Билеты по математическому анализу

Пр-р. Пусть ф-ция явл-ся пр-ной ф-цией некоторой фирмы, напр. объем вып-ка продукции, а арг. х-числ. раб. силы. Хар-ный график этой

Билеты по математическому анализу

Вопросы

Математика и статистика

Другие вопросы по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией

Билеты по математическому анализу

 

Осн. понятия

Грани числовых мн-в

Числовые последовательности

Непр. ф-ции на пр-ке

 

1. Осн. понятия

Мат.модель любой набор кр-ний; неравенств и иных мат. Соотношений, которая в совокупности описывает интересующий нас объект.

Мн-во вещест. чисел разбивается: на рационал. и иррац. Рац. число, которое можно представить в виде p/q где p и q цел. числа. Иррац. всякое вещественное число, которое не явл. рационал.

Любое вещ. число можно представить в виде бесконеч. десят. Дроби а, а1,а2…аn… где а люб. число, а а1, а2 … аn числа, приним. целые знач.

Некоторые числовые множества.

Мн-ва первичное понятие, на уровне здравого смысла, его не возможно точно определить.

Для описания мн-в единая символика, а именно, если в мн-во А входят только эл. х, которые обладают некоторым св-вом S(x), то тогда мн-во А описывается А={х вып-ся усл S(x)}.

Подмн-ва если А и В 2 мн-ва и все эл-ты мн-ва А сод-ся в В, то А наз-ся подмн-вом В, А В, если в В сод-ся эл-ты отличные от эл-тов мн-ва А, то В строго шире А, то А наз-ся собственным подмн-вом В. АВ. А=В- мн-ва совпадают.

Операции с мн-воми А В={х!х принадл. либо А, либо В} обьединение мн-в А и В.

А В={ххА и хВ} пересечение мн-в А и В.

А\ В={ххА, но хВ}дополн. к м-ву В во мн-ве А

Числовые мн-ва

R,N,Z,Q - стандартные обозначения мн-в на числ. прямой. (а,в)= {ха<х<в} интервал из R (открытый промежуток, т.к. не содержит границ)

[а,в] замкнутый промежуток сод. гранич. т-ки.

(а,в] полуинтервал.

Окрестностью т-ки х наз-ся любой интервал содержащий т-ку х, необязательно симметричную.

2. Грани числовых мн-в

Пусть Х непустое мн-во веществ. чисел.

Мн-во Х назся огран. сверху(снизу), если сущ-ет число с такое, что для любого х Х вып-ся неравенство сх(хс). Число с наз-ся верхн.(нижн.) гранью мн-ва Х. Мн-во, огран. сверху и снизу наз-ся ограниченым

Если мн-во имеет 1 верхнюю грань то она имеет их бесчисленное мн-во.

Пример X=R+ - ограничено снизу, но не сверху, значит не ограничено.

Точные грани числовых мн-в

Пусть мн-во Х ограничено сверху, если это мн-во содержит макс число, т.е. наименьшую из своих верхних граней, то это число назся макс мн-ва Х и обозначается Х*=maxX. Если мн-во содержит мин число Х* , то оно min мн-ва Х

Пример Х=[0,1) то max[0,1) не . min [0,1)=0

Число Х* наз-ся точной верхн. гранью, мн-ва Х, если во-первых оно явл. верхн. гранью этого мн-ва, а во-вторых при сколь угодном уменьшении Х* получ. число перестает быть верх. гранью мн-ва.

Верхн. грань supX=x*, а нижн. грань infX=x*

Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числ. мн-во имеет точную верх(ниж) грань.

Таким образом у огран. мн-ва обе грани , док-во основано на непрерывности мн-ва действит. чисел.

3. Числовые последовательности

Если для каждого нат. числа n определено некоторое правило сопоставляющее ему число xn, то мн-во чисел х1,х2, … ,хn, … наз-ся числовой последовательностью и обозначается {xn}, причем числа образующие данную посл-ть наз-ся ее эл-ми, а эл-т хn общим эл-том посл-ти .

!Порядок следования эл-тов оч. важен, перестановка хотя бы 2-х эл-тов приводит к др. посл-ти.

Основные способы задан. посл-ти:

а) явный, когда предъявляется ф-ла позволяющая по заданному n вычислить любой эл-т n, т.е. xn=f(n), где f- некоторая ф-ция нат. эл-та.

б) неявный, при котором задается некоторое рекуррентное отношение и несколько первых членов посл-ти.

Пример:

а) xn=5n x1=5, x2=10

б) x1=-2 xn=4n-1 3, n=2,3… х2=-11, х3=-47

 

Ограниченные последовательности(ОП)

Посл-ть {xn} наз-ся огран. сверху(снизу), если найдется какое-нибудь число {xn} M(m) xnM n (xnm n) посл-ть наз-ся огранич., если она огранич. сверху и снизу.

Посл-ть {xn} наз-ся неогранич., если для любого полного числа А сущ-ет эл-т хn этой посл-ти, удовлетворяющий неравенству xn>А.

 

Сходящиеся и расходящиеся посл-ти

Св-ва сходящихся посл-тей

Теорема Об единственности пределов

Теорема Сходящаяся посл-ть ограничена

Теорема О сходимости монотон. посл-ти

4. Сходящиеся и расходящиеся посл-ти

Большое внимание уд-ся выяснению вопроса: обладает ли данная посл-ть сл-щим св-вом (сходимости) при неогранич. Возрастании номеров посл-ти эл-ты посл-ти сколь угодно близко приближаются к некоторому числу а или же этого св-ва нет.

Опр Если для любого >0 найдется такой номер N, для любого n >N:xn-a<

Все посл-ти имеющие предел наз-ся сходящимися, а не имеющее его наз-ся расходящимися.

 

Связь сходящихся посл-тей и б/м.

Дает сл. теорему

Теорема Для того чтобы посл-ть xn имела пределом число а необходимо, чтобы эл-ты этой посл-ти можно было представить в виде xn=a+n, где посл-ть {n}0, т.е. является б/м.

Док-во

а) Допустим, что xna и укажем посл-ть n удовл. равенству xn=a+n. Для этого просто положим n=xn-a, тогда при nxn-a равно растоянию от xn до а 0 => n б/м и из равенства преобразования определяю n получаем xn=a+n.

 

Свойство б/м

Если {xn},{yn}- любые посл-ти, то их сумма {xn+yn}, это есть пос-ть с общим членом xn+yn. Аналогично с разностью, частным и умножением.

Т-ма о св-вах б/м

а) {xn}и{yn}-б/м пос-ти, б/м

1) их сумма, разность и произведение являются б/м

2) Произведение любой огранич. посл-ти на б/м являются б/м

!О частном не говорят, т.е. частное б/м может не быть б/м.

Посл-ть {xn} явл. б/б, если для любого числа с>0 сущ-ет номер N для всех номеров n>N xn>c.

!Понятие б/б не совпадает с неограниченной: посл-ть может быть неогранич., но не является б/б.

Пример 1,1/2,3,1/4,5,1/6,7… явл. неогранич., т.е. принимает сколь угодно большие по модулю значения, однако в ней имеются эл-ты со сколь угодно большими номерами принимающие дробные знач. и сколь угодно малые по модулю.

 

Св-ва сходящихся посл-тей

Теорема Об единственности пределов

Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел.

Док-во (от противного)

{xn} имеет два разл. Предела a и b, аb. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в точке b. Возьмем два радиуса = (b-a)/2, т.к. эти окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на.

Теорема Сходящаяся посл-ть ограничена

Пусть посл-ть {xn}а >о N:n>Nxn-a< эквивалентна а-<xn<a+ n>N => что каждый из членов посл-ти удовлетворяет неравенствуxn c = max {a-,a+,xn,…,xn-1}

Теорема Об арифметических дейсьвиях

Пусть посл-ть {xn}a,{yn}b тогда арифметические операции с этими посл-тями приводят к посл-тям также имеющие пределы, причем:

а) предел lim(n)(xnyn)=ab

б) предел lim(n)(xnyn)=ab

в) предел lim(n)(xn/yn)=a/b, b0

Док-во:

а)xnyn=(а+n)(b+n)=(ab)+(nn) Правая часть полученная в разности представляет сумму числа a+b б/м посл-тью, поэтому стоящая в левой части xn+yn имеет предел равный ab. Аналогично др. св-ва.

б) xnyn=(а+n)(b+n)=ab+nb+an+nn

nb это произведение const на б/м

аn0, nn0, как произведение б/м.

=> поэтому в правой части стоит сумма числа аb+ б/м посл-ть. По т-ме О связи сходящихся посл-тей в б/м посл-ти в правой части xnyn сводится к ab

Практический вывод состоит в том, что нахожд. пределов посл-тей заданных сл. выражениями можно сводить к более простым задачам вычисления lim от составляющих этого выр-ния

Посл-ть {xn} наз-ся возр., если x1<…<xn<xn+1<…;

неубывающей, если x1x2…xnxn+1…; убывающей, если x1>x2>…>xn>xn+1>…; невозр., если x1x2…xnxn+1…

Все такие посл-ти наз-ся монотонными. Возр. и убыв. наз-ся строго монотонными

Монотонные посл-ти ограничены с одной стороны, по крайней мере. Неубывающие ограничены снизу, например 1 членом, а не возрастыющие ограничены сверху.

Теорема О сходимости монотон. посл-ти

Всякая монотонная посл-ть явл-ся сходящейся, т.е. имеет пределы.

Док-во Пусть посл-ть {xn} монотонно возр. и ограничена сверху. X все мн-во чисел которое принимает эл-т этой посл-ти согласно усл. Теоремы это мн-во огранич., поэтому по соотв. Теореме оно имеет конечную точную верх. грань supX xnsupX (обозначим supX через х*). Т.к. х* точная верх. грань, то xnx* n. >0 вып-ся нер-во xm(пусть m- это n с крышкой):xm>x*- при n>m => из указанных 2-х неравенств получаем второе неравенство x*-xnx*+ при n>m эквивалентно xn-x*< при n>m. Это означает, что x* явл. пределом посл-ти.

 

Экспонента или число е

Ф-ции одной переменной

Обратные ф-ции

6. Экспон

Похожие работы

1 2 3 4 5 > >>