Вариации при исчислении

В задаче с подвижными границами одно или оба эти условия отсутствуют и недостающие условия для определения произвольных постоянных общего решения

Вариации при исчислении

Курсовой проект

Математика и статистика

Другие курсовые по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией

1. Элементы вариационного исчисления

 

1.1 Понятие функционала и оператора

 

В курсе высшей математики вводилось понятие функции. Если некоторому числу x из области D ставится в соответствие по определенному правилу или закону число y, то говорят, что задана функция y = f(x). Область D называют областью определения функции f(x).

Если же функции y(x) ставится в соответствие по определенному правилу или закону число J, то говорят, что задан функционал J = J(y). Примером функционала может быть определенный интеграл от функции y(x) или от некоторого выражения, зависящего от y(x),

 

 

Если теперь функции y(x) ставится в соответствие по определенному правилу или закону вновь функция z(x), то говорят, что задан оператор z = L(y), или z = Ly.

Примерами дифференциальных операторов могут служить:

 

 

Дадим более строгое определение функционала. Пусть A - множество элементов произвольной природы, и пусть каждому элементу u є A приведено в соответствие одно и только одно число J(u). В этом случае говорят, что на множестве A задан функционал J. Множество A называется областью определения функционала J и обозначается через D(J); число J(u) называется значением функционала J на элементе u. Функционал J называется вещественным, если все его значения вещественны. Функционал J называется линейным, если его область определения есть линейное множество и если

 

J (αu + βv) = αJ(u) + βJ(v).

 

1.2 Задачи, приводящие к экстремуму функционала

 

Рис. 1.1

Задача о брахистохроне

Зарождение вариационного исчисления относят обычно к 1696 г., когда И. Бернулли поставил так называемую задачу о брахистохроне: точки А (0,0) и В (а, b) расположены в вертикальной плоскости (xy) (рис. 1). Какова должна быть кривая, лежащая в плоскости (xy) и соединяющая точки А и В, чтобы материальная точка, двигаясь без трения, скатывалась по этой кривой из точки А в точку В в кратчайшее время?

Искомая кривая и была названа брахистохроной.

Пусть уравнение кривой АВ есть y = u(x). Рассмотрим некоторый момент времени t, и пусть в этот момент движущаяся точка находится на расстоянии y от оси x. Тогда , где v - скорость движущейся точки, g - ускорение силы тяжести. В то же время

 

 

Отсюда

 

.

 

Обозначим через Т время, в течение которого материальная точка достигает точки В. Интегрируя, находим

 

(1.1)

 

Задача сводится к следующему: надо найти функцию y = u(x), удовлетворяющую условию

 

u(0) = 0; u(а) = b(1.2)

 

и сообщающую интегралу (1.1) наименьшее значение. Условия (1.2) означают, что искомая кривая должна проходить через заданные точки А и В. Такого типа условия принято называть граничными, или краевыми, так как они относятся к концам промежутка, на котором должна быть определена искомая функция.

Примером применения кривой в виде брахистохроны служит образующая цилиндрических поверхностей, используемых на детских площадках, в аттракционах для спуска с возвышения, на трамплинах.

Задача о наибольшей площади

Сформулируем эту задачу так: среди всех плоских кривых, имеющих данную длину и оканчивающихся в точках А (а, 0) и В (b, 0), найти кривую, ограничивающую вместе с отрезком [а, b] оси x область с наибольшей площадью.

Пусть уравнение кривой будет y = u(x). Задача заключается в том, чтобы найти функцию u(x), удовлетворяющую краевым условиям

 

u(а) = u(b) = 0(1.3)

 

и тождеству

 

(1.4)

 

и сообщающую интегралу

 

(1.5)

 

наибольшее значение.

Общим для рассмотренных задач является то, что каждый раз ищется функция, удовлетворяющая тем или иным поставленным условиям и сообщающая экстремальное значение заданному функционалу.

Приведенные здесь задачи относятся к ветви математического анализа, называемой вариационным исчислением.

 

1.3 Постановка задачи вариационного исчисления

 

Задача вариационного исчисления состоит в следующем: дан функционал J с областью определения D(J); требуется найти элемент u0 є D(J), сообщающий функционалу либо минимальное значение

 

,(1.6)

 

либо максимальное значение

 

.(1.7)

 

Задача о максимуме функционала J тождественна с задачей о минимуме функционала - J, поэтому в дальнейшем будем рассматривать только задачу о минимуме функционала J.

В приведенной общей формулировке задачу вариационного исчисления решить вряд ли возможно, поэтому наложим на функционал J некоторые ограничения.

Будем считать, что D(J) есть часть некоторого пространства Х. Чтобы сформулировать дальнейшие ограничения, введем понятие линейного многообразия. Пусть М - линейное множество элементов пространства Х и ū - некоторый фиксированный элемент этого пространства. Линейным многообразием в пространстве Х назовем совокупность элементов, каждый из которых можно представить в виде

 

u = ū + η, ηєМ.(1.8)

Если ūєМ, то, очевидно, так определенное линейное многообразие совпадает с М.

Требование 1. Область определения D(J) функционала J есть линейное многообразие.

Будем считать также, что пространство Х бесконечномерно. Тогда в Х линейное множество М также бесконечномерно и, следовательно, из него можно выделить конечномерное подпространство.

Требование 2. Если η пробегает любое конечномерное подпространство, содержащееся в М, то на этом подпространстве функционал J(u) = J (ū + η) непрерывно дифференцируем достаточное число раз.

Введем понятие об абсолютном и относительном минимуме функционала. Функционал J достигает на элементе u0 є D(J) абсолютного минимума, если неравенство

 

J(u0) = J(u)(1.9)

 

Справедливо для любого элемента u є D(J). Тот же функционал достигает на элементе u0 относительного минимума, если неравенство (9) справедливо для элементов u є D(J), достаточно близких к u0.

Абсолютный минимум называют еще сильным минимумом, а относительный - слабым.

Существует аналогия между нахождением минимума функции и минимума функционала. При нахождении минимума функции первая производная функции приравнивается к нулю и находится точка, подозрительная на экстремум. Затем с помощью второй производной проверяется достаточное условие экстремума. При нахождении минимума функционала находится первая вариация функционала и приравнивается к нулю. В результате получаем необходимое условие экстремума функционала. Для проверки достаточного условия экстремума функционала находится вторая вариация функционала.

 

1.4 Первая вариация и градиент функционала

 

Будем рассматривать функционал J, подчиненный требованиям 1, 2. Возьмем произвольный элемент u є D(J) и произвольный элемент η є М. Обозначим через α произвольное вещественное число. Нетрудно видеть, что элемент

 

u + αη є D(J).(1.10)

 

Составим выражение J (u + αη). В силу требования 2 J (u + αη) есть непрерывно дифференцируемая функция от α. Вычислим ее производную и возьмем значение этой производной при α = 0

 

.(1.11)

 

В результате получим число, которое можно рассматривать как значение функционала (11), зависящего от двух элементов u и η.

Определение. Функционал

 

 

называется первой вариацией функционала J на элементе u и обозначается символом δJ (u, η):

.(1.12)

 

При этом разность двух функций u є D(J) и u1 є D(J) называют вариацией функции u и обозначают δu = u(х) - u1 (х).

Пример. Найти первую вариацию функционала

 

(1.13)

 

область определения которого D(J) состоит из функций, удовлетворяющих следующим условиям: uС(1) [a, b] и

 

u(а) = А, u(b) = В,(1.14)

 

где А и В-заданные постоянные. Условия (14) означают, что кривые у = u(х), где uD(J), проходят через две фиксированные точки (а, А) и (b, В).

Несложно показать, что функционал (13) удовлетворяет оговоренным выше двум требованиям, кроме того, он удовлетворяет требованию 3.

Требование 3. Вариация δJ (u, η) - не только однородный, но и аддитивный функционал от η.

Составим вариацию функционала (1.13)

 

(1.15)

Можно показать, что интеграл:

 

(1.16)

 

есть ограниченный функционал от η, при этом считаем, что η(х) непрерывно дифференцируема и удовлетворяет условиям:

 

η(а) = η(b) = 0.(1.17)

 

В этом случае интеграл (1.16) можно взять по частям

 

 

Таким образом, интеграл (1.15) можно записать в виде

 

.(1.18)

 

Здесь u + αη - u = αη = δu u можно записать

 

(1.19)

 

Вариацию δJ (u, η) можно записать в виде

 

δJ (u, η) = (Рu, η).(1.20)

Определение. Оператор Р, определенный формулой (1.20), называется градиентом функционала J(u) и обозначается символом

Р = grad J.

Если uD(Р), то вариацию функционала J(u) можно записать в виде

 

δJ (u, η) = (grad J(u), η)(1.21)

 

Здесь взяли α = 1, чтобы не загромождать запись. В выражении (1.18)

 

.

 

1.5 Необходимое условие миним

Похожие работы

1 2 3 4 5 > >>