Билеты по математике

Зафиксируем любую точку M0(x0,y0,z0). Рассмотрим кривую проходящую через эту точку. Пусть уравнение этой кривой будет x=x(t) y=y(t) z=z(t) где

Билеты по математике

Вопросы

Математика и статистика

Другие вопросы по предмету

Математика и статистика

Сдать работу со 100% гаранией

Билеты по математике

Билет №1

Пусть в обл. P плоскости XOY задана некоторая фун-ия z=f(x;y). Разобъём обл. P на n частичных обл. Рi , где i=1…n, возмём произвольную точку обл. (I;I) Рi , - наиболь-ший диаметр чатичных обл.

Построим частичную сумму сумму Римена.

Определение:

Если существует конечный предел и не зависит от способа делений области на части и от выбора т. (I;I) в каждой из частичных областей, то такой предел принято называть двойным интегралом по обл. Р и пишут:

В случае, если фун-ия f > 0 мы приходим к геометрическому смыслу двойного интеграла: днойной интеграл это объём некоторого цилиндрического тела, сверху ограниченного пов-тью z = (x;y), которая проектируется на плоскость XOY в обл. Р, а образующие параллельны OZ. Площадь обл. Р:

Двойной интеграл от f(x;y) имеет многие св-ва, аналогичные св-ам одномерного интеграла.

Св-ва двойного интеграла:

1.Необходимым условием сущ. Двойного интеграла явл. ограниченность ф-ции f в обл. Р, т.е если сущ. интеграл, то f(x;y) ограниченная.

2.Всякая непрырывная ф-ция, заданная в обл. Р, интегри-руема.

3.Если ф-ция f(x;y) в обл. Р имеет разрывы на конечном числе непрырывных кривых, принадлежащих этой обл., то f интегрирума по обл. Р.

4.Сумма Дарбу:

Теорема: Для того, чтобы двойной интеграл от ограниченной обл. Р существовал, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

5.Аддетивность двойного интеграла, т.е., если задана обл.Р некоторой непрырывной кривой разбита на две обл-ти Р1иР2 не имеющих общих точек, то, если двойной интеграл по обл. Р существует, то существуют интегралы относительно по двум областям.

6.Линейность:

7.Если f(x;y) g(x;y) для (x;y)P и ф-ции f и g интегрируемы, то соответственно справедливо неравенство:

9.Если f(x;y) удовлетворяет нер-вам m f(x;y) M, то справедливо следующее неравенство:

10.Для двойного интеграла имеет место теорема о среднем: если z = f(x;y) ф-ция, заданая в обл. Р и такая, что во всех точках этой области выполняется нер-во m f(x;y) M, где

то существует число такое, что справедливо равенство:

В случае непрырывности ф-ции:

Вопрос №3

Пусть в плоскости XOY задана плоскость Д, ограничен-ная следующими кривыми: y=1(x) a x a снизу;

y=2(x) a x b сверху; x = a слева; x = b справа;

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема: Если функция f(x;y) задана в области Д такова, что существует двойной интеграл

для любого фиксированного x [a ; b] существует одно- мерный интеграл

то тогда существует повторный интеграл

Доказательство:

Обозначим c=inf 1(x) a x b; d=max 1(x) a x b и рассмотрим прямоугольник R=[a,b;c,d]Д. P=R\Д (раз- ность множеств). Построим вспомогательную функцию

Рассмотрим

Получаем следующее равенство:

Замечание: Пусть теперь область Д ограничена следующими линиями:

x=1(y) c y d слева; x=2(y) c y d справа;

x = c сверху; x = d снизу. И пусть

Тогда аналогично предыдущему можно показать, что существует повторный интеграл и

Если же функция f(x;y) такова, что существует двойной интеграл, существует оба повторных, то одновременно имеют место формулы (1) и (2) и можно пользоваться любой из них.Вопрос №5

Формула Грина.

Теорема: Пусть задана область Д огран. след. кривыми:

y=1(x) a x b

y=2(x) a x b

x=a , x=b, где ф-ции 1 и 2 непрер. на (a,b). Пусть в этой области задаётся функция P(x,y) непрер. и имеющая непрер. частную производную: , тогда имеет место след. равенство:

Доказательство:

Рассмотрим двойной интеграл, стоящий справа в формуле(1). Т.к. под интегралом стоит непрер. функция, то такой двойной интеграл существует, также существует одномерный интеграл и его можно вычислить через повторный:

Теорема: Пусть задана область Д огран.:

y=1(x) с x d

y=2(x) c x d

x=c , x=d. И пусть в этой области задаётся функция Q(x,y) непрер. и имеющая непрер. частную производную: , тогда имеет место след. равенство:

Cкладываем формулы (1) и (2) и получаем следующую формулу Грина для области Д:

D P(x,y), Q(x,y) ,

Вычисление площадей через крив интеграл

Применим ф. Грина, т.е. выразим его через криволинейный интеграл по границе области.

1. Q = x P = 0

2. Q = 0 P = -y

Суммируем 1 и 2 :

Пример: Вычислить площадь эллипса

.

Сделаем замену переменных 0 t 2

Вопрос №6

Неприрывную кривую назыв. простой кривой (жордановой), если она не имеет точек самопересечения.

Областью называется всякое открытое связаное мн-во, т.е. такое мн-во всякая точка кот. явл. внутренней и любые две точки этого мн-ва можно соединить непрерывной кривой все точки кот. принадлежат данному мн-ву.

Область называется односвязной областью, если внутренность всякой замкнутой кривой содержит только точки данного мн-ва.

Теорема 1. Пусть Д ограниченная односвязная область пл-ти x и y, тогда для того чтобы криволинейный интеграл

был равен нулю по любой замкнутой кривой ГД, (где P(x,y) и Q(x,y) непрерыв. И имеет непрерыв. Частные производ. и ) необходимо и достаточно чтобы вып. Такое равенство

= (2)

f(x,y)Д.

Док-во: Пусть во всей области Д вып. Равенство (2) и Г произвольная простая замкнутая кривая принадлеж. области Д. Обознач. Через обл. Д1 кот. огранич. Эта кривая Г. Применим к этой области формулу Грина:

Предположим, что интеграл равен нулю, а равенство (2) не вып. По крайней мере в одной точке (x0 ,y0) Д

F(x0,y0)0 , т.к. частные произв. Непрерывны в обл. Д, то ф-ция F(x,y) непрывна в этой обл. , а из этого вытекает , т.к. F(x0,y0)0, то существует окрестность этой точки такая, что F(x,y)0 для всех точек лежащих в нутри окр. кот. явл. Границей нашей окружности.

Множество точек леж. В этой окр. обознач. Д1 и применим к области Д1 ф-лу Грина:

это показывает, что не сущ. ни одной точки, где бы (2) не выполнялось. Вопрос №4

Пусть заданы 2 плоскости с введенными в прямоугольник декартовыми системами координат

XOY и UOV. Пусть в плоскисти XOY задана область DV ограниченная кривой Г, а в плоскости UOV задана область G ограниченная кривой L

Пусть функция отображает область G в области D, где т.(u,v) G, а т.(x,y)D.

Будем предпологать , что функции x и y такие, что каждой точке области G соответствует точка области D и причем это соответствие такое, что различным точкам области D соответствуют различные области точки G. Причем всякая точка области D имеет единственный прообраз (u,v) в области G.

Тогда существует обратная функции

которая взаимноодназначно отображает область D в области G. Т.к. заданием двух точек U,V одназначно определяют т.(x,y) в области D, то числа U и V принято называть координатами точек в облати D, но уже криволинейными.

Будем предпологать, что функции x(U,V) и y(U,V) имеют непрерывные частные производные по своим переменным xy и yx, xv и yv, тогда определитель функции имеет вид:

Принято называть якобианом для функций x(U,V) и y(U,V).

Можно показать,что площадь области D задана в плоскости XOY может быть выражена в криволинейных координатах следующим образом:

- прямолинейном интеграле.

в криволинейных координатах.

Замена переменных.

Теорема: Пусть Z=f(x) непрерывная функция заданая в области D и область D является образом области G через посредства функций , где функции x(U,V) и y(U,V) непрерывные и имеют непрер. Частные производные, тогда справедлива след. Формула замены переменных в двойном интеграле:

Док-во: Разорвем обл.G непер. Кривыми на конечное число частичных областей. Тогда согласно формулам отображающим область G в обл. D. Эти кривые обл. G отображ. В некоторые кривые обл. D, т.е. обл. D будет разбита на конечное число (такое же как и обл. G) частичных подобластей.

Di подобласти, i=1,2,…,n.

В каждой обл. Di выберем т.(x,y)Di и составим интегральную сумму Римана для двойного интеграла от функции f обл. D.

Площадь обл. Di выразим в криволинейных координатах

xi=x(Ui,Vi)

yi=y(Ui,Vi)

И того, что интеграл от функции f(x,y)dxdy сущ., то lim n(f) и этот lim не зависит от выбора точек в обл. Di, но тогда в качестве f(xi,yi) может быть взята точка

Мы получаем интегральную сумму Римана для интегр., что стоит справа формулы (1), поэтому переходя к lim в следующем равенстве:

получим ф-лу (1), т.к. суммы стремятся к соответствующему интегралу.Вопрос №2

Теорема: Пусть z = f(x,y) ограниченная функция, заданная на прямоугольнике R = [a,b;c,d], и существует двойной интеграл по этому прямоугольнику

Если для X [a,b] существует одномерный интеграл

то повторный интеграл

Доказательство:

Разобьем отрезки ab и cd отрезками a=x0<x1<…<xn=b, c=y0<y1<…<yn=d. Рассмотрим теперь частичный прямоугольник Rik=[xi,xi+1;yi,yi+1] mik=inf f(x,y) Mik=sup f(x,y)

Rik Rik

На промежутке [xi;xi+1] возьмём точку . Будем рас- сматривать точки, лежащие на прямой x =

Похожие работы

1 2 3 4 5 > >>