Векторное поле и векторные линии теория поля

Возникновение векторного исчисления связано с потребностями механики и физики. В начале 19 века происходит новое значительное расширение области приложений математического

Векторное поле и векторные линии теория поля

Дипломная работа

Математика и статистика

Другие дипломы по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией

Введение

 

Возникновение векторного исчисления связано с потребностями механики и физики. В начале 19 века происходит новое значительное расширение области приложений математического анализа. Если до этого времени основными разделами физики, требовавшими большого математического аппарата, оставались механика и оптика, то теперь к ним присоединяются электродинамика, теория магнетизма и термодинамика. Получают широкое развитие важнейшие разделы механики и непрерывных сред, из которых только гидродинамика несжимаемой идеальной жидкости была создана ещё в 18 веке Д. Бернулли, Л. Эйлером, Ж. Д'Аламбером и Ж. Лагранжем. Быстро растут математические запросы техники и баллистики. В начале 19 века в качестве основного аппарата новых областей механики и математической физики усиленно разрабатывается теория дифференциальных уравнений с частными производными и особенно теория потенциала. В этом направлении работает большинство крупных аналитиков начала и середины 19 века - К. Гаусс, Ж. Фурье, С. Пуассон, О. Коши, П. Дирихле, Дж. Грин, М.В. Остроградский. Последний заложил основы вариационного исчисления для функций нескольких переменных, нашел знаменитую формулу преобразования тройных интегралов в двойные и её n - мерное обобщение. Он также усовершенствовал теорию замены переменных в кратных интегралах, получив по существу те результаты, которые были для общего n - мерного случая позднее компактно сформулированы К. Якоби.

В результате исследования по уравнениям математической физики в работах Дж. Стокса и других возникает векторный анализ, одной из основных формул которого является формула Остроградского. Векторный анализ - это раздел векторного исчисления, в котором изучается средствами математического анализа векторные и скалярные функции одного или нескольких аргументов (векторные поля и скалярные поля). Для характеристики данных полей вводится целый ряд понятий, часть которых приведены в данной работе: линии уровня и векторные линии, векторные трубки, градиент скалярного поля, циркуляция, дивергенция и вихрь векторного поля.

Приложение векторного анализа широко используется в прикладной физике: уравнение непрерывности и уравнение движения идеальной жидкости (гидродинамика), уравнение распространения звука (теория волн), уравнение теплопроводности (термодинамика), уравнения Максвелла или телеграфное уравнение (электродинамика).

Целью дипломной работы является изложение теории поля с помощью векторного анализа и составление пособия для студентов по данной теме.

В соответствии с целью данного исследования в дипломной работе был поставлен ряд задач:

  • проанализировать и обобщить литературу по основам теории поля;
  • изучить скалярные и векторные поля с помощью средств математического анализа;
  • рассмотреть виды векторных полей;
  • рассмотреть применение векторного анализа в теории поля на примере некоторых инженерных задач.

Объектом исследования в дипломной работе являются процессы поведения характеристик различных полей.

Предметом исследования являются скалярные и векторные поля и их особенности.

 

 

1. Введение в теорию поля

 

1.1 Скалярное поле

 

1.1.1 Скалярное поле. Поверхности уровня

Предположим, что в каждой точке Р некоторой области D нам задано значение скалярной физической величины u, то есть такой величины, которая полностью характеризуется своим числовым значением. Например, это может быть температура точек неравномерно нагретого тела, плотность распределения электрических зарядов в изолированном наэлектризованном теле, потенциал электрического поля и так далее. При этом u называется скалярной функцией точки; записывается это так: u=u(P).

Область D, в которой определена функция u(P), может совпадать со всем пространством, а может являться некоторой его частью.

Определение. Если в области D задана скалярная функция точки u(P), то говорят, что в этой области задано скалярное поле.

Будем считать, что скалярное поле стационарное, то есть величина u(P) не зависит от времени t. Если физическая величина векторная, то ей будет соответствовать векторное поле, например силовой поле, электрическое поле напряженности, магнитное поле и другие поля.

Если скалярное поле отнесено к системе координат Oxyz, то задание точки Р равносильно заданию её координат x, y, z; и тогда функцию u(P) можно записать в обычном виде функции трех переменных: u (x, y, z). Мы пришли к физическому толкованию функций трех переменных.

Определение. Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция u принимает постоянное значение, то есть .

В курсе физики при рассмотрении поля потенциала поверхности уровня называют обычно эквипотенциальными поверхностями (то есть поверхностями равного потенциала).

Уравнение поверхности уровня, проходящей через данную точку M0(xo, y0, zo), записывается так: u (x, y, z)=u(xo, yo, zo).

Если в частном случае скалярное поле плоское, то функция u зависит от двух переменных, например x и y. Линиями уровня этого поля будут линии уровня функции u (x, y): u (x, y)=C.

 

1.1.2 Производная по направлению

Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения поля в заданном направлении.

Пусть задано скалярное поле, то есть задана функция u (x, y, z). Возьмем точку P (x, y, z) и какой-нибудь луч λ, из нее выходящий. Направление этого луча зададим углами α, β, γ, которые он образует с направлениями осей Ox, Oy, Oz (рис. 1.1.)

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.1. Направление луча, относительно осей координат

 

Если eλ - единичный вектор, направленный по лучу λ, то его проекциями будут направляющие косинусы eλ {cos α, cos β, cos γ}.

Пусть точка P1(x1, y1, z1) лежит на луче λ; расстояние PP1 обозначим через ρ. Проекции вектора на оси координат будут, с одной стороны, равны ρ cos α, ρ cos β, ρ cos γ, а с другой стороны, - разностям x1-x, y1-y и z1-z. Следовательно , , .

Рассмотрим теперь приращение функции при переходе из точки Р в точку Р1: .

если точка Р1 будет изменять свое положение на луче λ, то в выражении для разности u(P1) - u(P) будет меняться только величина ρ. Составим отношение и перейдем к пределу при ρ→0, предполагая, что этот предел существует.

Определение. Предел

 

 

называется производной от функции u (x, y, z) по направлению λ в точке Р.

Этот предел будем обозначать символом или . Величина его зависит от выбранной точки P (x, y, z) и от направления луча λ, то есть от α, β, γ.

Если точка Р фиксирована, то величина производной будет зависеть только от направления луча λ.

Из определения производной по направлению следует, что если направление λ совпадает с положительным направлением оси Ox, то есть , то предел будет просто равен частной производной от функции u (x, y, z) по x:

 

.

 

Аналогичную картину получим, если направление λ будет совпадать с направлениями осей Oy и Oz.

Подобно тому как частные производные и характеризуют скорость изменения функции u в направлении осей координат, так и производная по направлению будет являться скоростью изменения функции u (x, y, z) в точке Р по направлению луча λ. Абсолютная величина производной по направлению λ определяет величину скорости, а знак производной - характер изменения функции u (возрастание или убывание).

Вычисление производной по направлению производится при помощи следующей теоремы:

Теорема. Если функция u (x, y, z) дифференцируема, то её производная по любому направлению λ существует и равна

 

 

где - направляющие косинусы луча λ.

Из этой формулы непосредственно следует, что если направление λ совпадает с положительным направлением одной из осей координат, то производная по этому направлению равна соответствующей частной производной, например, если то .

Из формулы видно, что производная по направлению λ', противоположному λ, равна производной по направлению λ, взятой с противоположным знаком. Действительно, при перемене направления углы α, β и γ изменятся на π и

 

 

Это означает, что при перемене направления на противоположное абсолютная величина скорости изменения функции u не меняется, а изменяется только характер её изменения; если, например, в направлении λ функция возрастает, то в направлении λ' она убывает, и наоборот.

Если поле плоское, то направление луча λ вполне определяется углом α его наклона к оси абсцисс. Формулу для производной по направлению в случае плоского поля можно получить из общей формулы, положив . Тогда .

Если α=0, то , а если , то .

 

1.1.3 Градиент

Рассмотрим снова формулу для производной по направлению

 

 

Вторые множители в каждом слагаемом являются, как мы уже отмечали, проекциями единичного вектора еλ, направленного по лучу λ:

Возьмем теперь вектор, проекциями которого на оси координат будут служить значения частных производных в выбранной точке P (x, y, z). Назовем этот вектор градиентом функции u (x, y, z) и будем обозначать его символами grad u или ∇u.

Определение. Градиентом функции u (x, y, z) называется вектор, проекциями которого служат значения частных производных этой функции, то есть

 

 

Проекции градиента зависят от выбора точки P (x, y, z) и изменяются с изменением координат этой точки. Таким образом, каждой точке скалярного поля, определяемого функцией поля u (x, y, z), соответствует определенный в

Похожие работы

1 2 3 4 5 > >>