ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы дифференциальных уравнений

Классический метод решения системы дифференциальных уравнений высокого порядка связан с большими вычислительными затратами, особенно при определении частного решения неоднородной системы

ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для решения системы дифференциальных уравнений

Контрольная работа

Компьютеры, программирование

Другие контрольные работы по предмету

Компьютеры, программирование

Сдать работу со 100% гаранией

Министерство Топлива и Энергетики Украины

СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЯДЕРНОЙ ЭНЕРГИИ И ПРОМЫШЛЕННОСТИ

 

 

Практическое занятие №4

по дисциплине

«Использование ЭВМ в инженерных расчетах электротехнических систем»

 

 

Тема : ЭВМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА MathCad В СРЕДЕ WINDOWS 98 ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

 

Вариант №8

 

 

 

 

Выполнил: студент группы ЭСЭ 22-В

Левицкий П.В.

Проверил:_______________________

 

 

 

 

Севастополь 2008

ПЛАН

 

1. Данные варианта задания.

2. Решение системы дифференциальных уравнений, заданной в нормальной форме Коши

2.1 Теоретическое обоснование

2.2 Теоретическое обоснование применения преобразования Лапласа

2.3 Общее решение однородной системы

2.3.1 Определение аналитических зависимостей изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия с использованием переходной матрицы.

2.3.2 Определение аналитических зависимостей изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия с использованием функции Mathcad

2.3.3 Определение аналитических зависимостей изменения переменных состояния системы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия с использованием преобразования Лапласа

2.4Частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений

при заданном внешнем воздействии и нулевых начальных условиях

2.4.1 Решение с применением функций MATHCAD

2.4.2 Решение с применением преобразования Лапласа

2.5Частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений

при заданном внешнем воздействии y=cos(2t) и нулевых начальных условиях

2.5.1 Решение с помощью переходной матрицы

2.5.2 Численный метод решения системы дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях и заданном внешнем воздействии y=cos(2t) c помощью MATHCAD.

2.5.3 Решение системы дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях и заданном внешнем воздействии y=cos(2t) c помощью преобразования Лапласа

2.6 Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений

при заданном внешнем воздействии и начальных условиях

2.6.1 Решение с помощью функции MATHCAD

2.6.2 Решение с помощью преобразования Лапласа

2.6.3 Решение с помощью преобразования Лапласа (способ второй)

3. Выводы по работе №4.

 

1. Данные варианта задания

 

Система линейных дифференциальных уравнений в форме Коши

 

 

Таблица № 1

варКо э ф ф и ц и е н т ы с и с т е м ы д и ф ф е р н е ц и а л ь н ы х у р а в н е н и йНачальные условияа11а12а13а14а21а22а23а24а31а32а33а34а41а42а43а44b0b1b2b3х0(0)х1(0)х2(0)х3(0)8-2,41,41,6-1,8-2,6-120,64,0-0,8-0,85-0,10,20,41,21,0-1,50,10,200,600-0.85.1

Электротехническая система описывается заданной системой линейных дифференциальных уравнений с 4 искомыми функциями х0(t), x1(t),x2(t), x3(t):

 

Матрицы системы:

 

2. Решение системы дифференциальных уравнений, заданной в нормальной форме Коши

 

2.1 Теоретическое обоснование

 

Можно записать в виде матричного дифференциального уравнения:

 

или на основании правила дифференцирования матриц:

 

 

Совокупность решений системы дифференциальных уравнений будем искать в форме

 

 

здесь - общее решение однородной системы дифференциальных уравнений

 

X(t) - частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений .

Общее решение однородной системы дифференциальных уравнений

Для определения общего решения системы дифференциальных уравнений необходимо:

  • найти собственные значения λi матрицы А, используя выражение:

 

 

  • найти переходную матрицу:

 

 

где Р матрица, составленная из собственных векторов vi матрицы А, которые определяются из выражения:

Аvi = λi vi i = 1,2..n - одно из произвольных значений вектора-столбца (обычно принимают vi1 = 1)

 

Тогда причем - диагональная матрица.

 

Общее решение однородной системы дифференциальных уравнений будет иметь вид:

 

Частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений ищется:

 

 

Общее решение неоднородной системы дифференциальных уравнений тогда будет иметь вид:

 

 

В данной работе мы будем определять аналитические зависимости изменения переменных состояния системы численными методами с использованием переходной матрицы, а также с помощью специальных функций MATHCAD.

 

2.2 Теоретическое обоснование применения преобразования Лапласа

 

Классический метод решения системы дифференциальных уравнений высокого порядка связан с большими вычислительными затратами, особенно при определении частного решения неоднородной системы ( при вычислении интеграла). В этом случае целесообразно использовать преобразования Лапласа, что существенно упрощает вычисления и дает значительно большую обозримость решения. Можно отметить следующие преимущества метода преобразования Лапласа:

  1. Для решения системы дифференциальных уравнений методом преобразования Лапласа необходимо решить только одну-единственную систему алгебраических уравнений, а именно систему, определяющую изображение Xi(s) искомых функций хi(t).
  2. Начальные значения входят в эту систему с самого начала и поэтому учитываются автоматически, в то время как при применении классического метода предварительно необходимо найти сначала общие решения (для систем уравнений это весьма сложно) и затем подобрать постоянные интегрирования так, чтобы были удовлетворены начальные условия, что приводит к необходимости решения еще одной системы линейных уравнений. Часто встречающийся на практике случай нулевых начальных значений приводит при применении преобразования Лапласа к особенно простым вычислениям.
  3. Наконец, важное преимущество заключается в том, что каждая неизвестная функция может быть вычислена сама по себе, независимо от вычисления остальных неизвестных функций, что при использовании классическим методом при заданных начальных условиях в общем случае невозможно. Это преимущество особенно ценно, когда практический интерес представляет определение только одной-единственной, неизвестной, вычисление же остальных неизвестных необязательно.

 

2.3 Общее решение однородной системы

 

2.3.1 Определение аналитических зависимостей изменения переменных состояния системы с использованием переходной матрицы при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия.

Вычисление собственных значений квадратной матрицы А:

Функция identity (4) создаёт единичную матрицу размером 4*4

С помощью символьного процессора можно вычислить аналитически значение переменной, при котором выражение обращается в ноль. Для этого:

  • Введите выражение.
  • Выделите переменную, относительно которой будет решаться уравнение, приравнивающее выражение к нулю.
  • Выберите в меню Symbolics (Символика) пункт Variable / Solve (Переменная / Решить) .

В нашем случае, чтобы найти значения λ, которые являются корнями характеристического уравнения запишем выражение в Mathcad.

 

 

Для вычисления собственных значений матрицы А можно применить и функцию eigenvals, ключевое слово float применяется вместе со значением точности вывода результата с плавающей точкой.

 

 

Как видно, характеристическое уравнение имеет 4 различных корня, которые являются характеристическими числами матрицы А. Каждому характеристическому числу соответствует свой собственный вектор. Характеристическому числу λ1 соответствует собственный вектор р11; р21; р31; р41; числу λ2 соответствует собственный вектор р12; р22; р32; р42, числу λ3 соответствует собственный вектор р13; р23; р33; р43 числу λ4 соответствует собственный вектор р14; р24; р34; р44.

Тогда система дифференциальных уравнений будет иметь 4 решения. Первое соответствует корню λ1. Второе решение соответствует корню λ2. Третье решение соответствует корню λ3.Четвёртое решение соответствует корню λ4.

Преобразующую матрицу Р определяем по матрице А, используя дополнительную функцию eigenvecs(A) вычисляет матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А; n-й столбец вычисляемой матрицы соответствует собственному вектору n-го собственного значения, вычисляемого eigenvals;

 

 

Для получения общего решения однородной системы дифференциальных уравнений необходимо определить по переходной матрице аналитическое выражение изменения независимых переменных системы.

 

 

Также построим график их изменения при заданных начальных условиях и отсутствии внешнего воздействия.

Поиск обратной матрицы возможен, если матрица квадратная и ее определитель не равен нулю. Произведение исходной матрицы на обратную по определению является единично

Похожие работы

1 2 3 > >>