МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Факультет физико-математический
Кафедра геометрии
Курсовая работа
Многогранники
Студентки III курса
Костиной Ольги
ОРЕНБУРГ
Оглавление
многогранник призма пирамида параллелепипед
Введение
Глава 1. Понятие многогранника и его элементы
.1 Понятие многогранника
.2 Теорема Эйлера
.3 Понятие правильного многогранника с точки зрения топологии
.3.1 Задачи на построение правильных многогранников
.4 Симметрия многогранников
.5 Подобие многогранников
Глава 2. Виды многогранников
.1 Призма
.1.1 Площади боковой и полной поверхности призмы
.2 Пирамида
.2.1 Площади боковой и полной поверхности призмы
.3 Параллелепипед
.3.1 Площади боковой и полной поверхности параллелепипеда
.4 Правильные многогранники
.5 Полуправильные многогранники
.6.Звездчатые многогранники
Глава 3. Многогранники в различных областях культуры и науки
.1 Многогранники в живописи
.2 Правильные многогранники в живой природе
.2.1 В мире кристаллов
.3 Многогранники и вирусы
Заключение
Литература
Введение
Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности - от двухлетнего ребёнка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Особый интерес к многоугольникам и многогранникам связан с красотой и совершенством формы. Они довольно часто встречаются в природе. Достаточно вспомнить форму снежинок, граней кристаллов, ячеек в пчелиных сотах.
А какие многогранники существуют? Как они определяются? Где встречаются и применяются? Поиском ответов на эти вопросы и является данная работа.
Итак, цель этой работы:
·систематизация знаний;
·изучение видов многогранников;
·ознакомление с учеными, давшими название многогранникам;
·изучение областей применения многогранноков.
Задачи:
·изучить дополнительную литературу по теме;
·показать связь полученной информации с жизнью.
Тема моего проекта «В мире многогранников».. Эту тему я выбрала потому, что понятие многогранника является одним из центральных в курсе стереометрии. Многогранники интересны и сами по себе. Они имеют красивые формы. Формы многогранников находят широкое применение в конструировании сложных и красивых многогранных поверхностей, которые используются в реальных архитектурных проектах. Идёт это с глубокой древности. Пирамида - это норма тектоники - внутреннего устройства каменных зданий прошлого. (В частности пирамида Хеопса, имеют форму многогранников). Силуэты каменных церквей и соборов, как правило, вписываются в форму пирамиды. «Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создать свои шедевры. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса - немой трактат по геометрии, а греческая архитектура - внешнее выражение геометрии Евклида.
«Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по-прежнему остаётся грамматикой архитектора» - это высказывание принадлежит великому французскому архитектору Ле Корбюзье. (1887-1965). Я ничуть не сомневаюсь в его словах. Поэтому мне захотелось больше узнать о многогранниках. Для написания работы я выбрала книгу И. Смирновой и В.Смирнова «В мире многогранников» и книгу М.П. Шаскольской «Очерки о кристаллах». В книге «В мире многогранников» автор знакомит нас с понятием «многогранник», выпуклыми и невыпуклыми многогранниками, свойствами многогранников и их разновидностями: правильными, полуправильными, звездчатыми многогранниками. В книге М.П. Шаскольской «Очерки о кристаллах» представлена точка зрения, что мир существует благодаря единству симметрии и ассиметрии. Симметрия и ассиметрия должны рассматриваться совокупно в едином подходе. Работая с этим источником, я приоткрыла дверь в удивительный мир кристаллов. Автор знакомит нас с формами и свойствами кристаллов, их строением и с тем как они создаются человеком в лабораториях и на заводах. Здесь же мы знакомимся с тем, как широко применяем кристаллы в технике и науке, едим кристаллы, лечимся кристаллами, находим кристаллы в живых организмах и проникаем в тайны строения кристаллов.
Глава 1. Понятие многогранника и его элементы
.1 Понятие многогранника
«ТЕОРИЯ МНОГОГРАННИКОВ, В ЧАСТНОСТИ ВЫПУКЛЫХ МНОГОГРАННИКОВ, - ОДНА ИЗ САМЫХ УВЛЕКАТЕЛЬНЫХ ГЛАВ ГЕОМЕТРИИ», - такова мнение Л.А. Люстерника, члена-корреспондента Академии наук СССР, ученого, много сделавшего именно в этой области математики.
Понятие многогранника является одним из центральных в курсе стереометрии. Многогранники выделяются своими интересными свойствами, красивыми формами. Теория многогранников имеет богатую и древнюю историю, связанную с именами Пифагора, Евклида, Архимеда, Аполлония. В то же время это современный раздел математики. Глубокие результаты в ней получены советскими математиками Б.Н. Делоне, А.Д. Александровым, А.В. Погореловым. Теория многогранников имеет большое значение как для теоретических исследований по геометрии, так и для практических приложений в других разделах математики, например алгебре, теории чисел, в естествознании.
Многогранниками обычно называются тела, поверхности которых состоят из конечного числа многоугольников, называемыми гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Диагональю многогранника называется отрезок прямой, соединяющей две вершины, не лежащие в одной грани. Диагональной плоскостью многогранника называется плоскость, проходящая через три вершины многогранника, не лежащие в одной грани.
Понятие выпуклости - одно из важнейших понятий математики. Оно появилось относительно недавно. Основы теории выпуклых многогранников были заложены в конце XIX в. немецкими учеными Г. Брунном, Г. Минковским и развиты в XX столетии советскими учеными Б.Н. Делоне, А.Д. Александровым, А.В. Погореловым.
Многогранник называется выпуклым, если он является выпуклой фигурой, то есть вместе с любыми двумя своими точками содержит и соединяющий их отрезок. Выпуклый многогранник называют правильным, если все его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.
Рис 1.1. Примеры выпуклых и невыпуклых многогранников
Многогранники обладают следующими свойствами:
. Каждая грань выпуклого многогранника является выпуклым многоугольником.
. Плоскость, проходящая через внутреннюю точку выпуклого многогранника, пересекает его по выпуклому многоугольнику.
. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от каждой своей грани.
. Выпуклый многогранник является выпуклой оболочкой всех своих вершин, то есть наименьшим выпуклым множеством, содержащим эти вершины.
Докажем одно из них.
Доказательство: Пусть F - какая-нибудь грань многогранника М; А, В - точки, принадлежащие грани F (рис.1.2). Из условия выпуклости многогранника М следует, что отрезок АВ целиком содержится в плоскости многоугольника F , он будет целиком содержатся и в этом многоугольнике, то есть F - выпуклый многоугольник.
Рис. 1.2.
1.2 Теорема Эйлера
Для выпуклых многогранников имеет место свойство, связывающее число его вершин, ребер и граней, доказанное в 1752 году Леонардом Эйлером и получившее название теоремы Эйлера. Прежде чем сформулировать эту теорему, исследуем известные нам многогранники.
Название многогранника В Р ГТреугольная пирамида 4 6 4Четырехугольная пирамида 5 8 5Треугольная пирамида6 9 5 Четырехугольная призма 8 12 6
В - число вершин
Р - число ребер
Г - число граней
Из этой таблицы непосредственно видно, что для всех выбранных многогранников имеет место равенство В-Р+Г=2. Оказывается, что равенство справедливо не только для этих многогранников, но и для произвольного выпуклого многогранника.
Теорема Эйлера
Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство: В-Р+Г=2.
Доказательство: Для доказательства этого равенства представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим одну из его граней и оставшуюся поверхность растянем на плоскости. Получим многоугольник, разбитый на более мелкие многоугольники.
Заметим, что многоугольники можно деформировать, увеличивать, уменьшать и даже искривлять их стороны, лишь бы при этом не происходило разрывов сторон. Число вершин, ребер, граней и при этом не изменится.
Докажем, что для получения разбиения многоугольника на более мелкие многоугольники имеет место равенства
В-Р+Г´=1 (*)
Где В - общее число вершин, Р - общее число ребер и Г´ - число многоугольников, входящих в разбиение. Ясно, что Г´= Г-1, где Г - число граней данного многогранника.
Докажем, что
