Введение в исследование и дифференциальное исчисление функции одного переменного

Контрольная работа - Математика и статистика

Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика

Скачать Бесплатно!
Для того чтобы скачать эту работу.
1. Подтвердите что Вы не робот:
2. И нажмите на эту кнопку.
закрыть



РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Специальность Менеджмент организации

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине: Высшая математика

На тему: ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧЕСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

 

 

Выполнил:

Студент __1__ курса

______1_____ семестр

Шошина Екатерина Анатольевна

№ зачетки- 32091031

 

 

 

 

 

 

Тюмень, 2010

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧЕСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

 

  1. Вычислить предел

 

 

Решение.

При имеем

 

 

Следовательно,

 

 

  1. Найти асимптоты функции

 

 

Решение.

=

 

Очевидно, что функция при .

Отсюда получаем, что

 

 

Следовательно, - вертикальная асимптота.

Теперь найдем горизонтальные асимптоты.

 

 

Следовательно, - горизонтальная асимптота при .

 

  1. Определить глобальные экстремумы

 

при х[1,2]

Найдем производную

 

 

Для нахождения локальных экстремумов решим уравнение

 

,

 

значит для нахождения глобальных экстремумов наибольшего и наименьшего значения на отрезке надо взять значения функции в концах отрезка. наименьшее наибольшее

 

  1. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции

 

 

Найдем производную

 

 

Решим уравнение

 

x01(1,3)3+0+0-0+возрастаетт.перегибавозрастаетmaxубываетminвозрастает

Локальные экстремумы: т. max

т. min

Точка перегиба

Промежутки монотонности:

возрастает при ,

убывает при .

Точка - локальный минимум.

 

x-2-1012345y-30.4-2.200.2-1.6-5.412.8125

 

  1. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции

 

 

Решение:

Требуется найти вторую производную

 

==

 

Точки перегиба

 

6x-12=0

 

x=2

выпуклость вверх (выгнутость)

 

 

Выпуклость вниз (выпуклость)

 

 

Отсюда следует, что функция выпуклая при ; вогнутая при ; точка перегиба x =2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ

 

. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции

 

.

 

Решение.

1) Область определения функции

 

.

 

) Функция не является четной или нечетной, так как

 

.

 

) Теперь найдем точки пересечения с осями:

 

а) с оx: , б) с oy .

 

) Теперь найдем асимптоты.

 

а)

А значит, является вертикальной асимптотой.

б) Теперь найдем наклонные асимптоты

 

 

Отсюда следует, что

является наклонной асимптотой при .

) Теперь найдем критические точки

 

не существует при .

)

не существует при

 

x024+0-Не сущ.-0+---Не сущ.+++yвозрастает выпуклаяmax убывает

выпуклаяне сущ.убывает

вогнутаяmin

возрастает

вогнутаяПостроим эскиз графика функции

 

 

  1. Найти локальные экстремумы функции

 

 

Решение.

Решим систему

 

Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.

 

, ,

 

Две точки подозрительны на экстремум

(0,0), (-1,1)

Для анализа характера экстремума найдем вторые производные

 

 

Найдем знаки выражений в подозрительных точках, т.е

 

и

 

В точке (0,0) получим 0 и - 9

В точке (-1,1) получим - 6 и - 27

Вывод: в точке (0,0) экстремума нет,

в точке (-1,1) знаки - + это точка максимума

  1. Определить экстремумы функции

 

,

 

если ху=100, х>0, у>0

Решение.

Сначала запишем функцию Лагранжа

.

 

И исследуем ее

 

При , ,

При , ,

 

Т.к. то получаем одну точку (10,10).

Это точка минимума

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

  • 1. Найти неопределенный интеграл

 

 

Поэтому сделаем замену y=x-1

 

Тогда x=y+1, dx=dy

 

Получим

 

===

функция интеграл деление асимптота

Сделаем замену

 

==

=arcsinz+C (табличный интеграл)

=arcsin (возврат к y,x)

= arcsin

 

2. Найти неопределенный интеграл

 

 

Решение:

Сделаем замену , тогда , dx=2ydy

 

==

 

Выполним деление с остатком:

 

на получим , остаток 24

==

 

Первые два интеграла табличные, в последнем - замена

 

Y+3=z, y=z-3, dy=dz

==

3. Найти неопределенный интеграл

 

Решение:

Применим замену

 

=

Так как , то =

 

По формуле интегрирования по частям

 

=

 

Вычислить

Решение:

Сделаем замену

 

,

;

=

 

. Определит

s