Шпора 2 по мат анализу

Íåÿâíàÿ ôóíêöèÿ îäíîé ïåðåìåííîé. Ïóñòü â íåêîòîðîé îáëàñòè ïëîñêîñòè çàäàíà ôóíêöèÿ , è ïóñòü ëèíèÿ óðîâíÿ ýòîé ôóíêöèè , îïðåäåëÿåìàÿ

Шпора 2 по мат анализу

Информация

Математика и статистика

Другие материалы по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией

1.Метрические, линейные, нормированные пространства.

2.Понятие функции m переменных. Предел функции m переменных.

Понятие:

Ïóñòü äàíû ìíîæåñòâà DRn è IR.

Îïðåäåëåíèå 1. Åñëè êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà D ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå åäèíñòâåííîå ÷èñëî ó èç I, òî ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà ôóíêöèÿ n ïåðåìåííûõ ó=f(x1, …, xn). Ìíîæåñòâî D íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè D(ó)=D, ìíîæåñòâî I íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé ôóíêöèè I (ó)= I.

Åñëè çàôèêñèðîâàòü ëþáûå n-1 ïåðåìåííûå, òî ôóíêöèÿ ìíîãèõ ïåðåìåííûõ ïðåâðàùàåòñÿ â ôóíêöèþ îäíîé ïåðåìåííîé. x2=ñ2, x3=ñ3, …, õn=cn; y=f(x1, c2, …, cn) - ôóíêöèÿ îäíîé ïåðåìåííîé õ1.

Ïðèìåð. - ôóíêöèÿ äâóõ ïåðåìåííûõ,

- ôóíêöèÿ òðåõ ïåðåìåííûõ.

Пусть имеется n+1 переменная x1, x2, ..., xn, y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x1, x2, ..., xn соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x1, x2, ..., xn называется значением функции f в точке (x1, x2, ..., xn), что записывается в виде формулы y=f(x1,x2,..., xn) или y=y(x1,x2,..., xn).

Переменные x1, x2, ..., xn являются аргументами этой функции, а переменная y функцией от n переменных.

 

3.Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè m ïåðåìåííûõ. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè m ïåðåìåííûõ ïî îäíîé èç ïåðåìåííûõ.

4.Íåïðåðûâíîñòü ñëîæíîé ôóíêöèè.

Ïóñòü ôóíêöèÿ j(t) íåïðåðûâíà â òî÷êå t0 è ôóíêöèÿ f(x) íåïðåðûâíà â òî÷êå õ0=j(t0). Òîãäà ôóíêöèÿ f(j(t)) íåïðåðûâíà â òî÷êå t0.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîé òåîðåìû âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìàëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì äâóõ ñòðî÷åê êâàíòîðîâ. Èìååì

Âûïèñûâàÿ ïîä÷åðêíóòûå êâàíòîðû, ïîëó÷èì, ÷òî

,

÷òî è ãîâîðèò î òîì, ÷òî f(j(t)) íåïðåðûâíà â òî÷êå t0. <

Îáðàòèòå âíèìàíèå íà ñëåäóþùèå äåòàëè:

à) ò.ê. x=j(t), òî |j(t)-j(t0)|<d ìîæåò áûòü çàïèñàíî êàê |x-x0|<d, è f(x) ïðåâðàùàåòñÿ â F(j(t));

á) ïðè îïðåäåëåíèè íåïðåðûâíîñòè j(t) â òî÷êå t0 â ïåðâîì êâàíòîðå ñòîèò áóêâà d. Ýòî íåîáõîäèìî äëÿ ñîãëàñîâàíèÿ ñ êâàíòîðîì â ïðåäûäóùåé ñòðîêå è âçàèìíîãî óíè÷òîæåíèÿ . Ëþáàÿ äðóãàÿ áóêâà íà ýòîì ìåñòå íå äàëà áû âåðíîãî ðåçóëüòàòà.

5.×àñòíûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè m ïåðåìåííûõ.

6.Äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèè m ïåðåìåííûõ.

7.Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè m ïåðåìåííûõ.

8.Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñëîæíîé ôóíêöèè.

9.Ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ. Ãðàäèåíò.

Производная по направлению. Если в n-мерном пространстве задан единичный вектор , то изменение дифференцируемой функции в направлении этого вектора характеризуется производной по направлению: . В частности, для функции трех переменных , - направляющие косинусы вектора .

Градиент. Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора и вектора с координатами , который называется градиентом функции и обозначается . Поскольку , где - угол между и , то вектор указывает направление скорейшего возрастания функции , а его модуль равен производной по этому направлению.

 

10.Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû. Êðèòåðèè Ñèëüâåñòðà çíàêîîï&#

Похожие работы

1 2 3 4 5 > >>