Вивчення властивостей твердого тіла

Хоча може здатися, що процедура «обрізання», введена Клеменсом, неістотно відрізняється від методу Шерда і Займана, чисельні результати для багатьох випадків

Вивчення властивостей твердого тіла

Курсовой проект

Физика

Другие курсовые по предмету

Физика

Сдать работу со 100% гаранией
у відсутність N-процесів, в число разів, рівне швидкості релаксації для N-процесів.

3) Випадок наявності тільки N-процесів

Оскільки на практиці досяжні тільки два попередні граничні випадки, тут ми покажемо, що в даному випадку результат виходить правдоподібним. Припустимо, що резистивні процеси відсутні зовсім, тому τ → ∞ і τС = τN. Знаменник ϰ2 тоді обертається на нуль, і ϰ2 → ∞, тобто отримуємо нескінченну теплопровідність, що і потрібно було довести.

3.2 Варіаційний метод

 

Якщо розсіяння відбувається як внаслідок резистивних процесів, так і внаслідок N-процесів, чисельник варіаційного виразу для теплового опору складається з сум або інтегралів, відповідних кожному механізму розсіяння; для двох випадків маємо два вирази. Хоча при тих обставинах, яким відповідають чисельники цих виразів, можна точно отримати 1/ϰ = О, проте не можна написати простий вираз для теплового опору в загальному випадку, коли діють спільно декілька типів резестивного розсіяння, а також існують (або не існують) N-процеси. Ідея розгляду буде продемонстрована на прикладі методу Шерда і Займана для обчислення теплопровідності при розсіянні на точкових дефектах і наявності N-процесів. Розгляд приводить до тих же результатів, що і метод Каллуея.

1) Резистивні процеси і N-процеси однаково важливі

Для ілюстрації варіаційного розгляду в цьому загальному випадку передбачається, що резистивне розсіяння відбувається тільки на точкових дефектах; тим самим зменшується число членів, які потрібно враховувати. Це припущення було використане Шердом і Займаном для пояснення експериментальних результатів по розсіянню фононів ізотопічними «домішками».

Для випадку, коли пружне розсіяння на точкових дефектах відбувається одночасно з N-процесами, варіаційний вираз для теплового опору має вигляд

 

 

 

(4.2.1)

 

 

де функція (q) повинна бути вибрана так, щоб мінімізувати цей опір.

Раніше було показано, що можна вибрати такий простий вид функції (q), при якому перший або другий член в чисельнику звертається в нуль. Проте тепер при будь-якому виді (q) один із членів у виразі (4.2.1) істотно відрізнятиметься від нуля. Дуже важко знайти точний вираз для (q), який привів би до мінімального можливого значення W. Тому Шерд і Займан узяли правдоподібну комбінацію двох виразів для (q). Оскільки швидкість релаксації при розсіянні на точкових дефектах стрімко збільшується із зростанням q, вони припустили, що починаючи з деякого значення q розподіл фононів визначається дефектами та N-процесами, що вносять внесок в (q) незалежно один від одного. Для малих q точкові дефекти самі по собі приводять до сильного відхилення від рівноважного розподілу, причому передбачалося, що їх внесок в (q) відповідає граничному значенню. Пробна функція, таким чином, була вибрана різною для двох інтервалів q.

 

 

Величина ε вважалася залежною від концентрації дефектів, але не залежною від температури. Шляхом варіювання коефіцієнтів а0 і а4, а також величини ε знаходилося мінімальне значення теплового опору, який визначається виразом (4.2.1).

Можна очікувати, що інтервал значень q, в якому на фононний розподіл істотно впливають точкові дефекти, збільшується при зростанні швидкості релаксації за рахунок розсіяння на точкових дефектах. При цьому значення q0 і ε повинні зменшуватися. Обчислення Шерда і Займана показали, що для малих концентрацій ізотопічних «домішок» у фториді літію (теорія була спочатку розвинена для пояснення експериментів на таких кристалах) ε ≈ 3, але для кристалів із значним розсіянням на точкових дефектах ε < 0,5.

У своїй першій роботі по застосуванню простого релаксаційного методу Клеменс враховував N-процеси, припускаючи, що вони усувають розбіжність ефективного часу релаксації при малих q; час релаксації для фононів при q < kвT/ħυ рівний часу релаксації при q = kвT/ħυ = q0. Теплопровідність визначається виразами з урахуванням цієї зміни, так що інтеграл розбивається на дві частини: для значень q від 0 до q0 час релаксації постійний, але від q0 до qмакс він залежить від q звичайним способом.

Хоча може здатися, що процедура «обрізання», введена Клеменсом, неістотно відрізняється від методу Шерда і Займана, чисельні результати для багатьох випадків досить різні. Якщо переважають N-процеси, то рівноважний розподіл фононів порушується в широкій області q і перший член в чисельнику виразу (4.2.1) стає великим. У межі, коли розподіл фононів головним чином визначається N-процесами, тепловий опір, обумовлений точковими дефектами, в 55 разів більше, ніж той, що дається формулою Клеменса, яка не враховує впливу N-процесів на розподіл фононів при q > kвT/ħυ. При концентрації точкових дефектів, відповідній значенню ε = 3, тепловий опір в 20 разів більше значення, яке обчислюється формулою Клеменса. З іншого боку, коли точкові дефекти значно важливіші і визначають розподіл навіть при значеннях q < ½ kвT/ħυ, є широка область фононів, для якої внеском першого члена у виразі (4.2.1) можна знехтувати, і тоді опір тільки трохи більший половини значення Клеменса.

2) N-процеси домінують за наявності резистивних процесів

У цьому граничному випадку передбачається, що розподіл фононів встановлюється тільки за рахунок N-процесів, а розсіяння на дефектах не міняє цього розподілу. У варіаційний вираз N-процеси, таким чином, не дають внеску. Для даного виду (q) знаменник виразу можна записати в простій формі. Через те що

і

Знаменник має вигляд

 

де величина |u| прийнята рівною 1, оскільки u2 міститься і в чисельнику, і в знаменнику. Коли має місце ізотропне розсіяння і вірогідність P (q, q') залежить тільки від відносної орієнтації q та q', чисельник також набуває простій вигляд, і, замінюючи суму інтегруванням, його можна записати у такому вигляді

 

 

Тепловий опір тоді визначається формулою

 

 

яка співпадає з виразом Каллуея в тій же межі переважання N-процесів.

Слід відмітити, що якщо τ(q) ~ q-4, як у разі точкових дефектів, то й вираз для теплопровідності залишається кінцевим, оскільки інтеграл має

Вигляд

 

 

і сходиться на обох межах. Якщо розсіяння менш сильно залежить від q, наприклад τ(q) ~ q-1, то простий релаксаційний метод дає кінцеву теплопровідність; збільшення часу релаксації із зменшенням q не врівноважує зменшення внеску цих мод в теплопровідність, яка визначається енергією фононів і щільністю станів, пропорційною q2. Вираз для ϰ, отриманий простим релаксаційним методом, містить тоді

 

 

тоді як варіаційний вираз або формула Каллуея при домінуванні N-процесів містить

 

 

Всі ці інтеграли досягають граничних значень при дуже малих х, і відношення χрел/χNдом стає рівним 1,3. Як видно, резистивне розсіяння все ще грає важливу роль для малих значень q, але внесок від домінуючих N-процесів сильно не збільшує теплового опору.

3.3 Метод Гюйе і Крумхансла

 

Серед методів, заснованих на використанні рівняння Больцмана для фононів, заслуговує уваги робота Гюйе і Крумхансла по гідродинаміці фононів. Вона є порівняно раннім дослідженням загальних властивостей фононних систем. Передбачається, що розподіл фононів залежить від часу і координат. Зміна розподілу по ширині кристала, а також і уздовж його довжини при постійному температурному градієнті приводить до пуазейльовського протікання, тоді як зміна розподілу з часом дозволяє отримати другий звук, який є хвилевим процесом розповсюдження зміни N.

Розгляд ведеться з використанням операторної форми для рівняння Больцмана, і загальні результати виражаються через оператори зіткнень, причому розрізняються оператори для нормального розсіяння N* і для резистивного розсіяння R*. Вирішення рівняння Больцмана і, отже, виразу для потоку тепла і теплопровідності записуються через цих операторів, тому необхідно тільки виразити останні через швидкості релаксації і , щоб довести відповіді до числових результатів.

За умови N* > R*, відповідному >> , теплопровідність виходить та ж, що і визначувана другим членом виразу Каллуея; отже, вона співпадає з величиною, знайденою варіаційним методом при переважанні N-процесів. За умови R* > N*, відповідному >> , виходить той же вираз для теплопровідності, що і при простому релаксаційному методі; тут вона також співпадає з першим членом у виразі Каллуея.

Гюйе і Крумхансл приводять вираз, справедливий для всього інтервалу відносних значень і :

 

 

(4.3.1)

де

а - таке ж середнє для [τR(х)]-1. Величина S рівна / і називається чинником перемикання. Якщо << , тo величина S велика і в дужках виразу (3.3.1) найбільш важливий член . Peзистивні процеси тоді переважають, і теплопровідність виходить така ж, як при використанні простого релаксаційного методу. У разі τR >> τN величина S мала і головну роль грає член -1. Нормальні процеси визначають розподіли фононів, і вираз для теплопровідності співпадає з формулою Займана і Каллуея для цього граничного випадку, а

Похожие работы

<< < 1 2 3 4 5 >