Виды многогранников

Создания природы красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии. Идеи Пифагора, Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с

Виды многогранников

Курсовой проект

Математика и статистика

Другие курсовые по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

Факультет физико-математический

Кафедра геометрии

 

 

 

 

 

Курсовая работа

Многогранники

 

Студентки III курса

Костиной Ольги

 

 

 

 

 

 

 

 

ОРЕНБУРГ

 

Оглавление

многогранник призма пирамида параллелепипед

Введение

Глава 1. Понятие многогранника и его элементы

.1 Понятие многогранника

.2 Теорема Эйлера

.3 Понятие правильного многогранника с точки зрения топологии

.3.1 Задачи на построение правильных многогранников

.4 Симметрия многогранников

.5 Подобие многогранников

Глава 2. Виды многогранников

.1 Призма

.1.1 Площади боковой и полной поверхности призмы

.2 Пирамида

.2.1 Площади боковой и полной поверхности призмы

.3 Параллелепипед

.3.1 Площади боковой и полной поверхности параллелепипеда

.4 Правильные многогранники

.5 Полуправильные многогранники

.6.Звездчатые многогранники

Глава 3. Многогранники в различных областях культуры и науки

.1 Многогранники в живописи

.2 Правильные многогранники в живой природе

.2.1 В мире кристаллов

.3 Многогранники и вирусы

Заключение

Литература

 

Введение

 

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности - от двухлетнего ребёнка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Особый интерес к многоугольникам и многогранникам связан с красотой и совершенством формы. Они довольно часто встречаются в природе. Достаточно вспомнить форму снежинок, граней кристаллов, ячеек в пчелиных сотах.

А какие многогранники существуют? Как они определяются? Где встречаются и применяются? Поиском ответов на эти вопросы и является данная работа.

Итак, цель этой работы:

·систематизация знаний;

·изучение видов многогранников;

·ознакомление с учеными, давшими название многогранникам;

·изучение областей применения многогранноков.

Задачи:

·изучить дополнительную литературу по теме;

·показать связь полученной информации с жизнью.

Тема моего проекта «В мире многогранников».. Эту тему я выбрала потому, что понятие многогранника является одним из центральных в курсе стереометрии. Многогранники интересны и сами по себе. Они имеют красивые формы. Формы многогранников находят широкое применение в конструировании сложных и красивых многогранных поверхностей, которые используются в реальных архитектурных проектах. Идёт это с глубокой древности. Пирамида - это норма тектоники - внутреннего устройства каменных зданий прошлого. (В частности пирамида Хеопса, имеют форму многогранников). Силуэты каменных церквей и соборов, как правило, вписываются в форму пирамиды. «Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создать свои шедевры. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса - немой трактат по геометрии, а греческая архитектура - внешнее выражение геометрии Евклида.

«Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по-прежнему остаётся грамматикой архитектора» - это высказывание принадлежит великому французскому архитектору Ле Корбюзье. (1887-1965). Я ничуть не сомневаюсь в его словах. Поэтому мне захотелось больше узнать о многогранниках. Для написания работы я выбрала книгу И. Смирновой и В.Смирнова «В мире многогранников» и книгу М.П. Шаскольской «Очерки о кристаллах». В книге «В мире многогранников» автор знакомит нас с понятием «многогранник», выпуклыми и невыпуклыми многогранниками, свойствами многогранников и их разновидностями: правильными, полуправильными, звездчатыми многогранниками. В книге М.П. Шаскольской «Очерки о кристаллах» представлена точка зрения, что мир существует благодаря единству симметрии и ассиметрии. Симметрия и ассиметрия должны рассматриваться совокупно в едином подходе. Работая с этим источником, я приоткрыла дверь в удивительный мир кристаллов. Автор знакомит нас с формами и свойствами кристаллов, их строением и с тем как они создаются человеком в лабораториях и на заводах. Здесь же мы знакомимся с тем, как широко применяем кристаллы в технике и науке, едим кристаллы, лечимся кристаллами, находим кристаллы в живых организмах и проникаем в тайны строения кристаллов.

 

Глава 1. Понятие многогранника и его элементы

 

.1 Понятие многогранника

 

«ТЕОРИЯ МНОГОГРАННИКОВ, В ЧАСТНОСТИ ВЫПУКЛЫХ МНОГОГРАННИКОВ, - ОДНА ИЗ САМЫХ УВЛЕКАТЕЛЬНЫХ ГЛАВ ГЕОМЕТРИИ», - такова мнение Л.А. Люстерника, члена-корреспондента Академии наук СССР, ученого, много сделавшего именно в этой области математики.

Понятие многогранника является одним из центральных в курсе стереометрии. Многогранники выделяются своими интересными свойствами, красивыми формами. Теория многогранников имеет богатую и древнюю историю, связанную с именами Пифагора, Евклида, Архимеда, Аполлония. В то же время это современный раздел математики. Глубокие результаты в ней получены советскими математиками Б.Н. Делоне, А.Д. Александровым, А.В. Погореловым. Теория многогранников имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например алгебре, теории чисел, в естествознании.

Многогранниками обычно называются тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, называемыми гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Диагональю многогранника называется отрезок прямой, соединяющей две вершины, не лежащие в одной грани. Диагональной плоскостью многогранника называется плоскость, проходящая через три вершины многогранника, не лежащие в одной грани.

Понятие выпуклости - одно из важнейших понятий математики. Оно появилось относительно недавно. Основы теории выпуклых многогранников были заложены в конце XIX в. немецкими учеными Г. Брунном, Г. Минковским и развиты в XX столетии советскими учеными Б.Н. Делоне, А.Д. Александровым, А.В. Погореловым.

Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, то есть вместе с любыми двумя своими точками содержит и соединяющий их отрезок. Выпуклый многогранник называют правильным, если все его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис 1.1. Примеры выпуклых и невыпуклых многогранников

 

Многогранники обладают следующими свойствами:

. Каждая грань выпуклого многогранника является выпуклым многоугольником.

. Плоскость, проходящая через внутреннюю точку выпуклого многогранника, пересекает его по выпуклому многоугольнику.

. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от каждой своей грани.

. Выпуклый многогранник является выпуклой оболочкой всех своих вершин, то есть наименьшим выпуклым множеством, содержащим эти вершины.

Докажем одно из них.

Доказательство: Пусть F - какая-нибудь грань многогранника М; А, В - точки, принадлежащие грани F (рис.1.2). Из условия выпуклости многогранника М следует, что отрезок АВ целиком содержится в плоскости многоугольника F , он будет целиком содержатся и в этом многоугольнике, то есть F - выпуклый многоугольник.

 

Рис. 1.2.

 

1.2 Теорема Эйлера

 

Для выпуклых многогранников имеет место свойство, связывающее число его вершин, ребер и граней, доказанное в 1752 году Леонардом Эйлером и получившее название теоремы Эйлера. Прежде чем сформулировать эту теорему, исследуем известные нам многогранники.

 

Название многогранника В Р ГТреугольная пирамида 4 6 4Четырехугольная пирамида 5 8 5Треугольная пирамида6 9 5 Четырехугольная призма 8 12 6

В - число вершин

Р - число ребер

Г - число граней

 

Из этой таблицы непосредственно видно, что для всех выбранных многогранников имеет место равенство В-Р+Г=2. Оказывается, что равенство справедливо не только для этих многогранников, но и для произвольного выпуклого многогранника.

 

Теорема Эйлера

 

Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство: В-Р+Г=2.

Доказательство: Для доказательства этого равенства представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим многоугольник, разбитый на более мелкие многоугольники.

Заметим, что многоугольники можно деформировать, увеличивать, уменьшать и даже искривлять их стороны, лишь бы при этом не происходило разрывов сторон. Число вершин, ребер, граней и при этом не изменится.

Докажем, что для получения разбиения многоугольника на более мелкие многоугольники имеет место равенства

 

В-Р+Г´=1 (*)

 

Где В - общее число вершин, Р - общее число ребер и Г´ - число многоугольников, входящих в разбиение. Ясно, что Г´= Г-1, где Г - число граней данного многогранника.

 

Докажем, что

Похожие работы

1 2 3 4 5 > >>