Теорема 1. Якщо функція f (х) неперервна на відрізку [а, b] або обмежена і має скінченну кількість точок розриву на цьому відрізку, то границя інтегральної суми існує, тобто функція f (х) інтегрована на [a, b].
1.3 Основні властивості визначеного інтеграла
Із означення (3) визначеного інтеграла та основних теорем про граниш випливають слідуючі властивості.
Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла, тобто якщо А - стала, то
Визначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченної кількості функцій дорівнює такій самій алгебраїчній сумі інтегралів від кожного доданку, тобто
Якщо поміняти місцями межи інтегрування, то визначений інтеграл змінює свій знак на протилежний, тобто
Визначений інтеграл з рівними межами дорівнює нулю, тобто
для будь-якої функції f (х).
Якщо f (х) (х), х [а, b], то
Якщо m та M - найбільше та найменше значення функції f (х) на відрізку [a,b], то
де
1.4 Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами
Означення 2. Визначений інтеграл з постійною нижньою межею та змінною верхньою межею називають інтегралом із змінною верхньою межею.
Щоб мати звичне позначення, змінну верхню межу позначимо через х, а змінну інтегрування - t.
Одержимо інтеграл який є функцієюх, тобто Ф(х) =
Теорема 2. Якщо f (х) неперервна функція, то похідна визначеного інтеграла від неперервної функції по змінній верхній межі дорівнює значенню підінтегральної функції для цієї верхньої межі, тобто
(5)
Доведення. Надамо аргументу х приріст Δх, тоді функція Ф(х) одержить приріст, який згідно з властивістю 8 визначеного інтеграла можна записати у вигляді
До останнього інтеграла застосуємо властивість 7, тоді
де
Згідно з означенням похідної маємо
що й треба було довести.
Теорема 3. Визначений інтеграл від неперервної функції дорівнює різниці значень будь-якої її первісної для верхньої та нижньої меж інтегрування, тобто якщо F(x) є первісна функції f (х), то має місце рівність ь
(6)
яка називається формулою Ньютона-Лейбніца.
Доведення. Нехай F(x) деяка первісна функції f (х). За теоремою 2 також первісна для f (х). Але дві первісні функції f (х) відрізняються лише на постійний доданок С. Тому
(7)
Ця рівність (7) при відповідному обранні С буде тотожністю, тобто має місце для усіх х.
Для визначення С візьмемо у формулі (7) х = а. Тоді
Отже,
Якщо у цій рівності покласти х = b, то одержимо
Змінюючи змінну інтегрування t на х, одержимо формулу (6), що й треба було довести.
Відмітимо, що різницю позначають часто так:
F(x) , тобто F(x)=
Тому формулу Ньютона-Лейбніца (6) можна записати у вигляді
Ця формула вказує не тільки на зв'язок визначеного інтеграла з невизначеним, але й спосіб обчислення .
Якщо проінтегрувати обидві частини рівності
d[u(x) · v(x)] = v(x)du(x) + u(x)dv(x)
в межах від а до b, то одержимо
Звідси одержуємо важливу формулу інтегрування частинами визначеного інтеграла.
(8)
Приклад 2. Обчислити інтеграл xcosxdx.
Розв'язування. Нехай u = x, dv = cosxdx , тоді знаходимо du = dx, (взята первісна без сталої С). Застосовуючи до заданого інтеграла формулу (8), одержимо
Теорема 4. Нехай задано інтеграл , де f (х) неперервна на відрізку [а,b]. Зробимо підстановку х = (t), аtß, де (t) неперервно диференційована функція на відрізку [,ß].
Якщо: при зміні t від до ß змінна х змінюється від а до b, тобто (а)= а, (ß) = b; складна функція f[(t)] визначена і неперервна на відрізку [,ß], тоді має місце рівність
(9)
Доведення. Нехай F(x) деяка первісна для функції f (х), тобто F'(X) = f (х). Розглянемо складну функцію F [(t)]. Застосовуючи правило диференціювання складної функції, одержимо
Це означає, що функція F[(t)] є первісною для функції
Звідси, за формулою Ньютона-Лейбніца і рівностей () = a та (ß) = b, одержуємо
що й треба було довести.
Приклад 3. Обчислити
.
Розвязування. Нехай t = , тоді t2 = 1 + хх = t2 - 1, dx= 2tdt. Знайдемо межі інтегрування, використовуючи рівність
Отже,
Для деяких неперервних надінтегральних функцій f (х) первісну не можна виразити елементарними функціями. У цих випадках обчислення визначного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца неможливе [4].
Крім того, у практичній діяльності часто досить знати лише наближене значення визначеного інтеграла і знаходити це наближене значення такими методами, які дозволяють використовувати сучасну обчислювальну техніку.
Тому математики багатьох країн розробляють ефективні методи наближеного обчислення визначеного інтеграла.
Найбільш часто використовують три методи - метод прямокутників, метод трапецій та метод парабол (метод Сімпсона).
Якщо відрізок інтегрування [а,b] поділити на n рівних частин довжиною
і позначити через середню точку відрізку визначений інтеграл можна обчислити за формулою
(10)
яку називають формулою прямокутників. Чим більше буде n, тим менше буде крок
і права частина (10) буде давати більш точне значення інтеграла.
Якщо поділити відрізок інтегрування точками ділення
а = х0 < x1 < х2 < ... < хk < ... < хn-1 < хk = b
на n рівних частин довжиною
i позначити значення функції в точках ділення f (хk), тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою
(11)
яку називають формулою трапецій. Легко бачити, що при зростанні n крок
зменшується, тому значення інтеграла буде більш точним.
Якщо відрізок інтегрування [а,b] поділити на парну кількість рівних частин (тобто n = 2m) i позначити уk = f (xk), де xk = а + х·k - точки ділення, k = 0, 1, ..., 2m, тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою
(12)
яку називають формулою Сімпсона. Ця формула дає більш точне значення визначеного інтеграла тому, що для її доведення використовується метод парабол, за яким на кожному відрізку [xk-1, xk] три значення функції f (х) входять до інтегральної суми.
Розділ 2. Практичне застосування визначеного інтегралу в економіці
Останнім часом з'явилася велика кількість шкіл і класів, учні яких вибирають економічні спеціальності як своя подальшу діяльність. Як правило, учителя, що працюють у таких класах, дають учням більш глибокі знання по звичайних темах шкільного курсу математики, найчастіше орієнтуючись на програми для шкіл і класів з поглибленим вивчанням математики. Але при такій організації навчання практично не розглядаються економічні додатки тієї або іншої теми, мало часу приділяється застосуванню математичного моделювання до рішення економічних завдань. Не є виключенням і тема, присвячена застосуванню певного інтеграла в інших областях знань.
Традиційно практичний додаток інтеграла ілюструється обчисленням площ різних фігур, знаходженням обсягів геометричних тіл і деяких додатків у фізиці й техніці. Однак роль інтеграла в моделюванні економічних процесів не розглядається. Найчастіше про економічні додатки інтеграла не йде мови й у класах економічного напрямку. Разом з тим, інтегральне вирахування має багатий математичний апарат для моделювання й дослідження процесів, що відбуваються в економіці [4].
Зупинимося на декількох прикладах використання інтегрального вирахування в економіці. Почнемо із широко використовуваного в ринковій економіці поняття споживчого надлишку. Для цього введемо кілька економічних понять і позначень.
Попит на даний товар - сформована на певний момент часу залежність між ціною товару й обсягом його покупки. Попит на окремий товар графічно зображується у вигляді кривої з негативним нахилом, що відбиває взаємозв'язок між ціною P одиниці цього товару й кількістю товару Q, що споживачі готові купити при кожній заданій ціні. Негативний нахил кривої попиту має очевидне пояснення: чим дорожче товар, тим менше кількість товару, що покупці готові купити, і навпаки.
Аналогічно визначається й інше ключове поняття економічної теорії - пропозиція товару: сформована на певний момент часу залежність між ціною товару й кількістю товару, пропонованого до продажу. Пропозиція окремого товару зображується графічно у вигляді кривої з позитивним нахилом, що відбиває взаємозв'язок між ціною одиниці цього товару P і кі
