

На рис. 2 наведено її графік з двома неусувними розривами 1-го роду.

 

Рисунок 2

 

Розглянемо ще один приклад введення випадкової величини. Нехай є мішень круг радіуса а, влучення до якого гарантовано. Як випадкову величину, що позначимо як , візьмемо відстань від центра мішені до точки влучення. Ймовірність того, що ця випадкова величина набуває різних значень r від нуля до а, обчислюється за формулою геометричної ймовірност:

 

 

При цьому функція розподілу

 

 

графік якої зображено на рис. 3, має вигляд

 

Рисунок 3

 

Модифікуємо попередній приклад: нехай всередині круга радіуса а, влучення до якого гарантовано, проведено два концентричні кола (рис. 4) з радіусами a/3 і 2a/ В залежності від відстані точки влучення від центра мішені стрілець одержує 10, 5 чи 1 бал, відповідно.

 

Рисунок 4

 

За випадкову величину, що позначимо як , візьмемо тепер кількість очок, набраних при пострілі по мішені. Її можливі значення: 10, 5, 1. Обчислимо ймовірності випадків прийняття цих значень величиною

 

,

,

 

При цьому закон розподілу випадкової величини має вигляд табл. 3:

 

Таблиця 3

15105/91/31/9

За цим законом розподілу випадкової величини знаходимо функцію її розподілу та будуємо її графік (рис. 5).

 

 

Рисунок 5

Властивості функції розподілу:

1. F(x) неубутна функція. Дійсно, якщо x1<x2 (рис. 6).

 

Рисунок 6

 

F(x2)=P(<x2)=P(<x1)+P(x1<<x2)>P(<x1)=F(x1); F(x1)<F(x2);

2. F(+)=1; F(-)=0; F(+)=P(<)=1;

P(-<<)=1; F(-)=0;

P(<)=P() - P()=F() - F().

 

Якщо функція розподілу в деякій точці =а має неусувний розрив 1-го роду стрибок на величину р, (рис. 7) то Р(=а)=р.

 

Рисунок 7

 

Дійсно, розглянемо [а, b), b a+0.

 

P(=а)=.

 

Найбільш важливими типами випадкових величин є дискретні і неперервні випадкові величини, які будуть розглянуті більш докладно.

 

2 Дискретна випадкова величина

 

Випадкова величина називається дискретною, якщо її можливі значення можна перенумерувати.

Нехай х1,х2,…,хn можливі значення дискретної випадкової величини в порядку зростання.

Випадкові події [=x1], [=x2], …[=xn] утворять повну систему елементарних подій. При цьому

 

,

 

Закон розподілу дискретної випадкової величини можна задати таблицею (табл. 1) чи геометрично точками на площині (xi, pi); або ламаною, що з'єднує ці точки та називається багатокутником розподілу (рис. 8):

 

Рисунок 8

 

Цьому закону розподілу є відповідною функція розподілу

 

F(x)=P(<x)=

або

де

 

Її графік наведено на рис. 9

 

Рисунок 9

 

Як видно з рис. 9, функція розподілу дискретної випадкової величини є кусково неперервною. У точці хi вона зростає на величину . При цьому

 

.

 

3 Найважливіші закони розподілу дискретних випадкових величин

 

Біноміальний розподіл. Розглядається серія з n випробувань, у кожному з яких подія А відбувається або не відбувається. Ймовірність появи події А в кожному випробуванні постійна і не залежить від результатів інших випробувань. Це схема Бернуллі:

 

Р(А)=р; .

 

Як випадкову величину, яку позначимо , розглянемо кількість появ події А у n випробуваннях. Не важко перевірити, що ймовірність появи події визначається формулою Бернуллі у вигляді

 

; (1)

 

де кількість сполучень з елементів по (1).

Відповідний цїй формулі закон розподілу випадкової величини називається біноміальним, тому що його коефіцієнти збігаються з коефіцієнтами членів розкладання бінома Ньютона (p+q)n (табл. 4).

 

Таблиця 4

n01…k…npnqnnpqn-1……pn

Розподіл Пуассона. Якщо в біноміальному розподілі випадкової величини кількість випробувань і наслідків дуже велика, знаходження ймовірностей за формулою Бернуллі (1) стає обтяжливим у звязку з необхідністю обчислення факторіалів великого порядку. У цьому випадку було отримано наслідки формули Бернуллі, один з яких полягає у наступному.

Нехай кількість випробувань необмежено зростає, але так, щоб її добуток на ймовірність появи події A в кожному випробуванні, тобто , залишався скінченою величиною порядку одиниці. Це передбачає дуже мале значення ймовірності , отже розглядаються дуже рідкі події та дуже довгі серії випробувань. При формалізації відзначених умов у формулі Бернуллі (1) можна перейти до границі

 

 

або остаточно отримати формулу Пуассона для ймовірності появи разів дуже рідкої події A у практично нескінченних випробуваннях

 

 

Розподіл випадкової величина за цією формулою називається законом Пуассона (законом рідкісних подій). Число називається параметром розподілу. Цей закон можна подати у вигляді:

 

Таблиця 5

01…k…pe-e-……

Розглянемо типову задачу, що приводить до розподілу Пуассона. Нехай подія А означає відмову складного пристрою протягом малого проміжку часу. Причиною відмови є вихід з ладу будь-якої деталі. Режим роботи пристрою не змінюється з часом, відмова окремих деталей відбувається незалежно одна від одної, причому за одиницю часу "в середньому" відбувається відмовлень.

При цих допущеннях з великим ступенем точності виконуються такі умови:

1. Ймовірність появи відмови на проміжку часу (0, Т) така сама, як і на задовільному проміжку довжиною T (t,t+T).

2. Появи відмовлень на проміжках часу, що не перекриваються, незалежні.

Ймовірність появи відмовлення за нескінченно малий проміжок часу визначається за формулою:

 

р(А)= t+o(t), t0.

 

4. Імовірність появи більше однієї відмови є о(t), t0.

Розіб'ємо інтервал (t,t+T) на n рівних частин .

Розглядатимемо реєстрацію відмови як окреме випробування

 

При цьому приходимо до розподілу Пуассона для кількості відмовлень за час Т

 

 

Геометричний закон розподілу. Проводиться серія випробувань до першої появи події А. Ймовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює р і не залежить від інших випробувань.

Як випадкову величину розглядатимемо кількість проведених випробувань, необхідних для першої появи події А. Очевидно, що закон розподілу цієї випадкової величини можна подати таблицею:

 

Таблиця 6

123…kPPqpq2p…qk-1p

Похожие работы