МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. А.Н.ТУПОЛЕВА – КАИ»
Кафедра радиоэлектронных и телекоммуникационных систем
«Статистические методы в теории связи»
Понятие о сигнале и помехах в радиосвязи основываются на трудах: Ральфа Хартли – «Теория количественной оценки информации» (1928г.), А.Н. Колмагорова – «Статистическая теория колебаний» (1941г.), академика В.А. Котельникова – «Теорема отсчётов» (1932г.), «Теория потенциальных помехоустойчивости и оптимального приёма сигнала» (1946г.), Клода Шеннона – «Математическая теория связи» (1948г.), Ж.Вантрис и Мидлтон (Левин и Стратонович) – «Теория обнаружения и модуляции сигнала».
Отыскание оптимальных способов выделения полезной информации из смеси полезных и мешающих сигналов, с произвольной пунктуацией параметров, является ключевой теорией оптимальных приёмов сигналов. При этом в момент приёма входного колебания это число сигналов и их параметры являются неизвестными, но подчиняются определённым статистическим закономерностям. Поэтому в качестве основной математической модели случайных сигналов используется модель случайного процесса с определённым образом выбранными (вычисленными) вероятностными характеристиками.
Белый шум – это дельтокорреляционный (дельтокоррелированный) случайный процесс. Алгоритм обработки по выделению из входного колебания полезного сигнала формируют апостериорные данные, на основе которых выносится решение о справедливости той или иной гипотезы. Для решения таких задач используются статистические методы, основанные на Байесовской методологии теории статистических решений. При этом обеспечивается как выделение полезной информации, так и учёт априорной информации о сигналах и помехах, параметры которых во времени меняются случайным образом.
Все решения формируются по наблюдаемой реализации U(t) а статистические гипотезы предварительно формируются относительно количества сигналов и их параметров.
Класс алгоритмов, которые эффективно реализуются в системе связи:
Оптимальное обнаружение сигналов.
Фильтрация сигналов: свёртка, корреляция, калмановская фильтрация, обработка изображений (выделение объектов, фронтальные вычисления, фоновая обработка).
Матричная алгебра (векторно-матричная операция, стохастическая оценка параметров, восстановление функции)
Функциональное преобразование: БПФ (быстрое преобразование Фурье), ОБПФ, преобразование Уолша и Гилберта, по функциональным ортогональным базисам.
Специфика систем радиосвязи и характер радиоканалов предъявляют высокие требования к помехоустойчивости, которые решаются разными способами. Это обужение диаграмм направленности антенн, адаптивная пространственная фильтрация, использование спектрально-эффективных методов модуляции (прямое расширение спектр-сигналов, OFDM), введение информационной избыточности в структуру передаваемых кодов, синтез (разработка) алгоритмов оптимальной обработки инвариантных (приспосабливаемых) к видам вероятностных распределений сигналов и помех.
Пример No1
Вычислим порог для критерия Котельникова:
Рисунок 1
Для аналитического обнаружения порога рассмотрим:
Пример No2
Обнаружить цель двумя РЛС (радиолокационная станция) независимо. Априорная вероятность обнаружения цели 1-й станции равна 0,7; 2-й равна 0,8. Нужно определить вероятность обнаружения хотя бы одной станции.
Решение: В таких задачах зондирующий импульс детерминированный, случайная помеха отсутствует. Нет необходимости вычислять правдоподобие. Задача сводится к вычислению элементарных событий. Соответственно, вероятность обнаружения:
P(A) = 0,7
P(B) = 0,8
P(AB)= P(A)*P(B) = 0,7*0,8 = 0,56
P(C) = P(A+B)=P(A) + P(B) – P(AB)= 0,7+0,8-0,56= 0,94
Ответ: вероятность обнаружения одной станции P(C)=0,94.
Пример No3:
Генерируется два сигнала и расстояние наблюдается на интервале от 0 до t, скважность между двумя импульсами равна , вводится ограничение: если разница то приемник перегружается и выносит ошибочное решение. это случайные моменты поступления любых импульсов поступающих независимо от источника 1 и источника 2. Поступления от источников равновероятные. Задача определить вероятность события Р(А), что приемник будет перегружен.
Решение:
τ1, τ2 – представляем в виде декартовых координат, а область возможных значений поступлений τ1/τ2 есть T2
Рисунок 2
Решение задачи сводится к отношению ошибочной и полезной областей, область перезагрузки приемника находится в заштрихованной области. При сближении τ1 и τ2 область перегрузки уменьшается, говоря о высокой разрешающей способности приемника. Площадь заштрихованной области равняется s, тогда искомая вероятность есть отношение:
S= T2
s= T2-(T- τ)2
τ= 0,5 c, P(A)=0,75
Оптимальное обнаружение детерминированного сигнала с учётом критических ошибок.
На вход приёмника поступает либо случайный процесс в виде шума n(t), либо сумма полезного сигнала и помехи f(t).
Рассмотрим две гипотезы:
1) сигнал + помеха;
2) только помеха.
Априорные вероятности этих гипотез принимаются равновероятными.
Помеха n(t) при стрессовых Гауссовским шумом нулевым и средним и с выборочной дисперсией. В момент времени производится измерение входного процесса и по полученному значению алгоритм принимает решение: был на входе сигнал или не было. Кроме выборочного среднего и выборочной дисперсии иногда используется корреляционный момент. Из-за случайного характера процесса приёма решение в пользу гипотез и сопровождаются ошибками двух видов: ошибка первого рода (когда отвергается правильная гипотеза) носит название ложная тревога F; ошибка второго рода (когда принимается не правильная гипотеза) носит название пропуск сигнала H.
Пример No4.
Три источника сигнала генерируют на базовую станцию свои сигналы.
Стоит задача определить вероятность потери связи . Каждый источник из-за воздействия помех может потерять связь с базовой станцией.
Решение:
Назначим априорные вероятности потерь помехоустойчивости по каждому источнику:
Возникает задача проверки гипотез, которые ведут к событию A. Гипотеза - помехоустойчивость упала у одного источника.
Гипотеза – помехоустойчивость упала у двух источников.
Гипотеза – помехоустойчивость снизилась у всех трёх источников.
Предположим, что если помехоустойчивость снизилась у одного из источников, то вероятность потери связи равна 0,25.
Если только у двоих источников, то будет равняться 0,4. Если же у всех трёх, то это число будет 0,5.
Ответ: вероятность потери связи
Пример No5
Апостериорная вероятность гипотез.
По каналу связи передаются сигналы в виде кодовых комбинаций S1 и S0 с априорными вероятностями их передачи P1=0.7 и Р2=0.3. Из-за наличия помех вероятность правильного каждого символа в группе уменьшается до 0.6. Искажения кодовой комбинации происходит независимо друг от друга. Фиксируем прием символов: U=10110
Определить какая команда была передана.
S1=11111P1=0.7
S0=00000Р2=0.3
P0=0.6
U=10110 H1→S1
H0→S0
Решение:
P(A(H1))=0,6*0,4*0,6*0,6*0,4=0,035
P(A(H0))=0,4*0,6*0,4*0,4*0,6=0,023
P(H1(A))= =
P(H0/A)=0,22 → H1
Пример 6
Имеется множество абонентов – 1000, которые разбросаны по терминалам 2G, 3G, 4G, 5G и разбросаны по трем категориям Home, Corp, VIP
Рисунок 3
Абоненты взаимодействуют с БС образуя группу событий:
А1- БС обрабатывает сигнал абонента группы 2G
А2- БС обрабатывает сигнал абонента группы 3G
А3- БС обрабатывает сигнал абонента группы 4G
А4- БС обрабатывает сигнал абонента группы 5G
Таблица 1
Событие А
Событие В
T\G
2G
3G
4G
5G
Всего
H
50
300
90
0
440
C
50
50
0
100
200
V
0
150
60
150
360
100
500
150
250
1000
Какова вероятность обработки базовой станцией сигнала каждого из 4-х стандартов?
Возможно всего 4 исхода:
Р2G= =0,1; Р3G=0,5(Р(А)); Р4G=0,15; Р5G=0,25
Какова вероятность обработки базовой станцией сигнала любого из 4-х стандартов, но определенной группы?
Возможны всего 3 исхода:
PHome= ; Рcorp= 0,5; РVIP = 0,36(P(B))
Какова вероятность обработки базовой станцией сигнала VIP абонента стандарта 3G? Таких всего 150 человек.
Р(А) = РVIP 3G= =0,15
Примечание: если это событие Р(А) вычислять как произведение:
Р(АВ) = Р3G* РVIP=0,5*0,36=0,18 ≠ 0,15
следовательно, так считать нельзя.
Нужно вычислять условные вероятности Р(А/В)
Р(А/В) = P(3G/VIP)= =0,417
–