Вектор в пространстве. Скалярное произведение ненулевых векторов

Очевидно, что векторы, стоящие в обеих частях второго свойства дистрибутивности коллинеарные. Допустим сначала, что знаки λ и μ одинаковы. Тогда

Вектор в пространстве. Скалярное произведение ненулевых векторов

Контрольная работа

Математика и статистика

Другие контрольные работы по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией
складываются. При умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число.

1.4 Проекция вектора

 

Действительно, если и , то

 

.

 

Под углом между векторами понимается угол между векторами равными данным и имеющими общее начало. Если направление отсчета угла не указано, то углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит π. Если один из векторов нулевой, то угол считается равным нулю. Если угол между векторами прямой, то векторы называются ортогональными.

Определение: Ортогональной проекциейвекторана направление вектора называется скалярная величина

φ - угол между векторами (рис. 5).

 

Рис. 5

 

Модуль этой скалярной величины равен длине отрезка ОА.

Если угол φ острый проекция является положительной величиной, если угол φ тупой - проекция отрицательна, если угол φ прямой - проекция равна нулю.

Проекции векторов обладают следующими свойствами:

(проекция суммы равна сумме проекций);

проекция произведения вектора на число равна произведению проекции вектора на число).

Проекции векторов играют особую роль в ортогональных (ортонормированных базисах).

Базис называется ортогональным, если его векторы попарно ортогональны.

Ортогональный базис называется ортонормированным, если его векторы по длине равны единице. Для ортонормированного базиса в пространстве часто используют обозначения.

Теорема: В ортонормированном базисе координаты векторов есть соответствующие ортогональные проекции этого вектора на направления координатных векторов.

Пример: Пусть вектор единичной длины образует с вектором ортонормированного базисана плоскости угол φ (рис. 6), тогда

 

Рис. 6

 

 

Пример: Пусть вектор векторединичной длины образует с векторами , , ортонормированного базисаортонормированного базиса в пространстве углы α, β, γ, соответственно (рис.7), тогда

 

Рис. 7

 

Причем

 

 

Величины называются направляющими косинусами вектора

Проекции вектора на координатные оси называются также его (декартовыми) координатами.

Если даны две точки и , являющиеся соответственно началом и концом вектора , то его координаты x,y,z определяются по формулам

 

 

В этом случае модуль вектора равен:

 

 

С использованием направляющих косинусов координаты вектора можно записать в виде:

 

С использованием проекций легко записать операции сложения (вычитания) векторов, а также умножения вектора на число:

В частности, если

 

 

Если , то для любого числа

 

 

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными. Признаком коллинеарности двух векторов

 

 

является пропорциональность их координат:

 

 

Приведем еще раз определение координатного базиса (с использованием проекций).

Тройка векторовназывается координатным базисом, если эти векторы удовлетворяют следующим условиям:

). Вектор ежит на оси Ох, вектор - на оси Оу, вектор- на оси Oz;

). Каждый из векторов направлен по своей оси в положительную сторону;

). Векторы единичные, то есть

Каким бы ни был вектор , он всегда может быть разложен по базису, то есть может быть представлен в виде

 

 

коэффициенты этого разложения являются координатами вектора (то есть x, y, z есть проекции вектора на координатные оси).

2. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

 

Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если один из векторов нулевой скалярное произведение считается равным нулю.

Скалярное произведение векторов и обозначается через

 

Если φ - угол между векторами и , то

 

Скалярное произведение векторов и можно выразить также формулой

 

 

Из формулы (1) следует, что , если (острый угол), , если (тупой угол); в том и только в том случае, когда векторы и перпендикулярны.

Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается символом . Из формулы (1) следует, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

 

2.1 Свойства скалярного произведения

 

Скалярное произведение обладает следующими свойствами (часть этих свойств приведена ранее. Здесь они приведены для полноты):

(коммутативность).

(скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины).

Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них нулевой

вектор пространство скалярный величина

 

:%20%d0%b4%d0%bb%d1%8f%20%d0%bb%d1%8e%d0%b1%d1%8b%d1%85%20%d0%b2%d0%b5%d0%ba%d1%82%d0%be%d1%80%d0%be%d0%b2%20">Неравенство Коши - Буняковского <http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%9A%D0%BE%D1%88%D0%B8_%E2%80%94_%D0%91%D1%83%D0%BD%D1%8F%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE>: для любых векторов и выполняется неравенство:

Теорема: В ортогональном базисе компоненты любого вектора находятся по формулам:

 

 

Пусть в некотором базисе заданы векторы и тогда, пользуясь свойствами скалярного произведения, можно записать:

 

Величины называются метрическими коэффициентами данного базиса. Следовательно

 

 

Эти формулы принимают более простой (и компактный вид) в ортонормированном базисе.

Действительно, пусть , причем каждое слагаемое коллинеарно-соответствующему базисному вектору. Из теоремы второго раздела следует, что , где выбирается знак плюс или минус в зависимости от того, одинаково или противоположно направлены векторы , и . Но, , где φ - угол между векторами , и . Итак, . Аналогично вычисляются и остальные компоненты.

Теорема: В ортонормированном базисе

 

 

имеют место следующие равенства:

) для двух векторов: и имеем:

 

 

) для вектора: имеем:

 

) для векторов и проекция вектора на вектор равна:

 

 

) для векторов и угол между ними равен:

 

 

Из формулы (4) следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

 

 

Проекция произвольного векторана какую-нибудь ось U определяется формулой

 

 

где - единичный вектор, направленный по оси U.

Действительно, если даны углы которые ось U составляет с координатными осями, то

 

и тогда имеет место формула:

 

3. ПРИМЕНЕНИЕ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

 

Использование скалярного произведения крайне широко, как в элементарных, так и в весьма абстрактных областях математики, физики и прикладных наук. Ниже приведены несколько примеров использования скалярного произведения векторов.

Пример

Найти длину вектора , если

Решение:

 

Пример 4.2Теорема косинусов

 

Рис. 8

 

В треугольнике квадрат стороны с равен сумме квадратов других сторон минус удвоенное произведение длин этих сторон на косинус угла между ними (см. рисунок 8)

Введем вектора, как показано на рисунке выше. Тогда получим (с использованием формулы (3)):

 

Пример

Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин А(-4;-4;4), В(-3;2;2),C(2; 5;1), D(3;-2;2), взаимно перпендикулярны.

Решение: Составим вектора АС и BD, лежащие на диагоналях данного четырехугольника. Имеем:

 

 

Найдем скалярное произведение этих векторов:

 

 

Отсюда следует, что . Следовательно, диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.

Пример 4.4

Работа постоянной силы

Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы F, образующей угол с перемещением АВ= S (см.рис. 9).

 

Рис. 9

 

Из физики известно, что работа силы F при перемещении S равна

Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Пример

Радиус траектории движения материальной точки. Тело бросили горизонтально (в поле сил тяжести) со скоростью . Найти радиус траектории движения тела через t секунд

 

Рис. 10

 

Решение: При движении по криволинейной траектории радиус равен:

 

 

где - модуль скорости тела, - «нормальное» ускорение - компонента полного ускорения тела, перпендикулярная к полной скорости.

Так как тело движется в поле сил тяжести, то через t секунд проекции скорости по осям х и у р

Лучшие

Похожие работы

< 1 2 3 >