Особое решение данного диф. ур-я (1) ни при каком значении константы С не может быть получено из общего решения..
Вопрос №17
Диф. ур-ем с разделёнными перемеными принято называть ур-е вида (1):
(1)
Если y=y(x) является решением ур-я (1), то и правая и левая части этого ур-я представляют собой дифференциалы от переменной x, т.е. имеем равенство двух дифференциалов, то тогда неопределённые интегралы отличается разве лишь на константу. Т.е. интегрируя равенство (1), получаем общее решение данного диф. ур-я:
Уравнения с разделяющимися переменными:
Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделёнными переменными.
докажем, что это ур-е можно привести к ур-ю с разделёнными переменными.
Т.е.
Если
т.е.
Пример:
Билет №15
Дивергенция , циркуляция ротор вектора
Пусть задана некоторая пространственная область Д над которой определенно поле вектора и S некоторая поверхность в данной поверхности Д
Рассмотрим интеграл , выражающий поток вектора через поверхность S
Обозначим Аx = P(x,y,z) , Ay =Q(x,y,z) , Az = R(x,y,z)
поверхность S ограничивает тело Д1
- расходимость (дивергенция ) вектора
- уравнение Остроградского-Гаусса
Ап проекция вектора на нормаль поверхности
Циркуляция , вихрь и ротор вектора
Пусть в пространстве задано некоторое тело Д и пусть в теле Д рассматривается некоторая кривая L , которая гладкая , имеет непрерывно изменяющуюся касательную
Обозначим через ,, углы , образует касательная к кривой L с осями координат
Пусть над этим телом определенно поле вектора
Тогда криволинейный интеграл по кривой L
Рассуждая как и прежде можно показать , что
L0 - единичный вектор касательной L1
L1 - касательный вектор к кривой L
Если кривая L является замкнутой кривой , то такой интеграл принято называть циркуляцией вектора вдоль замкнутого контура L - циркуляция
Пусть теперь в некоторой области Д задана поверхность S , контур которой обозначим через L
- формула Стокса
Ротором векторного поля называется вектором (или вихрем) , имеющий следующие координаты и обозначающиеся
Циркуляцией вектора вдоль поверхности S равна потоку вектора через заданную поверхность S
- формула СтоксаБилет №13
Криволинейные интегралы в пространстве и объем тела в криволинейных координатах
Пусть в пространстве OXYZзадано тело G.И пусть в другом пространстве OUVW задано тело Д
И пусть заданы 3 функции
взаимно однозначно отображающие область Д в области G
Будем считать функции x,y,z непрерывными и имеющие непрерывные частные производные
Рассмотрим Якобиан
Можно показать , что в случае взаимно однозначного отображения области Д и G якобиан ни в одной точке области Д не обращается в 0
А значит в области Д сохраняет один и тот же знак Координаты (U,V,W) принято называть криволинейными координатами точек области G
И тогда можно показать , что объем области G в криволинейных координатах выражается по следующей формуле
Если теперь в области G будет задана функция f(x,y,z) непрерывная в этой области, то справедлива следующая формула замены переменных в тройном интеграле
При замене переменных в тройном интеграле наиболее часто используются цилиндрические и сферические координаты
Под цилиндрическими координатами следует понимать объединение полярных координат на плоскости XOY и аппликаты z ,,z
-расстояние от начала координат до проекции тМ на плоскость
-угол , образованный радиус вектором ОМ , в пол направлении
циллиндрические координаты
0 < + , 0 < 2 , -< z < +
Подсчитаем якобиан в случае цилиндрических координат
- угол , образованный проекцией радиус-вектора тМ
-угол, образованный радиус-вектором тМ
- радиус-вектор тМ, равный ОМ
Сферическими координатами принято называть ,,
Где - расстояние от начала координат до тМ
- угол , образованный радиус-вектора с осью Z
- угол, образованный проекции радиус-вектора с осью X
=(ОМ) 0 < + , 0 < , 0 < < 2
Найдем якобиан для сферических координат
=cos[2 cos2 cos sin + 2 sin2 sin cos] + sin [ sin2 cos2 + sin2 sin2 ] =2 cos2 sin + 2 sin3 =2 sin I(,,)=2sin
Вопрос №18
Пусть задана функция в области Д, полкости XOY, функцию называют однородной функцией m-той степени относительно переменных x и y, если каково бы ни было число t>0, выполняется равенство:
Пример:
Определение: диф. ур-е 1 порядка разрешённое относительно производной называется однородным диф. ур-ем 1 порядка, если его правая чаcть (функция f(x,y)) является однородной функцией 0-й степени.
Метод решения: Пусть (1) является однородным уравнением (1).
Пусть
2) если то
т.е.
Билет№20 Линейные диф.
Уравнения1- порядка. Метод подстановки.
Линейным уравнением 1-го порядка называют
уравнения вида:
y+yP(x)=Q(x) где P(x) и Q(x) некоторые
функции переменной х , а y и y входят в уравнение
в 1 степени.
1.Метод подстановки:
Будем искать решение уравнения 1 в виде
произведения y=U(x)V(x) при чём так, что мы
можем подобрать одну из функций по желанию,
а вторую так, чтобы удовлетворяла (1) :
y=UV+UV ; UV+UV+UV*P(x)=Q(x) ;
UV+U(V+V*P(x))=Q(x)
Найдём V ,чтобы V+VP(x)=0 :
Тогда UV=Q(x)
y+y cos(x)=1/2 sin(2x) y=UV
UV+UV+UVcos(x)=sin(x)cos(x)
V+Vcos(x)=0 dV/V=-cos(x)dx
ln(V)= -sin(x) V=e-sin(x)
sin(x)=t
Билет №22
Уравнение Бернулли и Рикотти и их решение.
Уравнение Бернулли это диф. Ур-е следующего вида :
где P(x) и Q(x) непрерывные функции m действительное число 0 и 1
разделим уравнение на ym :
- приведем его к линейному
Обозначим через а теперь диференциируем
теперь подставим в уравнение
получили линейное уравнение .
Уравнение Рикотти это диф. следующего вида
Где P(x),q(x),r(x) некоторые непрерывные функции
Рассмотрим несколько случаев
1) если ф-ции P(x) , Q(x) и r(x) явл. Константами то в этом случае сущ. решением ур-я Рикотти т.к. в этом случае ур-е явл. Ур-ем с разделенными переменными .
2) если q(x)=0 имеем лин. Ур-ние
3) если r(x)=0 то имеем ур-е Бернулли
Если не выполяется ни одно из этих 3 условий , то ур-е Рикотти решить нельзя , неразрешимо в квыадратурах . Однако если эти три случая , но возможно найти хотя бы одно частное решение этого ур-я то ур-е решается в квадратуре .
Установим это : пусть - явл. Часным решением ур-я Рикотти т.е.
тогда введем новую функцию z=z(x)
Положем ,
Подставив в уравнение получим
а это ур-е Бернулли
Билет №23
Уравнение в полных дифференциалах и их решение
Пусть задано диф. ур-е ел. Вида:
где P(x,y) и Q(x,y) непрер. Функции имеющие непрерыв часн. Производную 2 порядка включительно.
Диф. ур. Назыв. Ур-ем в полных диф-лах , если такое что
т.е. ур. В этом случае имеет вид :
это уравнение явл полным диф. функции U как ф-ции двух переменных:
если выполняется равенство тогда то левая часть а тогда его решение
- общий интеграл диф. Ур.
Теорема о необходимости и достаточности условия того что Ур было ур-ем в полных дифференциалах
Теорема : Для того чтобы ур было ур-ем в полных диф. в некоторой Д принадл ХОУ
Необх. И дост. Чтобы во всех точках обл. Д выполн равенство если условие выполняется можно найти ф-цию что будет выполняться рав-во след. Образом.
найдем Билет№21.
Метод вариации производной постоянной при решении линейного диф. уравнения 1-го порядка.
y+P(x)y=Q(x) (1) -задано линейное неоднородное уравнение. Рассмотрим соотв. ему однородное уравнение y=P(x)y=0 (2). Найдём общее решение:
Будем искать решение в том же виде, что и однородного, только считая с не произвольной константой ,а функцией от х :
Билет№19 Уравнения, приводящиеся к однородным.
К таким уравнениям относят уравнения вида:
где a,в,с - const
1)Введём: чтобы исчезли с1 и с2 После нахождения конкретных k и h и подстановки их в наше уравнение, с учётом того, что получаем : Это уравнение является однородным и решается подстановкой
2). Тогда: Подставим : Сделаем замену:
1). Допустим φ(z)=x+c φ(a2x+b2y)=x+c
2). Теперь допустим Тогда получим z=c.
Билет №24
Интегральный множитель и его нахождение
Пусть задано диф. ур-ние в диф. форме вида :
не всякое такое уравнение явл. Уравнением в полных виференциалах однако доказано что для всякого тако
