Статистические методы в теории связи

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. А.Н.ТУПОЛЕВА – КАИ»

Кафедра радиоэлектронных и телекоммуникационных систем

«Статистические методы в теории связи»

Теоретическая часть

Понятие о сигнале и помехах в радиосвязи основываются на трудах: Ральфа Хартли – «Теория количественной оценки информации» (1928г.), А.Н. Колмагорова – «Статистическая теория колебаний» (1941г.), академика В.А. Котельникова – «Теорема отсчётов» (1932г.), «Теория потенциальных помехоустойчивости и оптимального приёма сигнала» (1946г.), Клода Шеннона – «Математическая теория связи» (1948г.), Ж.Вантрис и Мидлтон (Левин и Стратонович) – «Теория обнаружения и модуляции сигнала».

Отыскание оптимальных способов выделения полезной информации из смеси полезных и мешающих сигналов, с произвольной пунктуацией параметров, является ключевой теорией оптимальных приёмов сигналов. При этом в момент приёма входного колебания это число сигналов и их параметры являются неизвестными, но подчиняются определённым статистическим закономерностям. Поэтому в качестве основной математической модели случайных сигналов используется модель случайного процесса с определённым образом выбранными (вычисленными) вероятностными характеристиками.

Белый шум – это дельтокорреляционный (дельтокоррелированный) случайный процесс. Алгоритм обработки по выделению из входного колебания полезного сигнала формируют апостериорные данные, на основе которых выносится решение о справедливости той или иной гипотезы. Для решения таких задач используются статистические методы, основанные на Байесовской методологии теории статистических решений. При этом обеспечивается как выделение полезной информации, так и учёт априорной информации о сигналах и помехах, параметры которых во времени меняются случайным образом.

Все решения формируются по наблюдаемой реализации U(t) а статистические гипотезы предварительно формируются относительно количества сигналов и их параметров.

Класс алгоритмов, которые эффективно реализуются в системе связи:

Оптимальное обнаружение сигналов.

Фильтрация сигналов: свёртка, корреляция, калмановская фильтрация, обработка изображений (выделение объектов, фронтальные вычисления, фоновая обработка).

Матричная алгебра (векторно-матричная операция, стохастическая оценка параметров, восстановление функции)

Функциональное преобразование: БПФ (быстрое преобразование Фурье), ОБПФ, преобразование Уолша и Гилберта, по функциональным ортогональным базисам.

Специфика систем радиосвязи и характер радиоканалов предъявляют высокие требования к помехоустойчивости, которые решаются разными способами. Это обужение диаграмм направленности антенн, адаптивная пространственная фильтрация, использование спектрально-эффективных методов модуляции (прямое расширение спектр-сигналов, OFDM), введение информационной избыточности в структуру передаваемых кодов, синтез (разработка) алгоритмов оптимальной обработки инвариантных (приспосабливаемых) к видам вероятностных распределений сигналов и помех.

Примеры расчета

Пример No1

Вычислим порог для критерия Котельникова:

Рисунок 1

Для аналитического обнаружения порога рассмотрим:

Пример No2

Обнаружить цель двумя РЛС (радиолокационная станция) независимо. Априорная вероятность обнаружения цели 1-й станции равна 0,7; 2-й равна 0,8. Нужно определить вероятность обнаружения хотя бы одной станции.

Решение: В таких задачах зондирующий импульс детерминированный, случайная помеха отсутствует. Нет необходимости вычислять правдоподобие. Задача сводится к вычислению элементарных событий. Соответственно, вероятность обнаружения:

P(A) = 0,7

P(B) = 0,8

P(AB)= P(A)*P(B) = 0,7*0,8 = 0,56

P(C) = P(A+B)=P(A) + P(B) – P(AB)= 0,7+0,8-0,56= 0,94

Ответ: вероятность обнаружения одной станции P(C)=0,94.

Пример No3:

Генерируется два сигнала и расстояние наблюдается на интервале от 0 до t, скважность между двумя импульсами равна , вводится ограничение: если разница то приемник перегружается и выносит ошибочное решение. это случайные моменты поступления любых импульсов поступающих независимо от источника 1 и источника 2. Поступления от источников равновероятные. Задача определить вероятность события Р(А), что приемник будет перегружен.

Решение:

τ₁, τ₂ – представляем в виде декартовых координат, а область возможных значений поступлений τ₁/τ₂ есть T²

Рисунок 2

Решение задачи сводится к отношению ошибочной и полезной областей, область перезагрузки приемника находится в заштрихованной области. При сближении τ₁ и τ₂ область перегрузки уменьшается, говоря о высокой разрешающей способности приемника. Площадь заштрихованной области равняется s, тогда искомая вероятность есть отношение:

S= T²

s= T²-(T- τ)²

τ= 0,5 c, P(A)=0,75

Оптимальное обнаружение детерминированного сигнала с учётом критических ошибок.

На вход приёмника поступает либо случайный процесс в виде шума n(t), либо сумма полезного сигнала и помехи f(t).

Рассмотрим две гипотезы:

1) сигнал + помеха;

2) только помеха.

Априорные вероятности этих гипотез принимаются равновероятными.

Помеха n(t) при стрессовых Гауссовским шумом нулевым и средним и с выборочной дисперсией. В момент времени производится измерение входного процесса и по полученному значению алгоритм принимает решение: был на входе сигнал или не было. Кроме выборочного среднего и выборочной дисперсии иногда используется корреляционный момент. Из-за случайного характера процесса приёма решение в пользу гипотез и сопровождаются ошибками двух видов: ошибка первого рода (когда отвергается правильная гипотеза) носит название ложная тревога F; ошибка второго рода (когда принимается не правильная гипотеза) носит название пропуск сигнала H.

Пример No4.

Три источника сигнала генерируют на базовую станцию свои сигналы.

Стоит задача определить вероятность потери связи . Каждый источник из-за воздействия помех может потерять связь с базовой станцией.

Решение:

Назначим априорные вероятности потерь помехоустойчивости по каждому источнику:

Возникает задача проверки гипотез, которые ведут к событию A. Гипотеза - помехоустойчивость упала у одного источника.

Гипотеза – помехоустойчивость упала у двух источников.

Гипотеза – помехоустойчивость снизилась у всех трёх источников.

Предположим, что если помехоустойчивость снизилась у одного из источников, то вероятность потери связи равна 0,25.

Если только у двоих источников, то будет равняться 0,4. Если же у всех трёх, то это число будет 0,5.

Ответ: вероятность потери связи

Пример No5

Апостериорная вероятность гипотез.

По каналу связи передаются сигналы в виде кодовых комбинаций S₁ и S₀ с априорными вероятностями их передачи P₁=0.7 и Р₂=0.3. Из-за наличия помех вероятность правильного каждого символа в группе уменьшается до 0.6. Искажения кодовой комбинации происходит независимо друг от друга. Фиксируем прием символов: U=10110

Определить какая команда была передана.

S₁=11111P₁=0.7

S₀=00000Р₂=0.3

P₀=0.6

U=10110 H₁→S₁

H₀→S₀

Решение:

P(A(H₁))=0,6*0,4*0,6*0,6*0,4=0,035

P(A(H₀))=0,4*0,6*0,4*0,4*0,6=0,023

P(H₁(A))= =

P(H₀/A)=0,22 → H₁

Пример 6

Имеется множество абонентов – 1000, которые разбросаны по терминалам 2G, 3G, 4G, 5G и разбросаны по трем категориям Home, Corp, VIP

Рисунок 3

Абоненты взаимодействуют с БС образуя группу событий:

А₁- БС обрабатывает сигнал абонента группы 2G

А₂- БС обрабатывает сигнал абонента группы 3G

А₃- БС обрабатывает сигнал абонента группы 4G

А₄- БС обрабатывает сигнал абонента группы 5G

Таблица 1

Событие А

Событие В

T\G

2G

3G

4G

5G

Всего

H

50

300

90

0

440

C

50

50

0

100

200

V

0

150

60

150

360

100

500

150

250

1000

Какова вероятность обработки базовой станцией сигнала каждого из 4-х стандартов?

Возможно всего 4 исхода:

Р_2G= =0,1; Р_3G=0,5(Р(А)); Р_4G=0,15; Р_5G=0,25

Какова вероятность обработки базовой станцией сигнала любого из 4-х стандартов, но определенной группы?

Возможны всего 3 исхода:

P_Home= ; Р_corp= 0,5; Р_VIP = 0,36(P(B))

Какова вероятность обработки базовой станцией сигнала VIP абонента стандарта 3G? Таких всего 150 человек.

Р(А) = Р_{VIP 3G}= =0,15

Примечание: если это событие Р(А) вычислять как произведение:

Р(АВ) = Р_3G* Р_VIP=0,5*0,36=0,18 ≠ 0,15

следовательно, так считать нельзя.

Нужно вычислять условные вероятности Р(А/В)

Р(А/В) = P(3G/VIP)= =0,417

–