n
n= STi
i=1
А тогда принято считать, что площадью поверхности является
n
S=lim n=lim STi ,
i=1
где - наибольший из диаметров площадей Di.
Нетрудно показать, что такой предел будет равен
S=lim n= (1/cos )dx dy,
0 D
где - угол, образованный нормалью к поверхности с осью oz.
Доказательство:
Через i обозначим угол, который образует касательную плоскость с плоскостью xoy. В точке Mi проводим нормаль к поверхности. Получаем, что угол, образованный касательной плоскостью с плоскостью xoy равен углу, образованному нормалью к поверхности с осью oz. Площадь Di есть проекция плоскости Ti , которая лежит на касательной плоскости. А тогда SDi=STi*cos i .
А тогда получаем, что
n n n
n= STi= SDi / cos i = (1/cos i)*SDi .
i=1 i=1 i=1
Получили, что данная сумма является суммой Римена для такого двойного интеграла:
(1/cos )dx dy.
D
Получили , что площадь поверхности Q , заданной явным уравнением , вычисляется по такой формуле :
SQ= (1/cos )dx dy.
D
Если поверхность задана явным уравнением , то
cos =1/ (1+p2+q2 n)=1/(1+zx'2+zy'2 ).
В случае явного задания поверхности
SQ=(1+zx'2+zy'2)dx dy =(1+p2+q2)dx dy
D D
Если теперь поверхность Q задана параметрическими уравнениями
x=x(u,v)
y=y(u,v) (u,v)єG ,
z=z(u,v)
где функции x,y,z непрерывны со своими частными производными, то в этом случае площадь поверхности вычисляется по следующей формуле
SQ=(A2+B2+C2) du dv,
где А,B,C-есть раннее введенные функциональные определители.
8.Касательная пл-ть к пов-ти и её ур-е в случае явного и не явного задания пов-ти.
1) не явное. Пусть поверхность задаётся не явным уравнением F(x,y,z)=0. Эта функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные.
Здесь рисунок.
Зафиксируем любую точку M0(x0,y0,z0). Рассмотрим кривую проходящую через эту точку. Пусть уравнение этой кривой будет x=x(t) y=y(t) z=z(t) где . Предположим что эти функции непрерывны и имеют непрерывные частные производные по t . Пусть т. M0 соответствует значению параметра t=t0 x0=x(t0) y0=y(t0) z0=z(t0). Т.е. M0(x(t0),y(t0),z(t0))=M0(x0,y0,z0) , т.к. кривая Г лежит на пов-ти, то она удовлетворяет уравнению поверхности т.е. F(x(t),y(t),z(t)) 0, берём производную . Посмотрим это рав-во в т.M0 т.е. t=t0 получим ; Введём обозначение через , а через , а так как то проведём через точку М0 любую кривую. из рассмотренных равенств заметим, что любые кривые на пов-ти, кот-е являются непрерывными , всегда будет выполнятся рав-во , а это рав-во показывает что вектор будет ортогонален к любому касательному вектору , кот-й проходит через эту точку М0, значить все касательные s лежат в одной плос-ти перпендикулярно к . Эту плос-ть состоящую из касательных векторов называют касательной плоскостью к поверхности в т. М0, а вектор наз нормальным вектором плоскости в т. М0. в случае не явно. Прямая проходящая через т. М0 и перпендикулярная к касательной плоскости поверхности называют нормалью поверхности. Но тогда ур-е прямой поверхности проходящую через т. М0: .
2) явно. пусть пов-ть задаётся явным ур-ем z=f(x,y), где (x,y)D f - ф-ция непрерывна и имеет непрерывные частные производные. ; ;
z-f(x,y)=0; F(x,y,z);
;;
;
; ;
это ур-е пов-ти.
Вопрос№11
Если пов-ть Р задана параметрич. ур-ями
(u,v) G
ф-ии x,y,z непрерывны с частными производными то поверхностный интеграл 1-го рода вычисл. С помощью интеграла двойного рода,взятого по обл. G по ф-ле:
Если пов-ть Р задается явным урав. Z=F(x,y)=z(x,y)
Где (x,y),причем ф-ия F-непрерыв. Со своими
Часными произв.,то поверхностный интегр.1-го рода
Вычисл.по ф-ле :
где P и Q соотв.часные произв.
Поверхн.интеграл 2-го рода
Криволин.интеграл 2-го рода:
Пусть задана двусторонняя пов-ть S и на верхн.
Стороне задана ф-ция U=F(x,y,z).Разобьем задан.
Повер.S непрерывн.кривыми на конечное число
Частичных поверх. S1,S2….Sn.Проэктир.эти поверх.
На XOY , -площадь прэкции повер.Si:
Если сущ.предел Lim n при не зависит
От способа дел.области на части и выбора точек Mi,
То его наз.повер.интегалом 2-го рода по поверхн.и
Обознач. :
Если же проэктировать пов-ть на другие плоскости ,то
Получится:
Пусть на пов-ти заданы три ф-ции P(x,y,z), Q(x,y,z)
R(x,y,z) тогда повер.интегр.2-го рода общего вида наз.
Пусть пов-ть S явл.гладкой поверхн.,такой что в каждой точке ее
Сущ. Пл-ть такая что в каждой т.пов-ти сущ.нормаль.Обозначим
Через ,,-углы ,которые образуют углы с осями OX,OY,OZ.
Тогда,как и для криволин.интеграла имеет место форма между повер.Интегр.1 и 2 рода:
Имеет место следующ.ф-ла замены перем.в пов.интегр.2-го.
Пусть пов-ть S задается своими парам.ур-ми:
ф-ции x,y,z непрерыв.и имеют непрер.частн. произв.Тогда:
Имеет место ф-ла Стакса ,связывающ.криволин.интеграл по контуру
Пов-ти с повер.интегралом 2-го по задан.пов-ти.
Пусть задана некоторая гладкая повер.S на верхн.стороне этой повер.
Заданы три ф-ии P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) непрерыв.и имеющ.непрер.
Частн.произв.по своим аргументам и L-контур повер.,проходящий в
Полож.направления.Тогда:
Билет №14
Поток вектора через поверхность
Пусть задана некоторая область(тело) ДR3 Пусть над этой областью определено поле вектора (М), МД , Аx ,Ay ,Az
Возьмем в области Д некоторую поверхность S обозначим через - нормальный вектор поверхности -единичный вектор , данного нормального вектора
где ,, -углы , которые образует нормаль с осями координат
Потоком вектора через заданную поверхность S (во внешнюю поверхность) называют следующий поверхностный интеграл 1-го рода
Проекция вектора на ось
Ап проекция вектора на вектор Ап =пр
А тогда поток вектора будет равен
Вопрос №16
Общий вид диф уравнения F(x, y, y)=0 y=f(x,y) (1).
Решением дифференциальное уравнение первого порядка называется всякая функция y=(x), которая будучи подставлена в данное уравнение обращает его в тождество.
(x)= f (x, (x));
Задача Коши для диф. уравнения 1 порядка.
Требуется найти решение диф. ур-я (1) удовлетворяющего следующему условию (2).
Теорема Коши.
Пусть задана на плоскости XOY некоторая обл. Д и задано диф. ур-е разрешённое относительно производной, тогда если функция f(x, y) и её частная производная непрерывны в обл. Д, и некоторая фиксированная точка обл. Д, то существует и единственная функция y=(x) являющаяся решением (1) и такая, которая в т.
принимает значение , т.е. удовлетворяющая заданному начальному условию .
Т.е. если существует решение диф. ур-я, то таких решений бесконечное множество.
График функции являющийся решением диф. ур-я принято называть интегральной кривой, процесс решение принято называть интегрированием.
Точкув плоскости XOY называют особой точкой диф. ур-я если в этой т. не выполняется условие теоремы Коши, т.е. особая т. это такая т. через которую может вообще не проходить ни одной интегральной кривой, либо проходить множество.
Решения диф. ур-я в каждой т. которого нарушается условие единственности из теоремы Коши, принято называть особым решением диф. ур-я. График особого решения называется особой кривой.
Определение общего решения диф. ур-я 1 порядка:
Функция y=(x, C), где С произвольная константа, называется общим решением диф. ур-я (1) если выполнены следующие условия:
Функция y=(x, C) является решением ур-я (1) при любом значении произвольной константы С;
Какова бы ни была т. Д найдётся такое значение произвольной константы , что функция y=(x,) удовлетворяет заданному начальному условию, т.е.
Частным решением данного диф. ур-я называется решение этого ур-я которое может быть получено из общего решения при некотором фиксированном значении произвольной константы С.
Определение:
Если решение диф. ур-я (1) может быть получено в виде, причём это ур-е не может быть явно разрешено относительно y, то функцию принято называть общим интегралом диф. ур-я (1), где С произвольная константа. Если решение получено в виде , где - явная константа частным интегралом диф. ур-
