Вектор в пространстве. Скалярное произведение ненулевых векторов

Контрольная работа - Математика и статистика

Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика

Для того чтобы скачать эту работу.
1. Подтвердите что Вы не робот:
2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



ВВЕДЕНИЕ

 

Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение - тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике.

Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.

В соответствии с требованиями новой программы по математике понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики.

Использование скалярного произведения крайне широко, как в элементарных, так и в весьма абстрактных областях математики, физики и прикладных наук.

Широко известны следующие применения:

любые геометрические вычисления (как собственно в математике, так и в приложениях), связанные с длинами, углами, проецированием, ортогональностью;

широчайшее применение в физике (как элементарной, так и в современной общей и теоретической физике);

разложение векторов по базису и переход к новому базису, являющееся основой многих разделов математики и ключевым приемом эффективного решения практических геометрических задач или практических задач, формулируемых на языке линейной алгебры (относящихся, например, к статистике);

,;

в векторном анализе - вычисление контурных интегралов, потоков и т.п.

Цели работы:

Определить понятие вектора в пространстве.

Сформулировать свойства скалярного произведения ненулевых векторов, которые положены в основу применения к решению задач как алгебраических, так и геометрических.

Выявить типичные трудности, возникающие в процессе решения задач с помощью векторов.

Овладеть различными способами решения в процессе исследования.

1. ВЕКТОРЫ В ДВУХ- И ТРЕХМЕРОНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

 

.1 Понятие вектора. Определения и основные свойства

 

На плоскости или в пространстве (3-х мерном или большей размерности) возможно, задать прямую линию. Отрезок на прямой определяется двумя равноправными точками - его концами. Различают также направленный отрезок, т.е. отрезок, относительно концов которого известно какой из них первый (начало), а какой - второй (конец).Направленные отрезки принято называть также геометрическими векторами или просто векторами. Вектор как направленный отрезок обозначается двумя большими латинскими буквами с общей чертой наверху при условии, что первая из них обозначает начало, вторая - конец вектора. Наряду с этим также используется обозначение вектора одной малой латинской буквой полужирного шрифта или со стрелкой (рис. 1, где изображен вектор а (или) с началом А и концом В). Начало вектора часто называется его точкой приложения.

 

Рис. 1

 

Таким образом, определение вектора таково:

Вектор - это направленный отрезок, соединяющий две точки в пространстве или в плоскости.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной. Для обозначения длины вектора (его абсолютной величины) пользуют символ модуля. Так и обозначают длины соответствующих векторов.

Вектор единичной длины называют единичным вектором.

Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным вектором называется ортом вектора и обозначается символом .

К векторам относится и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают. Считается, что нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину равную нулю. Это позволяет обозначать нулевой вектор вещественным числом 0 (нуль).

Векторы расположенные либо на одной прямой, либо на параллельных прямых называются коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Среди коллинеарных векторов различают одинаково направленные (сонаправленные) и противоположно направленные векторы.

Векторы называются компланарными, если они лежат, либо на одной плоскости, либо на прямых, параллельных одной и той же плоскости.

Определение: Два вектора называются равными, если они: 1) коллинеарны; 2) равны по длине; 3) одинаково направлены.

Следствие 1. Для любого вектора и для любой точки А, существует, и притом единственная, точка B такая, что .

Следствие 2. Из равенства следует (симметричность).

Следствие 3. Из того, что и , следует (транзитивность).

 

1.2 Операции над векторами

 

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.

Определение: Суммой двух векторов и называется вектор, имеющий начало в начале вектора , а конец - в конце вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора .

Рис. 2

В соответствии с определением слагаемые и и их сумма образуют треугольник (рис.2). Поэтому данное правило сложения двух векторов называют правилом треугольника.

Операция сложения векторов обладает свойствами:

 

(коммутативность);

(ассоциативность);

для любого вектора (особая роль нулевого вектора);

 

для каждого вектора существует противоположный ему вектор такой, что(для получения достаточно поменять местами начало и конец вектора ).

Вектор противоположный вектору обозначают

Определение: Разностьювекторов и называется сумма вектора и вектора противоположного вектору, т.е.

 

Рис. 3

 

Замечание: Существует еще одно правило сложения векторов, называемое правилом параллелограмма: векторы и направляются из общего начала, и на них строится параллелограмм (рис. 4). Суммой будет вектор , расположенный на диагонали параллелограмма. Разностью здесь будет вектор , расположенный на второй диагонали.

 

Рис. 4

 

В векторной алгебре вещественные числа обычно называют скалярными величинами или скалярами.

Определение: Произведениемвектора на вещественное число (скаляр) называется вектор, такой, что 1) ; 2) вектор коллинеарен вектору ;3) векторы иимеют одинаковое (противоположное) направление при ().

Замечание: В случае, когда или произведение является нулевым вектором.

Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

 

(ассоциативное свойство сомножителей);

 

Действительно, заметим, что векторы, стоящие обеих частях равенства, имеют одну и ту же длину . Кроме того, они коллинеарны и одинаково направлены, так как их направление совпадает с направлением , если λ и μ одного знака, и противоположно направлению , если λ и μ имеют разные знаки. Если же λ или μ равны нулю, то обе части равенства равны нулю. Свойство доказано.

Построим треугольник OAB где и . Построим далее треугольник SPQ, где и . Так как стороны SP, PQ треугольника SPQ параллельны и пропорциональны сторонам OA, AB треугольника OAB, то эти треугольники подобны. Поэтому сторона SQ также параллельна стороне OB и отношение их длин также равно |λ|. Ясно, далее, что и одинаково направлены, если λ > 0. Отсюда следует, что . Но и , а отсюда вытекает первое свойство дистрибутивности.

Очевидно, что векторы, стоящие в обеих частях второго свойства дистрибутивности коллинеарные. Допустим сначала, что знаки λ и μ одинаковы. Тогда векторы и направлены одинаково и длина их суммы равна сумме их длин, т.е. . Но и следовательно, в этом случае векторы и равны по длине. Направление их совпадает с направлением вектора , если общий знак λ и μ положителен, и противоположно ему, если отрицателен. Допустим теперь, что знаки λ и μ различны, и для определенности будем считать |λ| > |μ|. В этом случае длина суммы равна разности длин, точнее . Но . Следовательно, и в этом случае длина вектора равна длине вектора . Очевидно, что оба эти вектора направлены так же, как . Если же |λ| = |μ| и знаки λ и μ противоположны, то обе части равенства равны нулю. То же обстоятельство имеет место, если равен нулю вектор или оба скаляра одновременно.

Теорема: Если вектор коллинеарен ненулевому вектору, то существует вещественное число такое, что

1.3 Базис

 

Свойства вектора в данном базисе.

Определение: Базисом на плоскости (в пространстве) называется любая упорядоченная пара неколлинеарных (тройка некомпланарных) векторов

 

 

Базис на плоскости (в пространстве) позволяет однозначно сопоставить каждому вектору упорядоченную пару (тройку) чисел - коэффициенты представления этого вектора в виде линейной комбинации векторов базиса. Наоборот, каждой упорядоченной паре (тройке) чисел при помощи базиса можно сопоставить вектор с помощью линейной комбинации

 

 

Числа - называются компонентами (или координатами) векторав данном базисе В заданном базисе вектор возможно задавать с помощью координат:

 

 

Теорема: При сложении двух векторов их координаты