1. Элементы вариационного исчисления
1.1 Понятие функционала и оператора
В курсе высшей математики вводилось понятие функции. Если некоторому числу x из области D ставится в соответствие по определенному правилу или закону число y, то говорят, что задана функция y = f(x). Область D называют областью определения функции f(x).
Если же функции y(x) ставится в соответствие по определенному правилу или закону число J, то говорят, что задан функционал J = J(y). Примером функционала может быть определенный интеграл от функции y(x) или от некоторого выражения, зависящего от y(x),
Если теперь функции y(x) ставится в соответствие по определенному правилу или закону вновь функция z(x), то говорят, что задан оператор z = L(y), или z = Ly.
Примерами дифференциальных операторов могут служить:
Дадим более строгое определение функционала. Пусть A - множество элементов произвольной природы, и пусть каждому элементу u є A приведено в соответствие одно и только одно число J(u). В этом случае говорят, что на множестве A задан функционал J. Множество A называется областью определения функционала J и обозначается через D(J); число J(u) называется значением функционала J на элементе u. Функционал J называется вещественным, если все его значения вещественны. Функционал J называется линейным, если его область определения есть линейное множество и если
J (αu + βv) = αJ(u) + βJ(v).
1.2 Задачи, приводящие к экстремуму функционала
Рис. 1.1
Задача о брахистохроне
Зарождение вариационного исчисления относят обычно к 1696 г., когда И. Бернулли поставил так называемую задачу о брахистохроне: точки А (0,0) и В (а, b) расположены в вертикальной плоскости (xy) (рис. 1). Какова должна быть кривая, лежащая в плоскости (xy) и соединяющая точки А и В, чтобы материальная точка, двигаясь без трения, скатывалась по этой кривой из точки А в точку В в кратчайшее время?
Искомая кривая и была названа брахистохроной.
Пусть уравнение кривой АВ есть y = u(x). Рассмотрим некоторый момент времени t, и пусть в этот момент движущаяся точка находится на расстоянии y от оси x. Тогда , где v - скорость движущейся точки, g - ускорение силы тяжести. В то же время
Отсюда
.
Обозначим через Т время, в течение которого материальная точка достигает точки В. Интегрируя, находим
(1.1)
Задача сводится к следующему: надо найти функцию y = u(x), удовлетворяющую условию
u(0) = 0; u(а) = b(1.2)
и сообщающую интегралу (1.1) наименьшее значение. Условия (1.2) означают, что искомая кривая должна проходить через заданные точки А и В. Такого типа условия принято называть граничными, или краевыми, так как они относятся к концам промежутка, на котором должна быть определена искомая функция.
Примером применения кривой в виде брахистохроны служит образующая цилиндрических поверхностей, используемых на детских площадках, в аттракционах для спуска с возвышения, на трамплинах.
Задача о наибольшей площади
Сформулируем эту задачу так: среди всех плоских кривых, имеющих данную длину и оканчивающихся в точках А (а, 0) и В (b, 0), найти кривую, ограничивающую вместе с отрезком [а, b] оси x область с наибольшей площадью.
Пусть уравнение кривой будет y = u(x). Задача заключается в том, чтобы найти функцию u(x), удовлетворяющую краевым условиям
u(а) = u(b) = 0(1.3)
и тождеству
(1.4)
и сообщающую интегралу
(1.5)
наибольшее значение.
Общим для рассмотренных задач является то, что каждый раз ищется функция, удовлетворяющая тем или иным поставленным условиям и сообщающая экстремальное значение заданному функционалу.
Приведенные здесь задачи относятся к ветви математического анализа, называемой вариационным исчислением.
1.3 Постановка задачи вариационного исчисления
Задача вариационного исчисления состоит в следующем: дан функционал J с областью определения D(J); требуется найти элемент u0 є D(J), сообщающий функционалу либо минимальное значение
,(1.6)
либо максимальное значение
.(1.7)
Задача о максимуме функционала J тождественна с задачей о минимуме функционала - J, поэтому в дальнейшем будем рассматривать только задачу о минимуме функционала J.
В приведенной общей формулировке задачу вариационного исчисления решить вряд ли возможно, поэтому наложим на функционал J некоторые ограничения.
Будем считать, что D(J) есть часть некоторого пространства Х. Чтобы сформулировать дальнейшие ограничения, введем понятие линейного многообразия. Пусть М - линейное множество элементов пространства Х и ū - некоторый фиксированный элемент этого пространства. Линейным многообразием в пространстве Х назовем совокупность элементов, каждый из которых можно представить в виде
u = ū + η, ηєМ.(1.8)
Если ūєМ, то, очевидно, так определенное линейное многообразие совпадает с М.
Требование 1. Область определения D(J) функционала J есть линейное многообразие.
Будем считать также, что пространство Х бесконечномерно. Тогда в Х линейное множество М также бесконечномерно и, следовательно, из него можно выделить конечномерное подпространство.
Требование 2. Если η пробегает любое конечномерное подпространство, содержащееся в М, то на этом подпространстве функционал J(u) = J (ū + η) непрерывно дифференцируем достаточное число раз.
Введем понятие об абсолютном и относительном минимуме функционала. Функционал J достигает на элементе u0 є D(J) абсолютного минимума, если неравенство
J(u0) = J(u)(1.9)
Справедливо для любого элемента u є D(J). Тот же функционал достигает на элементе u0 относительного минимума, если неравенство (9) справедливо для элементов u є D(J), достаточно близких к u0.
Абсолютный минимум называют еще сильным минимумом, а относительный - слабым.
Существует аналогия между нахождением минимума функции и минимума функционала. При нахождении минимума функции первая производная функции приравнивается к нулю и находится точка, подозрительная на экстремум. Затем с помощью второй производной проверяется достаточное условие экстремума. При нахождении минимума функционала находится первая вариация функционала и приравнивается к нулю. В результате получаем необходимое условие экстремума функционала. Для проверки достаточного условия экстремума функционала находится вторая вариация функционала.
1.4 Первая вариация и градиент функционала
Будем рассматривать функционал J, подчиненный требованиям 1, 2. Возьмем произвольный элемент u є D(J) и произвольный элемент η є М. Обозначим через α произвольное вещественное число. Нетрудно видеть, что элемент
u + αη є D(J).(1.10)
Составим выражение J (u + αη). В силу требования 2 J (u + αη) есть непрерывно дифференцируемая функция от α. Вычислим ее производную и возьмем значение этой производной при α = 0
.(1.11)
В результате получим число, которое можно рассматривать как значение функционала (11), зависящего от двух элементов u и η.
Определение. Функционал
называется первой вариацией функционала J на элементе u и обозначается символом δJ (u, η):
.(1.12)
При этом разность двух функций u є D(J) и u1 є D(J) называют вариацией функции u и обозначают δu = u(х) - u1 (х).
Пример. Найти первую вариацию функционала
(1.13)
область определения которого D(J) состоит из функций, удовлетворяющих следующим условиям: uС(1) [a, b] и
u(а) = А, u(b) = В,(1.14)
где А и В-заданные постоянные. Условия (14) означают, что кривые у = u(х), где uD(J), проходят через две фиксированные точки (а, А) и (b, В).
Несложно показать, что функционал (13) удовлетворяет оговоренным выше двум требованиям, кроме того, он удовлетворяет требованию 3.
Требование 3. Вариация δJ (u, η) - не только однородный, но и аддитивный функционал от η.
Составим вариацию функционала (1.13)
(1.15)
Можно показать, что интеграл:
(1.16)
есть ограниченный функционал от η, при этом считаем, что η(х) непрерывно дифференцируема и удовлетворяет условиям:
η(а) = η(b) = 0.(1.17)
В этом случае интеграл (1.16) можно взять по частям
Таким образом, интеграл (1.15) можно записать в виде
.(1.18)
Здесь u + αη - u = αη = δu u можно записать
(1.19)
Вариацию δJ (u, η) можно записать в виде
δJ (u, η) = (Рu, η).(1.20)
Определение. Оператор Р, определенный формулой (1.20), называется градиентом функционала J(u) и обозначается символом
Р = grad J.
Если uD(Р), то вариацию функционала J(u) можно записать в виде
δJ (u, η) = (grad J(u), η)(1.21)
Здесь взяли α = 1, чтобы не загромождать запись. В выражении (1.18)
.
1.5 Необходимое условие миним
