Билеты по математике

Зафиксируем любую точку M0(x0,y0,z0). Рассмотрим кривую проходящую через эту точку. Пусть уравнение этой кривой будет x=x(t) y=y(t) z=z(t) где

Билеты по математике

Вопросы

Математика и статистика

Другие вопросы по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией
я.

Особое решение данного диф. ур-я (1) ни при каком значении константы С не может быть получено из общего решения..

Вопрос №17

Диф. ур-ем с разделёнными перемеными принято называть ур-е вида (1):

(1)

Если y=y(x) является решением ур-я (1), то и правая и левая части этого ур-я представляют собой дифференциалы от переменной x, т.е. имеем равенство двух дифференциалов, то тогда неопределённые интегралы отличается разве лишь на константу. Т.е. интегрируя равенство (1), получаем общее решение данного диф. ур-я:

Уравнения с разделяющимися переменными:

Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделёнными переменными.

докажем, что это ур-е можно привести к ур-ю с разделёнными переменными.

Т.е.

Если

т.е.

Пример:

Билет №15

Дивергенция , циркуляция ротор вектора

Пусть задана некоторая пространственная область Д над которой определенно поле вектора и S некоторая поверхность в данной поверхности Д

Рассмотрим интеграл , выражающий поток вектора через поверхность S

Обозначим Аx = P(x,y,z) , Ay =Q(x,y,z) , Az = R(x,y,z)

поверхность S ограничивает тело Д1

- расходимость (дивергенция ) вектора

- уравнение Остроградского-Гаусса

Ап проекция вектора на нормаль поверхности

Циркуляция , вихрь и ротор вектора

Пусть в пространстве задано некоторое тело Д и пусть в теле Д рассматривается некоторая кривая L , которая гладкая , имеет непрерывно изменяющуюся касательную

Обозначим через ,, углы , образует касательная к кривой L с осями координат

Пусть над этим телом определенно поле вектора

Тогда криволинейный интеграл по кривой L

Рассуждая как и прежде можно показать , что

L0 - единичный вектор касательной L1

L1 - касательный вектор к кривой L

Если кривая L является замкнутой кривой , то такой интеграл принято называть циркуляцией вектора вдоль замкнутого контура L - циркуляция

Пусть теперь в некоторой области Д задана поверхность S , контур которой обозначим через L

- формула Стокса

Ротором векторного поля называется вектором (или вихрем) , имеющий следующие координаты и обозначающиеся

Циркуляцией вектора вдоль поверхности S равна потоку вектора через заданную поверхность S

- формула СтоксаБилет №13

Криволинейные интегралы в пространстве и объем тела в криволинейных координатах

Пусть в пространстве OXYZзадано тело G.И пусть в другом пространстве OUVW задано тело Д

И пусть заданы 3 функции

взаимно однозначно отображающие область Д в области G

Будем считать функции x,y,z непрерывными и имеющие непрерывные частные производные

Рассмотрим Якобиан

Можно показать , что в случае взаимно однозначного отображения области Д и G якобиан ни в одной точке области Д не обращается в 0

А значит в области Д сохраняет один и тот же знак Координаты (U,V,W) принято называть криволинейными координатами точек области G

И тогда можно показать , что объем области G в криволинейных координатах выражается по следующей формуле

Если теперь в области G будет задана функция f(x,y,z) непрерывная в этой области, то справедлива следующая формула замены переменных в тройном интеграле

При замене переменных в тройном интеграле наиболее часто используются цилиндрические и сферические координаты

Под цилиндрическими координатами следует понимать объединение полярных координат на плоскости XOY и аппликаты z ,,z

-расстояние от начала координат до проекции тМ на плоскость

-угол , образованный радиус вектором ОМ , в пол направлении

циллиндрические координаты

0 < + , 0 < 2 , -< z < +

Подсчитаем якобиан в случае цилиндрических координат

- угол , образованный проекцией радиус-вектора тМ

-угол, образованный радиус-вектором тМ

- радиус-вектор тМ, равный ОМ

Сферическими координатами принято называть ,,

Где - расстояние от начала координат до тМ

- угол , образованный радиус-вектора с осью Z

- угол, образованный проекции радиус-вектора с осью X

=(ОМ) 0 < + , 0 < , 0 < < 2

Найдем якобиан для сферических координат

=cos[2 cos2 cos sin + 2 sin2 sin cos] + sin [ sin2 cos2 + sin2 sin2 ] =2 cos2 sin + 2 sin3 =2 sin I(,,)=2sin

 

Вопрос №18

Пусть задана функция в области Д, полкости XOY, функцию называют однородной функцией m-той степени относительно переменных x и y, если каково бы ни было число t>0, выполняется равенство:

Пример:

Определение: диф. ур-е 1 порядка разрешённое относительно производной называется однородным диф. ур-ем 1 порядка, если его правая чаcть (функция f(x,y)) является однородной функцией 0-й степени.

Метод решения: Пусть (1) является однородным уравнением (1).

Пусть

2) если то

т.е.

Билет№20 Линейные диф.

Уравнения1- порядка. Метод подстановки.

Линейным уравнением 1-го порядка называют

уравнения вида:

y+yP(x)=Q(x) где P(x) и Q(x) некоторые

функции переменной х , а y и y входят в уравнение

в 1 степени.

1.Метод подстановки:

Будем искать решение уравнения 1 в виде

произведения y=U(x)V(x) при чём так, что мы

можем подобрать одну из функций по желанию,

а вторую так, чтобы удовлетворяла (1) :

y=UV+UV ; UV+UV+UV*P(x)=Q(x) ;

UV+U(V+V*P(x))=Q(x)

Найдём V ,чтобы V+VP(x)=0 :

Тогда UV=Q(x)

y+y cos(x)=1/2 sin(2x) y=UV

UV+UV+UVcos(x)=sin(x)cos(x)

V+Vcos(x)=0 dV/V=-cos(x)dx

ln(V)= -sin(x) V=e-sin(x)

sin(x)=t

Билет №22

Уравнение Бернулли и Рикотти и их решение.

Уравнение Бернулли это диф. Ур-е следующего вида :

где P(x) и Q(x) непрерывные функции m действительное число 0 и 1

разделим уравнение на ym :

- приведем его к линейному

Обозначим через а теперь диференциируем

теперь подставим в уравнение

получили линейное уравнение .

Уравнение Рикотти это диф. следующего вида

Где P(x),q(x),r(x) некоторые непрерывные функции

Рассмотрим несколько случаев

1) если ф-ции P(x) , Q(x) и r(x) явл. Константами то в этом случае сущ. решением ур-я Рикотти т.к. в этом случае ур-е явл. Ур-ем с разделенными переменными .

2) если q(x)=0 имеем лин. Ур-ние

3) если r(x)=0 то имеем ур-е Бернулли

Если не выполяется ни одно из этих 3 условий , то ур-е Рикотти решить нельзя , неразрешимо в квыадратурах . Однако если эти три случая , но возможно найти хотя бы одно частное решение этого ур-я то ур-е решается в квадратуре .

Установим это : пусть - явл. Часным решением ур-я Рикотти т.е.

тогда введем новую функцию z=z(x)

Положем ,

Подставив в уравнение получим

а это ур-е Бернулли

 

 

 

 

 

 

 

Билет №23

Уравнение в полных дифференциалах и их решение

Пусть задано диф. ур-е ел. Вида:

где P(x,y) и Q(x,y) непрер. Функции имеющие непрерыв часн. Производную 2 порядка включительно.

Диф. ур. Назыв. Ур-ем в полных диф-лах , если такое что

т.е. ур. В этом случае имеет вид :

это уравнение явл полным диф. функции U как ф-ции двух переменных:

если выполняется равенство тогда то левая часть а тогда его решение

- общий интеграл диф. Ур.

Теорема о необходимости и достаточности условия того что Ур было ур-ем в полных дифференциалах

Теорема : Для того чтобы ур было ур-ем в полных диф. в некоторой Д принадл ХОУ

Необх. И дост. Чтобы во всех точках обл. Д выполн равенство если условие выполняется можно найти ф-цию что будет выполняться рав-во след. Образом.

найдем Билет№21.

Метод вариации производной постоянной при решении линейного диф. уравнения 1-го порядка.

y+P(x)y=Q(x) (1) -задано линейное неоднородное уравнение. Рассмотрим соотв. ему однородное уравнение y=P(x)y=0 (2). Найдём общее решение:

Будем искать решение в том же виде, что и однородного, только считая с не произвольной константой ,а функцией от х :

Билет№19 Уравнения, приводящиеся к однородным.

К таким уравнениям относят уравнения вида:

где a,в,с - const

1)Введём: чтобы исчезли с1 и с2 После нахождения конкретных k и h и подстановки их в наше уравнение, с учётом того, что получаем : Это уравнение является однородным и решается подстановкой

2). Тогда: Подставим : Сделаем замену:

1). Допустим φ(z)=x+c φ(a2x+b2y)=x+c

2). Теперь допустим Тогда получим z=c.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Билет №24

Интегральный множитель и его нахождение

Пусть задано диф. ур-ние в диф. форме вида :

не всякое такое уравнение явл. Уравнением в полных виференциалах однако доказано что для всякого тако

Похожие работы

<< < 1 2 3 4 5 >